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1、2.3.2 等比数列的前等比数列的前n项和项和1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格请在第一个格子放子放1颗麦粒颗麦粒请在第二个格请在第二个格子放子放2颗麦粒颗麦粒请在第三个格请在第三个格子放子放4颗麦粒颗麦粒请在第四个格请在第四个格子放子放8颗麦粒颗麦粒 依次类推依次类推456781456781233264个格子个格子你认为国王你认为国王有能力满足有能力满足上述要求吗上述要求吗每个格子里的麦粒数都是每个格子里的麦粒数都是前前一个格子里麦粒数的一个格子里麦粒数的2倍倍?18446744073709551615约约7000亿亿吨吨(我国
2、我国2004年小麦总产量为年小麦总产量为9100万吨）万吨）=18446744073709551615（粒）（粒）已知麦子每千粒约为已知麦子每千粒约为40克，则折合约为克，则折合约为737869762948382064克克7378.7亿吨亿吨经过计算，我们得到麦粒总数是经过计算，我们得到麦粒总数是 甲、乙二人约定在一个月（按甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲天）内甲每天给乙每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？是前一天的二倍。问谁赢谁亏？再看另一个问题
3、：再看另一个问题：分析：数学建模分析：数学建模 an：100，100，100100 q=1 bn：1 ，2 ，22 229 q=2S30=100+100+100 T30=1+2+22+229 这是一个比较大小的问题，实质上是这是一个比较大小的问题，实质上是求等求等比数列前比数列前n项和项和的问题。的问题。在等比数列在等比数列在等比数列在等比数列 a an n 中中中中当当当当q q=1=1时时时时 ，S Sn n=a a1 1+a a2 2+a a3 3+a an n1 1+a an n=nana1 1当当当当q q11时，时，时，时，S Sn n=a a1 1+a a2 2+a a3 3+a
4、 an n1 1+a an n =？Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn 得：得：Sn(1q)=a1a1qn当当q1时，时，等比数列等比数列an前前n项和项和 二者不能兼容，体现分类讨论的必要性。二者不能兼容，体现分类讨论的必要性。数学游戏问题答案：数学游戏问题答案：2301(分分)10737418.23(元元)远大于远大于3000元元1、注意、注意q=1与与q1两种情形两种情形2、q1时，时，3、五个量、五个量n、a1、q、an、Sn中，解决中，解决“知三知三求二求二”问题。问题。例例1“
5、一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？怎样用学过的知识来说明它？解：这句古语用现代文叙述是：解：这句古语用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为则得到一个首项为a1=，公比，公比q=的等比的等比数列，数列，它的前它的前n项和为项和为 不论不论n取何值，取何值，总小于总小于1，这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。永远也取不完。例例2等比数列等比数
6、列an的公比的公比q=，a8=1，求它，求它的前的前8项和项和S8。解解1：因为：因为a8=a1q7，所以，所以 因此因此 例例3求和求和 个个分析：数列分析：数列9，99，999，不是等比数，不是等比数列，不能直接用公式求和，列，不能直接用公式求和，但将它转化为但将它转化为 101，1001，10001，就可以解决了。就可以解决了。解：解：原式原式=(101)+(1001)+(10001)+(10n1)=(10+100+1000+10n)n例例4某工厂去年某工厂去年1月份的产值为月份的产值为a元，月平均增元，月平均增长率为长率为p(p0)，求这个工厂去年全年产值的总和。，求这个工厂去年全年产
7、值的总和。解：该工厂去年解：该工厂去年2月份的产值为月份的产值为a(1+p)元，元，3月，月，4月，月，的产值分别为，的产值分别为a(1+p)2元，元，a(1+p)3元，元，所以所以12个月的产值组成一个等比数列，首项个月的产值组成一个等比数列，首项为为a，公比为，公比为1+p，答：该工厂去年全年的总产值为答：该工厂去年全年的总产值为 元。元。练习：练习：1.在正项等比数列在正项等比数列an中，若中，若S2=7,S6=91,则则S4的值为（的值为（）（A）28 （B）32 （C）35 （D）49A2一个等比数列共有一个等比数列共有3n项，其前项，其前n项之积为项之积为A，次，次n项之积为项之积
8、为B，末，末n项之积为项之积为C，则一定，则一定有（有（）（A）A+B=C （B）A+C=2B （C）AB=C （D）AC=B2D3在等比数列在等比数列an中，中，Sn=k()n，则实数，则实数k的值为（的值为（）（A）（B）1 （C）（D）任意实数）任意实数B14在由正数组成的等比数列在由正数组成的等比数列an中，若中，若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为的值为（）（A）（B）（C）2 （D）A5 数数 列列 an的的 前前 n项项 和和 Sn满满 足足loga(Sn+a)=n+1(a0,a10),则则此此数数列列的的通通项项公式为公式为 .an=
9、(a1)an 6.2+(2+22)+(2+22+23)+(2+22+23+210）=。21224 传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人如此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人他的宰相西萨他的宰相西萨班班达依尔，让他随意选择奖达依尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四粒麦子四粒麦子以此类推，每一格上的麦子数都以此类推，每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求。实来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗？际国王能满足宰相的要求吗？