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1、 命题与证明命题与证明 (二二)1.1.一般的一般的,对某一件事情作出正确或不正确的对某一件事情作出正确或不正确的判判断断的句子的句子叫做叫做命题命题,知识回顾知识回顾2.2.说明一个命题是说明一个命题是假命题假命题，只用找出一个，只用找出一个反例反例,但要但要说明一个命题是说明一个命题是真命题真命题,就必须用就必须用推理推理的方法的方法,而不能而不能光凭一个例子。光凭一个例子。命题分为命题分为真命题与假命题真命题与假命题。反例反例必须是具备命题的必须是具备命题的条件条件,却不具备命题的却不具备命题的结论结论3.定理：用推理的方判断为正确的命题；定理：用推理的方判断为正确的命题；4.公理：经过
2、人类长期实践后公认为正确的命题；公理：经过人类长期实践后公认为正确的命题；定理定理.公理都可以判断其他命题真假的依公理都可以判断其他命题真假的依 据；公理不需要再证明。据；公理不需要再证明。一、下列语句哪些是命题一、下列语句哪些是命题,哪些不是命题哪些不是命题?1.1.正数大于零，零大于一切负数正数大于零，零大于一切负数;2.2.两点确定一条直线两点确定一条直线;3.3.画画AOBAOB的平分线的平分线;4.4.相等的角是全等三角形的对应角相等的角是全等三角形的对应角;5.5.若若c ca+ba+b,则则c ca,ca,cb b正确吗？正确吗？是命题是命题是命题是命题不是命题不是命题是命题是命
3、题不是命题不是命题练一练练一练二、判断下列命题的真假二、判断下列命题的真假.1.1.有一个角是有一个角是4545的直角三角形是等腰直角三角形的直角三角形是等腰直角三角形.2.2.素数不可能是偶数素数不可能是偶数.3.3.黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.4.4.有两个外角有两个外角(不同顶点不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形是钝角的三角形是锐角三角形.5.5.若若y(1-y)=0y(1-y)=0，则，则y=0.y=0.真命题真命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题练一练练一练6.6.正数不小于它的倒数正数不小于它的倒数.7.7.如果两个角不是对顶角，那么
4、它们不相等如果两个角不是对顶角，那么它们不相等.8.8.若若x x3 3，则，则x2x29.9.9.9.异号两数相加和为负数异号两数相加和为负数.10.10.若若c ca+ba+b,则则c ca,ca,cb.b.假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题证明 要判定一个命题是真命题，往往需要从要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，一步一步推得结论成立，这样的定理，一步一步推得结论成立，这样的推推理理过程程叫做叫做 证明证明。w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:(2)(2)根据题意根据题意,画出图
5、形画出图形;(3)(3)结合图形结合图形,用用符号语言符号语言写出写出“已知已知”和和“求证求证”;(5)(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程地写出证明过程;(1)(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),),结论结论(求证求证););(4)(4)分析题意分析题意,探索证明思路；探索证明思路；例例1:已已知知:如图如图,直线直线a与直线与直线b被直线被直线c所截所截,且且12，求证，求证:ab.证明：由证明：由2=32=3（对顶角相等）（对顶角相等）2=42=4（已知已知）根据：等量代换根据：等量代换得：得：
6、3=13=1根据：同位角相等，两直线平行根据：同位角相等，两直线平行得：得：.3把三个角拼在一起试试看？把三个角拼在一起试试看？三角形三角形3个内角的和是个内角的和是 .如何证明三角形内角和等于如何证明三角形内角和等于180？ABC12DE例例2 2：已知：已知:ABC,:ABC,求证求证:A+B+C=180:A+B+C=180.证明证明:如图如图,作作BCBC的延长线的延长线CD,CD,过点过点C C作作CEAB.CEAB.1=A(1=A(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)2=B(2=B(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等)1+2+ACB=180 1+2+ACB=180（平
7、角的定义）（平角的定义）,A+B+ACB=180 A+B+ACB=180(等量代换等量代换).).ABCED 你还有什么你还有什么不同的方法不同的方法?ABCPQH关于辅助线：关于辅助线：1 1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）（辅助线通常画成虚线）2 2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.三角形内角和定理三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180.证明：直角三角形两个锐角互余。证明：直角三
8、角形两个锐角互余。求证：求证：A AB B9090.已知：如图，已知：如图，ABCABC中，中，C=90C=90.例例3：如图，已知已知1+2=180，求证：求证：ABCD.证明：由：证明：由：1+2=1801+2=180(已知已知)，1=31=3（对顶角相等）（对顶角相等）.2=4 2=4（）根据：等量代换根据：等量代换得：得：3+3+=180=180.根据：同旁内角互补，两直线平行根据：同旁内角互补，两直线平行得：得：.4123ABCEFD对顶角相等对顶角相等4 4AB CDAB CD例例4：如如图图，已知：，已知：1=2，1=B，求求证证：ABEF，DEBC。证明：由证明：由1=2（已知
9、），（已知），根据：根据：.得得ABEF.又由又由1=B（）.根据：同位角相等，两直线平行根据：同位角相等，两直线平行得得 .FAEDCB12内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行已知已知DE BC例例5：如图，已知：已知：DAF=AFE，ADC+DCB=180，求证：，求证：EFBC证明：由：证明：由：DAF=AFE（）根据：根据：.得：得：AD .由：由：ADC+=180（已知）（已知）.根据：根据：.得：得：AD .再根据：再根据：.得：得：EFBCADBCFE已知已知内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行EFDCB同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行BC平行于同
10、一直线的两条直线互相平行平行于同一直线的两条直线互相平行例例6：如图，已知：已知：2=3，1+3=180，求证：求证：EFGH.证明：由：证明：由：2=3（已知）（已知）1+3=180（）根据：根据：.得：得：1+2=180.根据：根据：.得：得：。231ABCDEFGH已知已知等量代换等量代换同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行EFGH例例7：如图，已知：已知：1=2，BD平分平分ABC，试说明，试说明ADBC.证明：由证明：由BD平分平分ABC（已知），（已知），根据：根据：.得：得：2=3.又由：又由：2=1（已知）（已知）根据：根据：.得：得：3=.根据：内错角相等，两直线
11、平行根据：内错角相等，两直线平行.得：得：.BACD123角平分线定义角平分线定义等量代换等量代换1AD BC例例8：如图，已知：已知：ABCD，AEBD，试说明，试说明ABD=E.证明：由证明：由 （已知），（已知），根据：两直线平行，内错角相等根据：两直线平行，内错角相等 得：得：ABD=.由由AEBD（）.根据：根据：.得得BDC=E.再根据：等量代换再根据：等量代换 得：得：=.ABCEDABCD BDC已知已知两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 ABD E例例9：如图，已知：已知：ACDE，1=2，试说明，试说明ABCD.证明：由证明：由ACDE（已知），（已知），根据：两
12、直线平行，内错角相等根据：两直线平行，内错角相等.得得ACD=.又由又由1=2（已知）（已知）.根据：根据：.得得1=ACD.再根据：再根据：.得得 .ADBE12C 2等量代换等量代换内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行AB CDABCD1234例例10:如图，已知如图，已知AD是是ABD 和和ACD的公共边的公共边.求证：求证：BDC=BAC+B+C证法三：证法三：延长延长AD 1=3+B，2=4+C1+2=3+B+4+C 即即BDC=BAC+B+C例例2：如图，已知AG/CF，AB/CD，A40，求C的度数。FABCDEG1解解:AG/CF(已知已知)A=1A=1(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等)又又AB/CD(已知已知)1=1=C(两直线平行,同位角相等)A=A=C(等量代换等量代换)A A4040 C4040 cdab3421例例2：如图所示 1=2 求证求证：3=4证明：1=2（已知）（已知）a/b(同位角相等同位角相等,两直线平两直线平行行)3=4(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)