《最新同济大学微积分第三版课件第二章第十节幻灯片.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新同济大学微积分第三版课件第二章第十节幻灯片.ppt（64页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、本节要点本节要点 本节引入函数的极值本节引入函数的极值, 并通过函数的一阶及二阶导函并通过函数的一阶及二阶导函一、函数的极值与求法一、函数的极值与求法二、函数的最大值二、函数的最大值, 最小值及求法最小值及求法三、应用三、应用数的符号去讨论函数的极值情况数的符号去讨论函数的极值情况. 根据上面的定理根据上面的定理, 若函数若函数 在定义域内连续在定义域内连续, 除了除了 f x 求出导函数求出导函数 进而求出进而求出 的全部驻点和不的全部驻点和不 ,fx f x 根据导数根据导数 在每个驻点和不可导点的左、右邻在每个驻点和不可导点的左、右邻 fx 在极值点求出相应的函数值在极值点求出相应的函数
2、值, 就得到函数的极值就得到函数的极值.某些点外处处可导某些点外处处可导, 则可以按照下面的步骤求出函数的则可以按照下面的步骤求出函数的极值极值: 可导点可导点;近是否变号近是否变号, 确定该点是否为极值点确定该点是否为极值点, 如果是极值点如果是极值点, 进一步确定是极大值还是极小值进一步确定是极大值还是极小值.例例1 求函数求函数3231yxx解解 23632 ,yxxx x 00,2.yxx 当当,0 ,0;xy 知函数在知函数在 处取极大值处取极大值; 又当又当0 x 2,0,xy所以函数在所以函数在 处取极小值处取极小值. 注意到注意到 2x 01,y 25,y 1,5.的极值的极值
3、.即函数的极大值为即函数的极大值为 极小值为极小值为 由判别法由判别法当当 0,2 ,0,xy-3-2-1123X-7.5-5-2.52.55y 3231f xxx极大值极大值极小值极小值例例2 求函数求函数3225yxx解解 在上节中在上节中, 我们知道函数我们知道函数3225yxx, ,00,31010 .3xyxx 当当 时时, ,0 x 0,y 0,1 ,x0,y 00y0,y 1,x 13y 的极值的极值.在在 中连续中连续, 在在中可导中可导, 且且是函数的一个极大值是函数的一个极大值; 当当所以所以 时时,当当 所以所以是函数的一个极小值是函数的一个极小值.-2-1123-6-4
4、-223225yxx极小值极小值极大值极大值定理定理2 （第二充分条件）设函数（第二充分条件）设函数 在点在点 的的 yf x0 x某个邻域某个邻域 内有二阶导数内有二阶导数, 且且0U x000,0,fxfx则函数在点则函数在点 处取极值处取极值, 更有更有: 若若 则则0 x00,fx0f x证证 设设000,0.fxfx为极小值为极小值, 反之为极大值反之为极大值.由导数的定义由导数的定义:0000limxfxxfxfxx 00lim0,xfxxx 由极限的保号性知由极限的保号性知: 存在存在 当当 有有0,00,xxx 0,fx当当 有有00,xx x 0,fx再由第一充分条件再由第一
5、充分条件, 知知 为极小值为极小值.0f x同理可证同理可证 的情况的情况.00fx例例3 求函数求函数 32392f xxxx解解 2369313 ,fxxxxx 66,fxx令令 0fx121,3.xx 又又 1120,3120,ff 所以所以: 为极大值为极大值, 而而 为极小值为极小值.17f 325f 的极值的极值.-4-22468-75-50-25255075例例4 做出函数做出函数 32392f xxxx 2369,66fxxxfxx 32292f xxxx 2369fxxx极小值极小值极大值极大值拐点拐点 66fxx导函数导函数及导函数和二阶及导函数和二阶的图形的图形, 从从而
6、判断单调区间而判断单调区间, 凹凸区间凹凸区间, 极值点和拐点极值点和拐点.例例5 求函数求函数 22exf x解解 注意到函数是偶函数注意到函数是偶函数, 22e,xfxx 2221 e,xfxx 22e00,xfxxx 2221 e01.xfxxx 的单调区间的单调区间, 凹凸区间凹凸区间, 极值极值和对应曲线的拐点和对应曲线的拐点.x, 1 11,000,111,yyy000所以所以 为极大值为极大值, 曲线的拐点为曲线的拐点为 01f121,e.-3-2-11230.20.40.60.81 22exf x 渐进线渐进线 1.水平与垂直渐进线水平与垂直渐进线 设曲线设曲线 方程方程 若若
7、 则曲线有则曲线有,C ,yf x lim,xf xA.yA若若 则曲线有垂直渐进线则曲线有垂直渐进线: lim,xaf x 水平渐进线水平渐进线:.xa例例6 设曲线设曲线 方程为方程为,C1,yx1lim0,xx故曲线有水平渐进线故曲线有水平渐进线:0.y 又又01lim,xx 故曲线又有垂直渐进线故曲线又有垂直渐进线:0.x 垂直垂直渐进线渐进线 水平水平渐进线渐进线例例7 设曲线设曲线 方程为方程为,Carctan ,yxlim arctan,2xxlim arctan,2xx 所以曲线有两条水平渐进线所以曲线有两条水平渐进线.2y 因为因为 水平水平渐进线渐进线注注: 垂直渐进线很多
8、时候出现在分母为零的时候垂直渐进线很多时候出现在分母为零的时候, 但分但分母为零时母为零时 不一定构成垂直渐进线不一定构成垂直渐进线. 2.斜渐进线斜渐进线 设曲线设曲线 方程方程 若若,C ,yf x lim,xf xax.yaxb lim,xf xaxb则曲线有斜渐进线则曲线有斜渐进线:例例8 设曲线设曲线 方程为方程为,C21,1xyx21lim1,1xxx x故曲线有斜渐进线故曲线有斜渐进线:1.yx21lim1,1xxxx因为因为例例9 设曲线设曲线 方程为方程为,C2223,1xxyx解解 因因2223lim1,1xxxx所以曲线有水平渐进线所以曲线有水平渐进线1.y 又又:221
9、23lim,1xxxx 22123lim2,1xxxx所以曲线有垂直渐进线所以曲线有垂直渐进线:1.x 求渐进线求渐进线.例例10 设曲线方程为设曲线方程为21,1x xyx则曲线的渐进线则曲线的渐进线有有 根根.2111limlim,11xxx xxxx而曲线没有斜渐进线而曲线没有斜渐进线, 所以该曲线的渐进线根数为所以该曲线的渐进线根数为3.32211lim1, lim1,11xxx xx xxx 函数作图函数作图 问题问题 设曲线设曲线 方程方程 作出函数的图形作出函数的图形.,C ,yf x确定函数的定义域确定函数的定义域;求出函数的一阶和二阶导数求出函数的一阶和二阶导数: ;,y y
10、求出一阶和二阶导函数的零点及导数不存在的点求出一阶和二阶导函数的零点及导数不存在的点;划分区间划分区间, 确定在每个区间上函数的单调性和凹凸性确定在每个区间上函数的单调性和凹凸性;求出渐进线求出渐进线;求出极值和拐点求出极值和拐点;描绘出函数的大致图形描绘出函数的大致图形.例例11 作出函数作出函数21xyx解解 函数的定义域为函数的定义域为 在定义域内在定义域内, 有有,11,.222,1xxyx 00,2.yxx 32.1yx 相应的区间为相应的区间为 ,0 , 0,1 , 1,2 , 2,.的大致图形的大致图形.x,000,11,222,yyy00斜渐进线斜渐进线:1,yx垂直渐进线垂直
11、渐进线:1.x -4-224-10-7.5-5-2.52.557.51021xyx斜渐进线斜渐进线1yx垂直渐进线垂直渐进线1x 例例 做出函数做出函数lnxyx的大致图形的大致图形.二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题 在上一目中我们讨论了函数的极值及求法在上一目中我们讨论了函数的极值及求法, 在这一目在这一目中我们讨论函数在区间中的最大值和最小值及相应的求中我们讨论函数在区间中的最大值和最小值及相应的求法法. 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理, 我们我们, a b知道若函数在闭区间知道若函数在闭区间 上连续上连续, 则函数一定可以取到则函
12、数一定可以取到相应的最大值和最小值相应的最大值和最小值, 但并没有给出具体的方法但并没有给出具体的方法. 这这里我们给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法里我们给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法. 设函数设函数 在区间在区间 上连续上连续, 除了有限个点之外除了有限个点之外, f x, a b点和驻点为点和驻点为 函数函数 在区间在区间 上上 1,2,ix im f x, a b的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为 则则,M m 12max,mMf xf xf xf af b 12min,.mmf xf xf xf af b函数可导函数可导, 并且只有有限个驻点并且只有有限个驻
13、点. 进一步地设这些不可导进一步地设这些不可导例例12 求函数求函数 在区间在区间 上的最值上的最值. exf xx0,2解解 显然函数显然函数 在所给区间上连续在所给区间上连续, 可导可导. 又又 f x 1e ,xfxx所以所以 即函数在区间有唯一的驻点即函数在区间有唯一的驻点. 01.fxx max0 ,1 ,2 ,Mfff min0 ,1 ,2 .mfff 1200,1e ,22e .fff因因 由此得到由此得到所以所以1e ,0.Mm exf xx例例13 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值上的最大值 2 exf xx0,3解解 显然函数显然函数 在所给区间上连续在所给区间上连续
14、. 又又 f x 2 e , 022 e ,23xxxxf xxx 1 e , 021 e ,23xxxxfxxx即在即在 内，内， 是驻点，是驻点， 是不可导点，是不可导点，0,31x 2x 和最小值和最小值. 31e,20,02,3effff 20f故故 是最小值是最小值, 是最大值是最大值. 33ef例例14 将边长为将边长为 的正三角形剪去三个全等的四边形（如的正三角形剪去三个全等的四边形（如aax解解 盒子的高为盒子的高为 3tan,63hxx底面面积为底面面积为232,4Sax图所示）图所示）,x当图中的当图中的 取何值时取何值时, 该盒子的容积最大？该盒子的容积最大？h然后将其折
15、起然后将其折起, 做成一个无盖的正三棱柱盒子做成一个无盖的正三棱柱盒子,故相应的体积为故相应的体积为 212. 042aV xx axx求导后并令其为零求导后并令其为零, 得得 1620,4Vxaxax所以所以.6ax 再注意到再注意到, 1248,0,46aVxxa Va 即函数在该点取极大值即函数在该点取极大值, 又因驻点唯一又因驻点唯一, 故该点一定是故该点一定是最大值点最大值点.例例15 求椭圆求椭圆 中内接的最大矩形中内接的最大矩形, 并求相应并求相应22221xyab的面积的面积.xyO, x y解解 设内接矩形的顶点在第一象限的坐标为设内接矩形的顶点在第一象限的坐标为 则则,.x
16、 y22.byaxa相应的面积为相应的面积为2244.bSxyxaxa令令 222 0.f xxaxxa则则 22322.fxx axx由由 231240.2fxxaxxa故最大矩形的最大面积为故最大矩形的最大面积为22max11442.22bSxyaaaaba例例16 设足球门宽为设足球门宽为4 在离右门柱在离右门柱6 处处, 一球员沿一球员沿,mmx解解 设问题如图所示设问题如图所示, 张角为张角为 则则 又又,.610tan,tan,xx则则tantantantan1tantan垂直于底线的方向垂直向前垂直于底线的方向垂直向前, 问他在离底线多远时可获问他在离底线多远时可获得的张角最大得
17、的张角最大.24,60 xx令令: 则则 24,60 xf xx 22224608,60 xxfxx由由 即当运动员离底线即当运动员离底线 时时, 0,2 15.fxx2 15m运动员所获得的张角为最大运动员所获得的张角为最大.例例17 设设 是两个正数是两个正数, 满足条件满足条件12,x x12xxa12mnx x的最大值的最大值, 其中其中 ,0.m n 解解 设设 ,0.nmf xxaxxa f x 在开区间在开区间 中间的最大值中间的最大值. 求导后得求导后得0,a 11,nmfxxaxmamn x可知可知 是函数是函数 在区间在区间 内唯一的驻内唯一的驻0maxmn( )f x0,
18、a是常数）是常数）, 求求a（由题意由题意, 需求需求点点. 显然当显然当 00,0;xxfx0,xx a 0.fx00,x0,x a内单调减少内单调减少, 因而因而 是函数是函数 在区间在区间 0f x f x0,a0.m nmnmaaf xfm nmnmn所以函数在区间所以函数在区间内的最大值内的最大值. 此时此时 而当而当 内单调增加内单调增加, 在在 通过这题的解题通过这题的解题, 我们看到我们看到, 更一般的情况是更一般的情况是: 设函数设函数 在区间在区间 （开或闭（开或闭, 有限或无限）内连有限或无限）内连 f xI续、可导（或至多在续、可导（或至多在 处不可导）处不可导）, 为
19、为 在在 内内0 x0 x f xI 若若 时时, 而而 时时,xI 0 xx 0,fx0 xx 0,fx则则 为为 在区间在区间 内的最小值内的最小值.0f x f xI 若若 时时, 而而 时时, ,xI 0 xx 0,fx0 xx 0,fx则则 为为 在区间在区间 内的最大值内的最大值.0f x f xI的一个驻点（或不可导点）的一个驻点（或不可导点）. 具有上述性质的函数在区间具有上述性质的函数在区间 内只有一个内只有一个“峰峰”或则或则一一Ix0 x f x0f x 0fx 0fx极大值极大值x0 x f x0f x 0fx 0fx极小值极小值个个“谷谷”, 这类函数在极值问题的讨论
20、中经常出现这类函数在极值问题的讨论中经常出现.例例18 建造一个容积为建造一个容积为 的无盖圆柱形发酵池的无盖圆柱形发酵池, 332mrh解解 设圆柱体的底半径为设圆柱体的底半径为 高为高为 则面积为则面积为, r, h2Sr底，2,Srh侧故总费用为故总费用为230 20 2.Frrh由已知条件由已知条件:已知池底每平方米造价为已知池底每平方米造价为30元元, 池壁每平方米造价为池壁每平方米造价为20元元, 问应该如何设计问应该如何设计, 能使总费用为最低能使总费用为最低?232Vr h23.2hr代入上式得代入上式得:2130 20 3 .Frr所以所以2160 60,Frr 令其为零令其
21、为零, 得得 311.rr 3260 10,Fr 又又即函数在该点取极小值即函数在该点取极小值. 也就是当也就是当 31,2rh相应的造价为最小相应的造价为最小.例例19 光的折射定律光的折射定律 设在设在 轴的上下两侧有两种不同轴的上下两侧有两种不同x别为别为 又设点又设点 在在内内, 点点 在在内内, 要使光线从点要使光线从点12,.v vAB 到点到点 传播的时间最短传播的时间最短, 问光线应该通过怎样的路径问光线应该通过怎样的路径?AB解解 如右图所示如右图所示, 设点设点 到到 轴的距离分别为轴的距离分别为,A Bx12,AMh BNh的长度为的长度为MN, l 轴的交点）轴的交点）
22、, 由于在同一介质中由于在同一介质中, xx1h2hNMPxAB的介质的介质和和, 光在介质光在介质和介质和介质之间的传播速度分之间的传播速度分MP, xP的长度为的长度为 （ 为光径路线与为光径路线与光径的最速路线为直线光径的最速路线为直线, 因此光线因此光线从从 到到 的传播路径必为折线的传播路径必为折线 其所需要的总时间其所需要的总时间AB,APB 2222121211,0,t xhxhlxxlvv 下面确定下面确定 满足什么条件时满足什么条件时, 取得最小值取得最小值. 为此为此 t xx 2222121211,xlxtxvvhxhlx t x先求先求 的导数的导数:由于由于 2211
23、3/23/222221212110,hhtxvvhxhlx由此可知函数由此可知函数 在在 中的零点必为函数中的零点必为函数 的极的极 tx0,l t x 00,0,0,tt ltx知知 在在 上有唯一的零点上有唯一的零点 所以所以 必是必是 tx0,l0,x0 x t x在在 上的极小值点上的极小值点 从而是从而是 在在 上的最小值上的最小值 0,l t x0,l tx0,l小值点小值点, 而又由于而又由于 在在 上连续上连续, 及及点点, 又由于又由于 必须满足必须满足 即即0 x 0,tx22222121.xlxvhxhlx记记 则有则有 2222121211sin,sin,xlxvvhxhlx12sinsin.vv其中其中 分别是光线的入射角和反射角分别是光线的入射角和反射角, 这就是著名的这就是著名的, 折射定律折射定律. 特别地特别地, 当当 时时, 有有12vv.