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1、1、平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的实际背景及基本概念2、平面向量的线性运算、平面向量的线性运算3、平面向量的的基本定理及坐标运算、平面向量的的基本定理及坐标运算4、平面向量的数量积、平面向量的数量积年龄，身高，长度，体积，质量重力，浮力，位移，A类B类一、向量的物理背景与概念一、向量的物理背景与概念（1）、向量的物理背景 生活中咱们常常会遇到两种量，一种是只有大小没有方向的量，例如长度、质量等等，这种量叫数量（物理学上称标量）;另一种量既有大小又有方向，如速度，力等，这种量叫向量（物理学上称矢量）。（2）、向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量二、向量的表示有向线段的长度表示向量的大
2、小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向。在书本上用加粗加黑的字体来表示向量，平时手写体在小写字母上面加一个箭头，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母书写。（1）、向量的画法（用有向线段表示向量）（2）、向量的书写三、关于向量的一些概念向量的大小就是向量所对应的有向线段的长度，也叫向量的模，记做向量无法比较大小，但向量的模可以比较大小长度为零的向量称为零向量，记做：零向量的方向任意长度为1个单位长度的向量叫做单位向量（1）、向量的模（大小）（2）、零向量（大小）（3）、单位向量方向相同或相反的向量叫共线向量或平行向量，零向量与任意向量共线（平行）。两向量共线或平行记做：（4）、共线向量（平行
3、向量）（5）、相等向量大小和方向都相同的向量叫相等向量一、向量的加法一、向量的加法一、向量的加法一、向量的加法一、向量的加法二、向量的减法二、向量的减法（1）、相反向量 通过我们上节课的学习知道了向量是有方向的数量有方向的数量，那么相反向量指数量（长度，大小，模）相等而方向相反的两个向量互称为相反向量。二、向量的减法(本质还是加法)三、向量的数乘运算（一个数与一个向量的乘法）三、向量的共线定理一、向量的加法二、向量的减法三、向量的数乘运算（一个数与一个向量的乘法）四、向量共线定理4.4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为力为G G，下滑力为，下滑力为F F1
4、1，木块对斜面的压，木块对斜面的压力为力为F F2 2，这三个力的方向分别如何？，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？三者有何相互关系？G GF F1 1F F2 2四、思考5.5.在物理中，力是一个向量，力的合成在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算就是向量的加法运算.力也可以分解，力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和成两个不同方向的分力之和.将这种力将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论新的数学理论.四、思考探究（一）：探究（一）：平面向量基本定理平面向
5、量基本定理 思考思考1 1：给定平面内任意两个向量给定平面内任意两个向量e1 1，e2 2，如何求作向量，如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？e1 1e2 22 2e2 2B BC CO O3 3e1 1A Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 2思考思考2 2：如图，设如图，设OAOA，OBOB，OCOC为三条共为三条共点射线，点射线，P P为为OCOC上一点，能否在上一点，能否在OAOA、OBOB上分别找一点上分别找一点M M、N N，使四边形，使四边形OMPNOMPN为平为平行四边形？行四边形？M MN NO OA AB BC
6、CP P思考思考3 3：在下列两图中，向量在下列两图中，向量不共线，能否在直线不共线，能否在直线OAOA、OBOB上分别找一上分别找一点点M M、N N，使，使？O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N思考思考4 4：在上图中，设在上图中，设 =e1 1，=e2 2，=a，则向量，则向量 分别与分别与e1 1，e2 2的的关系如何？从而向量关系如何？从而向量a与与e1 1，e2 2的关系如的关系如何？何？O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N思考思考5 5：若向量若向量a与与e1 1或或e2 2共线，共线，a还能用还能用1 1e
7、1 12 2e2 2表示吗？表示吗？e1 1aa=1 1e1 1+0+0e2 2e2 2a=0 0e1 1+2 2e2 2思考思考6 6：若上述向量若上述向量e1 1，e2 2，a都为定向量，都为定向量，且且e1 1，e2 2不共线，则实数不共线，则实数1 1，2 2是否存在是否存在？是否唯一？是否唯一？O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N思考思考7 7：根据上述分析，平面内任一向根据上述分析，平面内任一向量量a都可以由这个平面内两个不共线的都可以由这个平面内两个不共线的向量向量e1 1，e2 2表示出来，从而可形成一个表示出来，从而可形成一个定理定理.你能
8、完整地描述这个定理的内容你能完整地描述这个定理的内容吗？吗？若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.思考思考8 8：上述定理称为上述定理称为平面向量基本定理平面向量基本定理，不共线向量不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所叫做表示这一平面内所有向量的一组有向量的一组基底基底.那么同一平面内可那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量应向量a的表示式是否相同？的表示式是否相同？若
9、若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.探究探究(二二):):平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 00，180180 思考思考1 1：不共线的向量有不同的方向，对不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量于两个非零向量a和和b，作，作 a，b，如图如图.为了反映这两个向量的位置关系，为了反映这两个向量的位置关系，称称AOBAOB为向量为向量a与与b的的夹角夹角.你认为向量你认为向量的夹角的取值范围应如何约定
10、为宜？的夹角的取值范围应如何约定为宜？baabA AB BO O思考思考2 2：如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是9090，则，则称称向量向量a与与b垂直垂直，记作，记作ab.互相垂直互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？一组基底？ba思考思考3 3：把一个向量分解为两个互相垂直把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解.如图，向如图，向量量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量是两个互相垂直的单位向量，向量a与与i的夹角是的夹角是3030，且，且|a|=4|=4，以向量，以向量i、j为基底，向量为基底，
11、向量a如何表示？如何表示？B BaiO OjA AP P思考思考4 4：在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，作为基底，对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数理知，有且只有一对实数x x、y y，使得，使得 ax xiy yj.我们把我们把有序数对（有序数对（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x轴上轴上的坐标，的坐标，y y叫做叫做a在在y y轴轴上的
12、坐标，上式叫做向量上的坐标，上式叫做向量的的坐标表示坐标表示.那么那么x x、y y的的几何意义如何？几何意义如何？aix xy yO Ojx xy y思考思考5 5：相等向量的坐标必然相等，作向相等向量的坐标必然相等，作向量量 a，则，则 (x(x，y)y)，此时点，此时点A A是坐是坐标是什么？标是什么？A Aaix xy yO OjA(x,y)A(x,y)理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，已知向量如图，已知向量e1 1、e2 2，求作向，求作向量量2.52.5e1 13 3e2 2.e1e2C CO OA A2.52.5e1 1B B3 3e2 2例例2 2 如图，写出向量如图，写出向
13、量a，b，c，d的坐标的坐标.2452abcd4 252xyOa=(2,3)=(2,3)b=(-2,3)=(-2,3)c=(-2,-3)=(-2,-3)d=(2,-3)=(2,-3)例例3 3 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，=a，=b，E E、M M分别是分别是ADAD、DCDC的中的中点，点点，点F F在在BCBC上，且上，且BC=3BFBC=3BF，以，以a，b为为基底分别表示向量基底分别表示向量 和和 .A AB BE ED DC CF FM M小结作业小结作业 1.1.平面向量基本定理是建立在向量加平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解
14、原理，法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点一个承前起后的重要知识点.2.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是关系的一个几何量，平行向量的夹角是0 0或或180180，垂直向量的夹角是，垂直向量的夹角是9090.3.3.向量的坐标表示是一种向量与坐向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意标的对应关系，它使得向量具有代数意义义.将向量的起点平移到坐标原点，则平将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标
15、移后向量的终点坐标就是向量的坐标.作业：作业：课时作业课时作业4949到到5252页页.已知已知 ，你能得出你能得出 ，的坐标吗？的坐标吗？向向量量坐坐标标向量坐标的加减及数乘向量坐标的数量积向量坐标的模结论：结论：一个向量的坐标等于表示此向量一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。坐标。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如图，已知如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2),则则 AB=OB-OA =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)yxOB(x2,y2)A(x1,y1)你能在图中标出坐标为你能在图中标出坐
16、标为 的的P点吗？点吗？P已知a=(x,y)和实数，那么 a=(x,y)即 a=(x,y)这就是说，实数与向量的积的坐这就是说，实数与向量的积的坐 标等用这个实数乘以原来向量的标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。相应坐标。例例2 已知已知a（2，1），），b（3，4），求），求a+b，ab，3a+4b例例3 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个定点的三个定点A、B、C的坐标分别为（的坐标分别为（2，1）、）、（1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标例例4 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个定点的三个定点A、B、C的坐标分别为（的坐标分别为（2，1）、（）、
17、（1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标 平行四边形平行四边形ABCD的对角线交于点的对角线交于点O,且且知道知道AD=（3，7），），AB=（-2，1），求），求OB坐标。坐标。设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零向量,那么可以知道，a/b的充要条件是存在一实数，使 a=b这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1，y1）=(x2，y2)即 x1=x2 y1=y2问题：问题：共线向量如何用坐标来表共线向量如何用坐标来表示呢？示呢？消去消去后得后得 也就是说，也就是说，a/b的等价表示是的等价表示是 x1y2-x2y1=0 x1y2-x2y1=0练习：下列向量组中，能作为表示它练习：下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确们所在平面内所有向量的基底，正确的有（的有（）（1）e1=(-1,2),e2=(5,7)（2）e1=(3,5),e2=(6,10)（3）e1=(2,-3),e2=(1/2,-3/4)例例5、已知、已知 a=（4，2），），b=（6，y），），且且 a/b，求，求 y 的值。的值。例例6、已知、已知A（-1，-1），），B（1，3），），C（2，5），判断），判断A、B、C三点的位置关系。三点的位置关系。ABC