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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得： ，则集合为.本题选择B选项.2. 若复数（，）满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：，则：，解得：，则.本题选择C选项.3. 若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得： ，结合两角和差正余弦公式有： .本题选择A选项.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶
2、数且点数之差的绝对值为2，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=66=36，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2包含的基本事件有： (2,4),(4,2), (4,6),(6,4)，学,科,网.共有4个，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2的概率： .本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5. 定义平面上两条相交
3、直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得： ，设双曲线的渐近线与 轴的夹角为 ，双曲线的渐近线为 ，则 ，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中： 由题意： ，据此可知： ， ， ，它的表面积是 .本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、
4、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同7. 函数在区间的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意 ，学,科,网.则 且 ，函数为非奇非偶函数，选项C,D错误；当 时， ，则函数值 ，排除选项B.本题选择A选项.8. 已知函数若，则为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得：，解得：.本题选择D选项.9. 执行下图的程序框图，若输入的，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（ ）A. 8
5、1 B. C. D. 【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先 初始化数值， x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=ny=1,y= =1，时满足条件 y2x ，执行 n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=ny=2,y= = ,时满足条件 y2x ，执行 n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=ny=2,y= =，时不满足条件y2x ，输出 .10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系 ，数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：,且：，两式做差可得：，则：，据此可得：.本题选择B选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据
6、给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项11. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A学,科,网.【解析】很明显，且恒成立，即：由均值不等式的结论：，据此有：，解得：.本题选择A选项.12. 已知函数 的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两
7、个不同的解分别为，则的最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得 ，函数的周期 ，当 时， ，令 可得 ，函数的解析式 .则：结合函数的解析式有 ，而 ，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，若向量，共线，且，则的值为_【答案】-8【解析】由题意可得： 或 ，则： 或 .14. 已知点，若圆 上存在点使，则的最小值为_【答案】16【解析】圆的方程即：，设圆上的点P的坐标为，则：，计算可得：，由正弦函数的性质有：，求解关于实数的不等式可得：，学,科,网.则的最小值为16.点睛：计算数量积
8、的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用15. 设，满足约束条件则的最大值为_【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值.16. 在平面五边形中，已知，当五边形的面积时，则的取值范围为_【答案】【解析】由题意可设： ，则： ，则：当 时，面积由最大值 ；当 时，面积由最大值 ；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在中，角，所对的边分别为，且 .（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.【答
9、案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理首先求得.则.(2)利用题意首先求得，然后结合余弦定理可得.试题解析：（1）由 ，得 .由正弦定理，得，即.又由余弦定理，得 .因为，所以.（2）因为，所以为等腰三角形，且顶角.故 ，所以.学,科,网.在中，由余弦定理，得 .解得.18. 如图所示的几何体中，四边形为菱形，平面平面，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意
10、可知点G存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.试题解析：（1）过点存在直线使，理由如下：由题可知为的中点，又为的中点，所以在中，有.若点在直线上，则直线即为所求作直线，所以有；若点不在直线上，在平面内，过点作直线，使，又，所以，即过点存在直线使.（2）连接，则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形，所以 ，所以 .学,科,网.又，所以平面，所以 ，所以几何体的体积 .19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生
11、中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率.【答案】（1）.（2）
12、见解析;（3）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为的概率，然后求解人数约为448人；(2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为.试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，故可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩等级为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为 （分），因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为，3名女生分别为，.从中抽
13、取2人的所有情况为，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有，共3种情况，故所求概率.点睛：两个防范一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）.（2）.【
14、解析】试题分析：(1)由题意求得，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值.试题解析：（1）由题意可知，所以，即，学,科,网.又点在椭圆上，所以有，由联立，解得，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，又由题知，即，整理为.将代入上式，得.化简整理得，从而得到.21. 设函数 .（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：若，则当时，数单调递减，当时，函数单调递增；若，函数单调递增；若，则当时，函数单调递减，
15、当时，函数单调递增.(2)原问题即证明，构造新函数 ，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析：（1）由，可知 .因为函数的定义域为，所以，若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；若，则当在内恒成立，函数单调递增；若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.（2）要证，只需证.学,科,网.设 ，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证 .（*）又，所以两式相减，并整理，得 .把 代入（*）式，得只需证，可化为.令，得只需证.令（），则 ，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修4-
16、4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，学,科,网.而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲
17、线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在给出的直角坐标系中作出函数的图象，并从图中找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，从而 .当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.