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1、2.4.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质(1)临沂一中高二数学组临沂一中高二数学组一、复习回顾：一、复习回顾：l定点F是抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线.l.FMd.xOyK1、抛物线的定义：、抛物线的定义： 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l (l不经不经过点过点F )的距离相等的距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.标准方程标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo) 0 ,2(pF.yxoF2px)2, 0 (pF.xoyF2py) 0(22ppxy) 0 ,2(pF 2px
2、 ) 0(22ppyx)2, 0(pF2py 2、抛物线的标准方程：、抛物线的标准方程：xoMFdK二、讲授新课：二、讲授新课：方程图形范围对称性顶点离心率y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）e=1 例例1. 已知抛物线关于已知抛物线关于x轴轴对称对称, 顶点在坐标原点顶点在坐标原点, 并且过点并且过点M(2, ), 求它求它的的 标准方程标准方程.三、例题选讲：三、例题选讲：y2=4x2
3、2( 2,3)5Fy 练习、求焦点为，准线方程为的抛物线方程.FxOyP是抛物线上任意一点解：设),(yxP则由抛物线的定义知：5PFy到 的距离等于到直线 的距离|5|) 3()2(22yyx即)4(4)2(2yx化简得：1lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法1 1 F1(1 , 0), 121232 232 2 22 222 2xxyy或222212121212AB = (x -x ) +(y -y ) = 8AB = (x -x ) +(y -y ) = 81lyx的方程为：2216104yxxxyx 22 =1 164 18AB 22121214kxxx x 解法解法2
4、 2 F1(1 , 0), 1 12 21 1 2 2x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 11lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法3 3 F1(1 , 0), 1 12 21 1 2 2x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 1 |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8ABFA1B1解法解法4 4ABFA1B1KH, , 同理同理1cospFB , , 221cos1cos22 2 8sinsin 45ppABp 1cospFA 可以证明，不
5、再赘述，可以证明，不再赘述，感兴趣自行解决感兴趣自行解决22(,)xy11(,)xy 与直线与直线的倾斜角的倾斜角无关无关! 11(,)xy11(,)xy11(,)xy22(,)xyMN练习 P72 4x=3 例例3 过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点，通过点两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。平行于抛物线的对称轴。22,xypx 证明：以抛物线的对称轴为 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系。设抛物线的方程为02,pOAyxy则直线的方程为2px 准线 20.
6、Dpyy 联立可得 2002(,0),.222pxpyFAFypyp又点直线为 220.Bpyy 与y =2px联立可得,/ /DByyDBx由知轴。yOFABD200(,)2yAyp点220,.yp当时 结 论 显 然 成 立 所以，直线所以，直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴。220()yp 例例3.过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点两点,通过点通过点A和抛和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证求证:直线直线DB平行于抛物平行于抛物线的对称轴线的对称轴.xOyFABD22,xypx 另证：以抛物线的对称轴
7、为 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系。设抛物线的方程为当直线AB存在斜率时,设AB为()2pyk x与y2=2px联立联立,得得yAyB=-p22,ApOAyxy直线的方程为2.DApyy 2.BApyy 即,/ /DByyDBx由知轴。当直线AB存在斜率时,结论显然成立. 所以，直线所以，直线DB平平行于抛物线的对称轴。行于抛物线的对称轴。 1(2).lyk x 解：直线 的方程为xyxky4)2(12由方程组244(21)0kyyk可得 只有一个公共点只有一个公共点200,16(21)0kkkk 或 11,0,2kk 或 或 k=有两个公共点有两个公共点2016(21)0kkk 110,
8、 02kk 或没有公共点没有公共点2016(21)0kkk 11, 2kk 或11,0,2kkk 综上所述 当或或时,直线与抛物线只有一个公共点;11002kk 当或时,直线与抛物线有两个公共点;112kk 当或时,直线与抛物线没有公共点。kk k0 0k k = = 0 0, ,或或 = =1 16 6- -1 16 6k k = = 0 0k k = = 0 0, ,或或 k k = =1 1判断直线与圆锥曲线位置关系的操作程序：判断直线与圆锥曲线位置关系的操作程序：把直线方程代入曲线方程把直线方程代入曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直
9、线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离总总 结结作业 P73 8, P74 2,3定值最值问题定值最值问题n定值:n学案P144 例题1 n P145练习10n最值：P144例题2n P140 例题2 自我测评7,8n要善于利用定义法解题22,yxOA OBABx 练习1、过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线与 轴的交点为定点.:,OAlykx解：(1)设xkylOB1:则xykxy22联立222 , AAxykkxyxky212联立22 , 2BBxkyk (1)k 22222212ABkkkkkk
10、k.FxOyBA22222 : y(), 1 (2)1kABxkkkkyxk即 ABx直线与 轴的交点为定点(2, 0).1,(2,0)kAByAB 当时 轴与x轴相交于点,(2,0).AB 综上所述 直线与x轴的交点为定点22222212ABkkkkkkk.FxOyBA1122( .), (,), AB:A x yB xyykxb另解 设xybkxy22联立0)22(222bxkbxk2221kbxxkbyy221同理02121yyxxOBOA由kbkbkb20222即 : 2ABykxk)0 , 2(轴交点与x.FxOyBA22,yxOA OBABx 练习1、过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线与 轴的交点为定点.,(2,0)AByAB当 轴时与x轴相交于点 综综上上所所述述, ,直直线线A AB B与与x x轴轴的的交交点点为为定定点点( (2 2, ,0 0) ). .作业 P73 5 , 6