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1、5 仿真结果与系统方案分析仿真结果与系统方案分析5.1简介简介 运行仿真模型所得到的结果具有随机性，不能把从单次仿真运行中获得的系统参数值作为该参数的“真值真值”，而应该把单次仿真运行的结果作为一个样本数据样本数据，需要用若干次重复仿真运行所得到的仿真结果来估计估计系统参数的真值。假定变量Y是系统的某个指标参数，从单次仿真运行得到参数Y随仿真时间变化的序列Y1，Y2，Yn就是随机过程。一般来说，由系统仿真得到的随机变量Yi既不是独立的也不是同不是独立的也不是同分布的分布的。1 设y11，y12，y1m是随机变量Y1，Y2，Ym单次仿真运行的结果，观测长度为m，进行仿真的时候所用的随机数为 u
2、11，u 12，u 1m；u 21，u 22，u 2m；u n1，u n2，u nm；（在第j次仿真运行时用的第i个随机数记为uji）。假定进行了n次独立的重复运行，即每次仿真运行的随机数不同、初始条件相同，每次仿真运行开始时计数器重置。得到以下结果：2在同一行上的数值来自一次重复运行，不是独立同分布（IID）。在同一列上的数值，y11，y21，yn1，是变量Y1的观测值满足独立同分布。系统仿真结果分析就是用多次独立仿真运行的观测值yij（i=1，m；j=1，n），估计随机变量Y1，Y2，Ym的参数。3 例5.1：某银行有5位出纳，到达银行的顾客排成一个队列，每位出纳员一次为一位顾客服务。银行
3、上午9点开门，下午5点关门，但继续为在下午5点时已经在银行内的顾客服务完毕。要求确定顾客在银行办理业务需要等待的时间。银行仿真模型的10次独立重复运行结果如表 45.2 仿真结果的瞬态与稳态特征仿真结果的瞬态与稳态特征对于仿真输出结果所构成的随机过程Y1，Y2，Yn，设条件概率是具有初始条件I，在i时刻的瞬时分布。5 不同时刻的随机变量Yi1，Yi2，Yi3，Yi4的瞬时分布的概率密度函数如图 一般地，不同时刻的随机变量服从不同的瞬时分布。对于所有的y和任意的I，如果当i，存在 F（y），则称F（y）为随机过程Y1，Y2，稳态分布稳态分布。6系统存在稳态并不表示不表示在某次仿真运行中系统进入稳
4、态后，不同时刻的随机变量取相同的数值，而是而是进入稳态后不同时刻的随机变量服从相同的分布。这些随机变量也可能是可能是不独立的。稳态分布F（y）不依赖不依赖于初始条件I，但是瞬时分布收敛于稳态分布的速率会依赖于初始条件I。7 例5.2：单服务台的排队系统 设Di为第i个顾客的排队等待时间。初始队列长度对顾客排队等待时间的影响如图5.2所示.Di85.3 系统仿真的类型系统仿真的类型根据研究目的和系统特征不同，系统仿真分为两种不同类型：终止型仿真（Terminating Simulation）非终止型仿真（Nonterminating Simulation）稳态仿真（SteadyState Sim
5、ulation）稳态周期仿真（Steadystate Cycle Simulation）95.3.1终止型仿真终止型仿真终止型仿真是由一个“固有事件E”来确定仿真运行时间长短的一类仿真。固有事件E发生的时刻记为TE。被仿真的系统满足一定的初始条件，在零时刻开始运行，在TE时刻结束运行。TE固有事件E0终止型仿真具有以下特点：（1）在零时刻的系统初始条件相同；（2）必须定义结束事件或结束时刻；（3）在TE时刻系统被“清零”，或在该时刻以后的数据均没有意义。10例5.3：某飞机制造商接到了生产100架飞机的订单，要求在18个月内交货。公司用仿真方法来确定满足交货期要求的、成本最小的生产方案。例5.
6、4：某公司只销售一种产品，要确定在120个月内需要维持多少库存。给定初始库存水平，系统仿真的目标为：确定每个月的采购量使得平均每个月的库存维护成本最低。例5.5：某制造公司每天运行16个小时（分2个班次），当天未完成的工作留在第二天继续进行。用仿真方法确定每个班次的平均产量。例5.3的结束事件应该定义为 E=100架飞机制造完毕例5.4仿真结束时刻就是仿真运行时间正好够120个月 例5.5找不到一个明确的结束事件或结束时刻 115.3.2 非终止型仿真非终止型仿真非终止型仿真是没有可以确定定行时间长短的固有事件的一类仿真。仿真对象是连续运行的系统，或至少在很长时间内运行的系统 如果作为输出结果
7、的随机变量Y具有稳态分布，我们要知道的就是该稳态分布的特征，并不关心系统如何从初始状态过渡到稳定状态。稳态仿真（Steadystate Simulation）是研究非终止型系统稳态行为的仿真，这些系统行为不受零时刻的初始条件影响。想要使系统的行为不受初始条件影响，需要满足以下条件：（1）足够长的仿真时间；（2）如果必要，需要规定仿真的预热（Warm Up）时间。并不是所有非终止型仿真都趋向于存在稳态分布，有时系统状态会出现某种周期性的变动。125.4 区间估计与置信区间区间估计与置信区间样本X1，X2，Xn满足独立同分布，样本均值是随机变量X均值的一个点估计，但是无法知道估计值与均值的“真值”
8、之间相差多少。如果想知道样本均值与随机变量均值的“真值”相差有多少，要用到区间估计。均值：为 t 分布上的1/2的分界点。n-1为自由度。为置信区间半宽。置信区间：13t 分布临界点14 例：正态分布具有未知的均值，10个观测结果为1.20，1.50，1.68，1.89，0.95，1.49，1.58，1.55，0.50，1.09。构造的具有90%置信度的置信区间。正态分布均值的具有90%置信度的置信区间为1.10，1.58155.5 终止型仿真的结果分析终止型仿真的结果分析终止型仿真有明确的终止事件，保证每次仿真运行的初始条件相同，重复运行仿真模型n次，如果在每次仿真运行时采用不同的随机数，那
9、么每次仿真运行都是独立的，所输出的仿真结果也是独立的，用前面介绍过的统计分析方法可以给出系统性能指标的值。这里介绍终止型仿真主要采用的固定样本数量法固定样本数量法（Fixedsamplesize Procedure）和序贯法序贯法。165.5.1 固定样本数量法固定样本数量法固定样本数量法也称为复演法。用固定样本数量法进行仿真试验时，采用相同的初始条件相同的初始条件，每次仿真运行使用不同的随机数使用不同的随机数，将终止型仿真重复执行n次，每次重复运行是独立的。假定由第j次重复运行得到的系统参数值为 Xj，那么 Xj为 IID随机变量，可以用前面介绍的统计方法求出系统参数的均值和置信区间。不考虑
10、系统模型本身的因素，独立运行的次数n越大，统计结果的方差越小，结果越可靠。但是，有时候是由于没有足够多的输入数据来支持多次的独立重复运行，有时候是由于仿真运行的时间过长，不能执行足够多的仿真次数，建议取n=5。17 例5.8：对于例中的银行，我们希望知道在一天当中顾客的平均排队时间是多少。由观测结果计算样本均值和方差，构造90置信度的置信区间，即一天当中顾客的平均排队时间在1.712.35之间的可能性为90。18 固定样本数量法存在一个缺点，即分析人员不能预先控制置信区间的半长。对于固定的重复运行次数n，置信区间的半长取决于观测值的方差，事先不容易判断运行次数取多少才合适。如果觉得例5.8给出
11、的置信区间过大，就需要再补充运行仿真模型若干次。19 例5.9：已经知道单服务台、单队列排队系统的服务时间为均值1.0分钟的指数分布，每次到达1名顾客，顾客到达的间隔时间为均值1.5分钟的指数分布，系统服务时间为8小时。用仿真方法来预测顾客的平均排队等待时间，给出显著水平=0.05的置信区间。课后练习此例20用固定样本数量法进行仿真运行，仿真运行的次数分别为5、10、20，在表53中给出了输出分析结果。215.5.2 序贯法序贯法如果希望置信区间不要过宽或者事先给定了系统参数均值的误差限制误差限制，则需要采用序贯法运行仿真模型。定义均值的绝对误差为 序贯法（Sequential Procedu
12、re）的基本想法基本想法是选择合适的重复运行次数，在1的置信水平下，使得置信区间的半长小于绝对误差，即 22序贯法进行仿真试验的步骤：序贯法进行仿真试验的步骤：（1）预定重复运行的次数 n3，建议 n=5；（2）由n次运行的观测值X1，X2，Xn，计算相应的均值及方差 S2（n）；（6）回到第（3）步重新计算置信区间半长，直到满足绝对误差要求为止。（3）计算置信区间半长（4）若 ，则置信区间满足预定的绝对误差，在置信水平1下的置信区间为 结束仿真。（5）若 假定S2（n）不随仿真运行次数的增加而变化，按照下面的公式估算达到绝对误差要求所需的仿真运行次数，将仿真模型重复运行次；23 例5.10
13、对于例中的排队系统，要求统计出的顾客平均等待时间的绝对误差小于0.60分钟，用序贯法计算仿真运行次数。先执行 5次仿真运行，得到样本的方差为 S2（5）=1.0758，置信区间的半长为 1.29，不满足绝对误差要求。估算达到绝对误差要求所需的仿真运行次数，通过试算得到nr（0.6）14。即补充运行9次。1.20，1.50，1.68，1.89，0.95245.6 稳态仿真的结果分析稳态仿真的结果分析在稳态系统仿真中，如果初始条件引起的偏差能被减少到可以忽略的程度，那么就采用固定样本数量法来统计系统变量。但是，初始条件引起的偏差往往是系统由初始状态向稳定状态过渡的固有特征，不受仿真运行次数的影响。
14、在终止型系统仿真中，可以用增加仿真运行次数的方法来提高置信区间的精度，但是在稳态系统仿真中，不能通过单纯增加仿真运行次数来减小初始条件的影响。需要综合考虑系统仿真运行的长度和采样方式对仿真结果的影响。稳态仿真主要采用重复删除法和批均值法稳态仿真主要采用重复删除法和批均值法。255.6.1重复删除法重复删除法对于稳态仿真来说，只要运行时间足够长，初始条件对仿真结果的影响可以被忽略。但在仿真运行的初期，初始条件对仿真结果的影响十分显著。把仿真运行分成两个时段：第一时段从时刻 0到时刻T0为“预热时段”（Warmup Period），第二时段从时刻 T0到停止时刻人为数据收集时段。重复删除法（Rep
15、licationdeletion Approach）就是在采样时删除那些处于“预热时段”的数据，只统计处于数据收集阶段的数据。2627 采用重复删除法获得输出参数的点估计和置信区间的方法与固定样本数量法相似。假设仿真运行的总长度为m，预热时段长度为l，独立仿真运行的次数为n。系统输出变量的点估计为，构造置信水平1a的置信区间，重复删除法与固定样本数量法区别在于，“预热时段”内的观测值被剔除，不用来做统计。减少初始条件所引起偏差的方法是，增加“预热时段”长度和每次仿真运行的长度。28例第1次：Y11 Y12 Y1l Y1 l+1 Y1 l+2 Y1m第2次：Y21 Y22 Y2l Y2 l+1
16、Y2 l+2 Y2m第n次：Yn1 Yn2 Ynl Yn l+1 Yn+2 YnmX1X2Xn计算均值295.6.2 批均值法批均值法批均值法将整个仿真运行长度m（足够大）分成n个批次（批次长度同为k），求出每一批次的样本均值，得到n个批均值，当批次长度（Batch Size）k足够大时，批均值可以近似认为不具备相关性；同时可以近似认为是正态分布。批均值可以被近似看成独立同分布的随机变量；采用与重复删除法相同的方法分析仿真结果。系统输出参数的点估计为，30例 Y1 Y2 Yk Yk+1 Yk+2 Y2k Ym311.53 1.66 1.24 2.34 2.00 1.69 2.69 2.86 1
17、.70 2.603233练习：对第2章中的银行仿真、报童问题、第3章中的销售问题进行重新模拟并进行分析。34假定一公司生产某种产品的速度为 100件天，生产每批产品的设置成本为100元，每件产品每天的存储成本为0.1元，该产品每天的需求量为25件。若最大生产批量为400件，年初该产品的初始库存量为90件，试用模拟法分析：（1）100天内累积生产量与累积需求量的变动情况。（2）100天内库存量的变动情况。（3）生产批量为多少时可使年总成本最低（一年按300天计算）。若产品每天的需求量为15 40件的均匀分布，其他不变，则又如何？要求：（1）说明利用 Excel 进行模拟的过程。（2）对输出分析结果进行解释。（3）模拟实验中遇到的问题及解决方法35