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1、2.5 2.5 等比数列的前等比数列的前n n项和项和第一课时第一课时 授课人：余洪复习巩固复习巩固1.1.等比数列的定义是什么？等比数列的定义是什么？ 如何用递推如何用递推公式描述？公式描述？从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的比等项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数于同一个非零常数q.q.1(2)nnaq na-=或an1an1 an2(n2).2.2.等比数列的通项公式是什么？等比数列的通项公式是什么？1n1nnmnmaa qa qcq-=3.3.国际象棋起源于古代印度，据传，国国际象棋起源于古代印度，据传，国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什王要奖赏国际象棋的发明者，问他
2、有什么要求，发明者说：么要求，发明者说：“请在棋盘的第请在棋盘的第1 1个个格子里放上格子里放上1 1颗麦粒，在第颗麦粒，在第2 2个格子里放个格子里放上上2 2颗麦粒，在第颗麦粒，在第3 3个格子里放上个格子里放上4 4颗麦粒，颗麦粒，在第在第4 4个格子里放上个格子里放上8 8颗麦粒，依次类推，颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的里放的麦粒数的2 2倍，直到第倍，直到第6464个格子个格子.”.”这是一个什么数学问题？国王能满足他这是一个什么数学问题？国王能满足他的要求吗？的要求吗？ 知识探究（一）：知识探究（一）：求和公式的
3、推导求和公式的推导 思考思考1 1：设设S S6464=1+2+4+8+ =1+2+4+8+ 262 +2+26363, ,怎样怎样求此式的值呢？和式有什么特点？求此式的值呢？和式有什么特点？636464224822S=+L思考思考2 2：S S6464与与2S2S6464的表达式中有许多相同的表达式中有许多相同项，你有什么办法消去这些相同项？所项，你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？得结论如何？ S6464=1+2+2=1+2+22 2+2+23 3+ +2+263 63 2 2S6464= 2+2= 2+22 2+2+23 3+ +2+26363+2+264 64 S6464=1+2
4、+2=1+2+22 2+2+23 3+ +2+263 63 2 2S6464= 2+2= 2+22 2+2+23 3+ +2+26363+2+264 64 反思：反思： 纵观全过程，纵观全过程，式两边为什么要乘以式两边为什么要乘以2 2 ？ 两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到 6 64 46 64 4s s= = 2 2- -1 1思考思考3 3：现在我们可以回答国王的奖赏这现在我们可以回答国王的奖赏这个问题了，据调查，个问题了，据调查，1 1千千粒麦子重约粒麦子重约40克，全球目前每年的小麦产量约为克，全球目前每年的小麦产量约为6亿亿吨，吨， 264-11.841
5、019 是一个非常大的是一个非常大的数数,2 26464-1-1 粒麦子重约粒麦子重约7000亿吨，亿吨， 所以国所以国王是无法满足象棋发明者的要求的！王是无法满足象棋发明者的要求的！思考思考4 4：上述求和的算法叫做上述求和的算法叫做错位相减错位相减法法 . .一般地，一般地，设等比数列设等比数列aan n 的首项为的首项为a a1 1公比为公比为q,q,前前n n项和为项和为S Sn n，利用，利用错位相减法错位相减法如何求如何求S Sn n？所得结果如何？所得结果如何？1(1)即：(1)1nnaqSqq-=-211111. . . . . (1)nnSaa qa qa q-=+L2111
6、11. . . (2)nnnqSa qa qa qa q-=+L11由(1)(2)得：(1)nqaa qnS-=-思考思考5 5：当：当q q1 1时，如何求时，如何求S Sn n？ 1(1)nSnaq=思考思考6 6：当公比当公比q1q1时，结合等比数列通时，结合等比数列通项公式项公式a an n=a=a1 1q qn-1n-1，S Sn n可变形为什么？可变形为什么？ 1111(1)11 =（1）1nnnnaqaa qSqqaqqa+-=-知识探究（二）：知识探究（二）：求和公式再探究求和公式再探究 探究探究：设等比数列设等比数列aan n 的首项为的首项为a a1 1公比公比为为q ,q
7、 ,前前n n项和为项和为S Sn n，除用，除用错位相减错位相减法外法外还有其它方法可以求还有其它方法可以求S Sn n 吗？吗？1q （）1231nnnSaaaaa探究探究1 1：根据等比数列的定义，有根据等比数列的定义，有结合等比定理怎样求结合等比定理怎样求 ? 2341231nnaaaaqaaaa-=L等比定理12121212nnnnaaaaaabbbbbbns探究探究1 1：根据等比数列的定义，有根据等比数列的定义，有结合等比定理怎样求结合等比定理怎样求 ? 2341231nnaaaaqaaaa-=L等比定理分析：1233232121121nnnnnnSaaaaaaaaaaqqaaa
8、aaa方程思想ns11(1)nnnnnSaqq Saa qSa即 探究探究2 2：根据等比数列的定义有根据等比数列的定义有 怎样求怎样求 ? 21aa q32aa q43aa qns方法1： 累加法累加法 方程思想方程思想方法2：探究探究3 3：根据等比数列的定义有根据等比数列的定义有 , , 怎样求怎样求 ? 1.nnqaa1.(1)-nnnqaaa11nnnqaaa（q1）ns分析分析 ： 1234123341112.11111nnnnnnnqqqqqsa aaaaaaaaaaaaaa a 裂项相消法裂项相消法111(1. )11nnqqqa aaa知识探究（三）：知识探究（三）：求和公式
9、的变通求和公式的变通 思考思考1 1：等差数列前：等差数列前n n项和公式从形式上项和公式从形式上可变为可变为 同理等比数列前同理等比数列前n n项和公式项和公式 可变为？可变为？ 11(1)(1)11 = A (1) (A0, q1)nnnnaqa qSqqq-=-构2nSA nB n=+1q （）思考思考2 2：等比数列有等比数列有5 5个相关量，即个相关量，即a a1 1，a an n，S Sn n，q q，n n，已知其中几个量的值就，已知其中几个量的值就可以确定其它量的值？可以确定其它量的值？ “知三求二”111(1).(1)=(1)11nnnnaqSqaqqqqaa=- 方程思想方
10、程思想 2,1,qn1n1n基础练习1已知 a是等比数列,公比为q21(1)若a =,q=,则S33(2).则a则S层层深入，掌握新知层层深入，掌握新知2382381 (1 2 )1 ( 2)1 (1 2 )(2).122221 2(1)(3).1nnnnaaaaaaa 练习2 判断是非(1).1-2+4-8+16-+ -2练习1在等比数列an中，a12，S36，求a3和q. 解：由题意，得若q1，则S33a16，符合题意此时，q1，a3a12.若q1，则由等比数列的前n项和公式，解得q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.【例例2 2】某企业进行技术改造，
11、有两种方案，甲方案：某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款一次性贷款1010万元，第一年便可获利万元，第一年便可获利1 1万元，以后每年万元，以后每年比前一年增加比前一年增加30%30%的利润；乙方案：每年贷款的利润；乙方案：每年贷款1 1万元，万元，第一年可获利第一年可获利1 1万元，以后每年比前一年增加万元，以后每年比前一年增加5 5千元；千元；两种方案使用期都是两种方案使用期都是1010年，到期一次性归还本息年，到期一次性归还本息. .若银若银行两种形式的贷款都按年息行两种形式的贷款都按年息5%5%的复利计算，试比较两的复利计算，试比较两种方案中，哪种纯获利更多？种方案中，哪
12、种纯获利更多？( (取取1.051.0510101.6291.629，1.31.3101013.78613.786，1.51.5101057.665)57.665)【解析解析】(1)(1)甲方案获利：甲方案获利：1+(1+30%)+(1+30%)1+(1+30%)+(1+30%)2 2+ +(1+30%)+(1+30%)9 9= = 42.62(42.62(万元万元).).银行贷款本息：银行贷款本息：1010(1+5%)(1+5%)101016.29(16.29(万元万元) )，故甲方案纯获利：故甲方案纯获利：42.62-16.29=26.33(42.62-16.29=26.33(万元万元).
13、).1010 1.313（）(2)(2)乙方案获利：乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+21+(1+0.5)+(1+20.5)+0.5)+(1+9+(1+90.5)0.5)=10=101+ 1+ 0.5=32.50(0.5=32.50(万元万元) )，10 92银行本息和：银行本息和：1.051.051+(1+5%)+(1+5%)1+(1+5%)+(1+5%)2 2+ +(1+5%)+(1+5%)9 9=1.05=1.0513.21(13.21(万元万元).).故乙方案纯获利：故乙方案纯获利：32.50-13.21=19.29(32.50-13.21=19.29(万元万元).).综上，甲方案
14、纯获利更多综上，甲方案纯获利更多. .总结归纳，加深理解总结归纳，加深理解（1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？（2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？课后作业，巩固提高。课后作业，巩固提高。必做：（1）教材2.3.2课后练习研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论”选做：借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051，精确到整数)本课讲完，谢谢指导！选做选做借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月
15、应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051，精确到整数)方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6，nN*)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，故每月应支付1 739元方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)，另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4a故每月应支付1 739元