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1、14.1 数学期望数学期望2引例 某企业生产某种产品，质检员每天对产品进行检查，以下是五月份产品的检验结果，求这个月的平均次品数。概率论与数理统计3平均次品数0件次品出现的天数总的天数（0件次品）发生的频率（0件次品）发生的概率近似于概率论与数理统计4加权平均，数学期望的概念源于此。设 表示每天出现的次品数概率论与数理统计5离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望设 X 为离散型随机变量，其分布律为：若无穷级数数学期望，记作 E(X),即绝对收敛,则称其为X的 6例 已知随机变量X的分布律如下。求E(X).X2349p1/85/81/81/8解概率论与数理统计7例 已知随机变量 。求E
2、(X).解概率论与数理统计8概率论与数理统计9到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.例 按规定,某车站每天8:009:00和 9:0010:00 都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且 两者到站的时间相互独立。其规律为：概率论与数理统计10 X 10 30 50 70 90 到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6解：设旅客的候车时间为X（以分计），其分布律为概率论与数理统计11 例 一种常见的赌博游戏,
3、其规则为:投掷一颗均匀的骰子，赌客猜精确的骰子点数,凡猜中者以1比5得到奖金,否则其押金归庄家所有,问此规则对庄家还是赌客更有利?解：不妨设一赌徒押了10元,X为赌徒最终输赢数，显然结果对庄家更有利！赌徒最终平均输赢为即分布律为概率论与数理统计12连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望（或均值），记为E(X)。即的值为随机变量X的数学期望定义:设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛,则称积分13例 设XU(a,b),求E(X)。解 X的概率密度为：X的数学期望为：概率论与数理统计14例 设随机变量X服从参数为的指数分布,求E(X).解 X的概率密度为所以,E(X)=概
4、率论与数理统计15例 X N(,2),求 E(X).奇函数解概率论与数理统计16例 设随机变X 的概率密度为求E(X).解解概率论与数理统计17随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布,如何计算X的某个函数 g(X)的期望？一种方法是，求出 g(X)的分布，然后按照期望的定义把 Eg(X)计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布,一般是比较复杂的.18(1)当X为离散型时,它的分布律为P(X=xk)=pk,定理:设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)概率论与数理统计19(2)当X为连续型时,它的密度函数为 f(x),若概率论与数理统计2
5、0例 设随机变量的分布律为 求 解 概率论与数理统计21概率论与数理统计22例 设随机变量X的概率密度函数求：（1）常数；（2）解（1）由概率密度函数的性质有概率论与数理统计23（2）概率论与数理统计24概率论与数理统计25概率论与数理统计26X1 3P3/4 1/4X1 0 3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/8Y 0 1 2 3解:例（X,Y）的分布列为 概率论与数理统计27Y0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8 1/8概率论与数理统计28例 设随机变量(X,Y)的概率密度为：概率论与数理统计29概率论与数理统计X=130X=1概率论与数理统计31数学期望的性质及应用数学期望的性
6、质及应用推广：（1）设C是常数，则 .（2）设 为一随机变量，C为常数，则有 （3）设 为两个随机变量，则有32相互独立时 推广：概率论与数理统计（4）若 为两个相互独立的随机变量，则有33现就连续型证下面两条：设二维随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率密度分别为 由随机变量函数的期望得:概率论与数理统计34概率论与数理统计 由 相互独立得:35解例且X,Y,Z相互独立,求随机变量W 2X+3Y4Z1 的数学期望.设随机变量X N0,1,Y U0,1,ZB5,0.5,概率论与数理统计36=np.因为:P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以:E(X)=E(Xi)=p例 求二项分布的数学
7、期望.解 设概率论与数理统计则:X=X1+X2+Xn，其中37例 假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量 是随机变量(单位:吨),它服2000，4000均匀分布，设每售出这种商品一吨可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，求应组织多少货源，才能使国家的收益最大.概率论与数理统计38解 随机变量的概密度函数为概率论与数理统计设应组织吨货，才能使国家的收益最大，=“此种商品量的收益”（单位：万元），因此39所以 时达最大值，因此组织3500吨此种商品是最好的决策.概率论与数理统计40证 令例 设随机变量 及 的期望存在，证明：=(2+2+22)概率论与数理统计