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1、二重积分的二重积分的 计算计算 及应用及应用 一、二重积分计算的基本方法一、二重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙.图示法图示法列不等式法列不等式法(从内到外从内到外:面、线、点面、线、点)3.掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法典型例题典型例题例例1解解 X-型型:计算二重积分计算二重积分其中其中D 为圆周为圆周所围成的闭区
2、域所围成的闭区域.提示提示:利用极坐标利用极坐标原式原式P182 题题2(3)例例2例例3.计算积分计算积分其中其中D 由由所围成所围成.提示提示:如图所示如图所示连续连续,所以所以二重积分计算的基本技巧二重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性1.交换积分顺序的方法交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号例例4解解例例5解解证明证明:提示提示:左端积分区域如图左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得交换积分顺序即可证得.P182 题题4练习题练习题P182 题题1（3）练习题练习题提示提示:交换积分顺序交换积
3、分顺序B例例6解解 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图使用对称性时应注意使用对称性时应注意1.积分区域关于坐标轴的对称性积分区域关于坐标轴的对称性.2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配相匹配时时,才才能简化能简化.利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化二重积分的计算二重积分计算的简化二重积分计算的简化例例7 计算二重积分计算二重积分其中其中:(1)D为圆域为圆域(2)D由直线由直线解解 (1)利用对称性利用对称性.围成围成.(2)积分域如图积分域如图:将
4、将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性,得得例例8 计算二重积分计算二重积分在第一象限部分在第一象限部分.其中其中D 为圆域为圆域提示提示:两部分两部分 作辅助线作辅助线将将D 分成分成说明说明:若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.P182 题题1（2）练习题练习题AP182 题题6练习题练习题二、三重积分计算的基本方法二、三重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序选择
5、易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙.图示法图示法列不等式法列不等式法(从内到外从内到外:面、线、点面、线、点)3.掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法把积分把积分化为三次积分化为三次积分,其中其中 由曲面由曲面提示提示:积分域为积分域为原式原式及平面及平面所围成的闭区域所围成的闭区域.P183 题题7练习题练习题 计算三重积分计算三重积分其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线所围成的闭区域所围成的闭区域.提示提示:利用柱坐标利用柱坐标原式原式绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面P183 题题8(3)三
6、重积分计算的基本技巧三重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性1.交换积分顺序的方法交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号1.积分区域关于坐标面的对称性积分区域关于坐标面的对称性.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配相匹配时时,才才能简化能简化.利用对称性简化三重积分的计算：利用对称性简化三重积分的计算：其它情形依此类推其它情形依此类推.三重积分计算的简化三重积分计算的简化P182 题题1(1)设有空间闭区域设有空间闭区域 则有（则有（）例例1 解解典型例题典型例题 例例2 解解利用球面坐标利用球面坐标利用利用“先二后一先二后一”计算计算.例例3 试计算椭球体试计算椭球体的体积的体积 V.解解