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1、2.3.2等比数列前等比数列前n项和项和五莲三中数学组五莲三中数学组 传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人如此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人他的宰相西萨他的宰相西萨班班达依尔，让他随意选择奖达依尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四粒麦子四粒麦子以此类推，每一格上的麦子数都以此类推，每一格上的麦
2、子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求。实来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗？际国王能满足宰相的要求吗？=18446744073709551615（粒）（粒）已知麦子每千粒约为已知麦子每千粒约为40克，则折合约为克，则折合约为737869762948382064克克7378.7亿吨亿吨经过计算，我们得到麦粒总数是经过计算，我们得到麦粒总数是 甲、乙二人约定在一个月（按甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲天）内甲每天给乙每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一元钱，而乙则第一天给
3、甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？是前一天的二倍。问谁赢谁亏？再看另一个问题：再看另一个问题：分析：数学建模分析：数学建模 an：100，100，100100 q=1 bn：1 ，2 ，22 229 q=2S30=100+100+100 T30=1+2+22+229 这是一个比较大小的问题，实质上是这是一个比较大小的问题，实质上是求等求等比数列前比数列前n项和项和的问题。的问题。在等比数列在等比数列在等比数列在等比数列 a an n 中中中中当当当当q q=1=1时时时时 ，S Sn n=a a1 1+a a2
4、2+a a3 3+a an n1 1+a an n=nana1 1当当当当q q11时，时，时，时，S Sn n=a a1 1+a a2 2+a a3 3+a an n1 1+a an n =？类比：类比：等差数列前等差数列前n项和是倒序相加法，等比数列能项和是倒序相加法，等比数列能否也采用迭加法？否也采用迭加法？设等比数列an的公比为的公比为q，有等比数列的定义，有，有等比数列的定义，有a2=a1q,a3=a2q,a4=a3q,an-1=an-2q,an=an-1q,将这将这n-1个式子两边分别相加，得个式子两边分别相加，得 a2+a3+an=（a1+a2+a3+an-1）q，即即 Sn-a
5、1=(Sn-an)q.整理，得整理，得 (1-q)Sn=a1-anq当当q1时，时，当当q=1时，时，Sn=na1 Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn 得：得：Sn(1q)=a1a1qn当当q1时，时，等比数列等比数列an前前n项和项和 二者不能兼容，体现分类讨论的必要性。二者不能兼容，体现分类讨论的必要性。数学游戏问题答案：数学游戏问题答案：2301(分分)10737418.23(元元)远大于远大于3000元元1、注意、注意q=1与与q1两种情形两种情形2、q1时，时，3、五个量、五个量
6、n、a1、q、an、Sn中，解决中，解决“知三知三求二求二”问题。问题。例例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？怎样用学过的知识来说明它？解：这句古语用现代文叙述是：解：这句古语用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为则得到一个首项为a1=，公比，公比q=的等比的等比数列，数列，它的前它的前n项和为项和为 不论不论n取何值，取何值，总小于总小于1，这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，这说
7、明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。永远也取不完。例例2等比数列等比数列an的公比的公比q=，a8=1，求它，求它的前的前8项和项和S8。解解1：因为：因为a8=a1q7，所以，所以 因此因此 解解2：把原数列的第：把原数列的第8项当作第一项，第项当作第一项，第1项当项当作第作第8项，项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列即顺序颠倒，也得到一个等比数列bn，其中其中b1=a8=1，q=2，所以前，所以前8项和项和 例例3求和求和 个个分析：数列分析：数列9，99，999，不是等比数，不是等比数列，不能直接用公式求和，列，不能直接用公式求和，但将它转化为但将它转化为 101，1001，10
8、001，就可以解决了。就可以解决了。解：解：原式原式=(101)+(1001)+(10001)+(10n1)=(10+100+1000+10n)n例例4某工厂去年某工厂去年1月份的产值为月份的产值为a元，月平均增元，月平均增长率为长率为p(p0)，求这个工厂去年全年产值的总和。，求这个工厂去年全年产值的总和。解：该工厂去年解：该工厂去年2月份的产值为月份的产值为a(1+p)元，元，3月，月，4月，月，的产值分别为，的产值分别为a(1+p)2元，元，a(1+p)3元，元，所以所以12个月的产值组成一个等比数列，首项个月的产值组成一个等比数列，首项为为a，公比为，公比为1+p，答：该工厂去年全年的
9、总产值为答：该工厂去年全年的总产值为 元。元。小结：等比数列的前n项和练习：练习：1.在正项等比数列在正项等比数列an中，若中，若S2=7,S6=91,则则S4的值为（的值为（）（A）28 （B）32 （C）35 （D）49A2一个等比数列共有一个等比数列共有3n项，其前项，其前n项之积为项之积为A，次，次n项之积为项之积为B，末，末n项之积为项之积为C，则一定，则一定有（有（）（A）A+B=C （B）A+C=2B （C）AB=C （D）AC=B2D3在等比数列在等比数列an中，中，Sn=k()n，则实数，则实数k的值为（的值为（）（A）（B）1 （C）（D）任意实数）任意实数B4在由正数组成的等比数列在由正数组成的等比数列an中，若中，若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为的值为（）（A）（B）（C）2 （D）A