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1、3 3 等比数列等比数列 3.23.2等比数列的前等比数列的前n n项和项和(一一)明目明目标 知重点知重点填要点填要点记疑点疑点探要点探要点究所然究所然内容索引010102020303当堂当堂测查疑缺疑缺 04041.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程.2.能应用前n项和公式解决等比数列有关的问题.明目标、知重点填要点记疑点na1(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q1的情况.3.错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫 法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.错位相减探要点究所然情境导学问题一天，小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月(30天)中小明第一天贷给
2、小林1万元，第二天贷给小林2万元以后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方式还贷：第一天还1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱以后每天还的钱是前一天的2倍，30天后小林得到的钱一定比小明多吗？探究点一等比数列前n项和公式的推导思考1设30天后小林得到T30(万元)，小明得到S30(分)，你能用数据表示出T30、S30吗？S301222229(分).思考2如何计算S301222229?答思路一S30122222912(1222228)12(S30229)，S302S301230，S302301.思路二S301222229，2S30222229230.，得S302301.由于23011
3、073 741 823(分)1 073.741 823(万元)465(万元)，所以小明得到的钱更多.思考3根据思考2中的求和思路，你能求出等比数列的前n项的和吗？答思路一由Sna1a2a3an，得Sna1a1qa2qan1qa1q(a1a2an1)a1q(Snan)；从而得(1q)Sna1anq.思路二Sna1a1qa1q2a1qn1.则qSna1qa1q2a1qn1a1qn.由得：(1q)Sna1a1qn.当q1时，由于a1a2an，所以Snna1.例1(1)已知等比数列an中，a12，q3，求S3；反思与感悟在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与
4、结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.跟踪训练1若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.解析设等比数列的公比为q，由a2a420，a3a540.20q40，且a1qa1q320，解之得q2，且a12.22n12探究点二等比数列前n项和的实际应用例2五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在以后5年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少(结果精确到万元)?解每年的利税组成一个首项a1300，公比q110
5、%的等比数列.从今年起，第5年的利税为a6a1q5300(110%)53001.15483(万元).反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“每年比上年利税增长10%”.理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题.跟踪训练2一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.热气球在前n分钟内上升的总高度为探究点三错位相减法求和思考教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相
6、减法.这种方法也适用于一个等差数列an与一个等比数列bn对应项之积构成的新数列求和.如何用错位相减法求数列 前n项和？例3求和：Snx2x23x3nxn(x0).解分x1和x1两种情况.当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1反思与感悟一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.跟踪训练3求数列1，3a，5a2，7a3，(2n1)an1的前n项和.解(1)当a0时，Sn1.(2)当a1时，数列变为1，3，5，7，(2n1)，(3)当a1且a0时，有Sn13a5a27a3(
7、2n1)an1aSna3a25a37a4(2n1)an得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)当堂测查疑缺 1 2 3 41.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn为()1 2 3 4答案C1 2 3 42.设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则 等于()1 2 3 4答案C1 2 3 43.等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项的和是()A.179 B.211C.243 D.275B1 2 3 44.求和：121222323n2n.解设Sn121222323n2n则2Sn122223(n1)2nn2n1Sn2122232nn2n1(1n)2n12，Sn(n1)2n12.呈重点、现规律1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况.3.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和.