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1、抛物线的几何性质抛物线的几何性质(1)前面我们已学过椭圆与双曲线前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质的几何性质,它们都是通过标准它们都是通过标准方程的形式研究的方程的形式研究的,现在请大家现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么焦点及准线是什么?一、复习回顾：图图 形形方方 程程焦焦 点点准准 线线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）练习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）轴上）方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向开口向开口向右
2、右开口向开口向左左开口向开口向上上开口向开口向下下P(x,y)一、一、抛物线抛物线的的几何性质几何性质抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。延伸。1、范围范围由抛物线由抛物线y2=2px（p0）而而所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为关于关于x轴轴对称对称 由于点由于点 也满也满足足 ，故抛物线，故抛物线(p0)关于关于x轴轴对称对称.y2=2pxy2=2px2、对称性、对称性P(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的的顶点顶点P(x
3、,y)由y2=2px（p0）当当y=0时时,x=0,因此抛物线的顶点顶点就是坐标原点（0，0）注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有两个顶点不同两个顶点不同、顶点、顶点4、开口方向、开口方向P(x,y)抛物线抛物线y2=2px（p0）的开）的开口方向向右口方向向右+X，x轴正半轴，向右轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向轴负半轴，向左左+y，y轴正半轴，向上轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下轴负半轴，向下5、离心率离心率P(x,y)抛物线上的点与焦抛物线上的点与焦点的点的距离距离和它到准线的和它到准线的距离距离 之比，叫做抛物线之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的的离心率
4、，由抛物线的定义，可知定义，可知e=1 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线范围范围顶点顶点对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以虽然它可以无限延伸无限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心
5、;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P(x,y)P越大越大,开口越开阔开口越开阔补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2P（2）焦半径：）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做连接抛物线任意一点与焦
6、点的线段叫做抛物线的抛物线的焦半径焦半径焦半径公式：焦半径公式：（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。2P例例：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点坐标原点，并且经过点M M（，）（，），求，求它的它的标准方程，并用描点法画出图形标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点标原点，并且经过点M M（，）（，），
7、解：解：所以设方程为：所以设方程为：又因为点又因为点M M在在抛物线上抛物线上：所以：所以：因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：作图：作图：(1)列表列表（在第一象限内列表）（在第一象限内列表）x01234y(2)描点描点：(3)连线连线：11xyO变式：变式：已知抛物线已知抛物线的顶点在坐标原点，并且的顶点在坐标原点，并且 经过点经过点M M（，），求它的标准方程（，），求它的标准方程 分类讨论分类讨论课堂练习课堂练习1 1：求适合下列条件的抛物线的方程：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点顶点在原点，焦点F F为（为（0
8、0，5 5）;（2）顶点在原点，关于顶点在原点，关于x x轴对称轴对称,并且并且经过点经过点M(5,-4).M(5,-4).例例2 斜率为斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线y2=4x的焦点的焦点,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A、B两点两点,求线段求线段AB的长的长.xyoF(,0)x+=0法法法法3|3|ABAB|=|=x1 1+x2 2+P P法法1 利用两点间距离公式利用两点间距离公式 法2 xyoF课堂练习课堂练习2 2：11/44例例3:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆
9、的直径为口圆的直径为60cm,灯深灯深40cm，求抛物线，求抛物线的标准方程及焦点的位置。的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，反光镜的顶点与原点重合，x轴轴垂直于灯口直径。垂直于灯口直径。AB 设抛物线的标准方程是：设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点由已知条件可得点A的坐标是的坐标是（40，30），代入方程可得），代入方程可得所求的标准方程为所求的标准方程为焦点坐标为焦点坐标为yOxBA分析分析:观察图观察图,正三角形及抛物线都是轴正三角形及抛物线都是轴 对称
10、图形对称图形,如果能证明如果能证明x轴是它们的公共轴是它们的公共的对称轴的对称轴,则容易求出三角形的边长则容易求出三角形的边长.yOxBAyOxBA 1、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 .2、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为原点，则这个三角形的面积为 。课堂练习课堂练习3 3：小结小结:1.掌握抛物线的掌握抛物线的几何性质几何性质:范围、对称性、顶点、范围、对称性、顶点、离心率、通径离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题焦点坐标及解决其它问题;