25等比数列前n项和.ppt

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1、荆门龙泉中学 叶子成高 中 数 学新 课 导 入知 识 要 点典 型 例 题课 堂 小 结课 堂 练 习高 考 链 接等比数列等比数列1.定定 义义 式式： a an n：a an-1n-1=q (n2)=q (n2)3.通项公式通项公式 :2.递递 推推 式式： an=an-1 q (n2) 4.任意两项关系任意两项关系:记一记n1n1aa qn mn mnmnmaa qaa q回顾旧知回顾旧知*-111-15.(0,2)nnnnnaaaaanN n 2 2n n连连续续三三项项关关系系：a a6.a,b的等比中项2Gab (a,b同号）对于任意正整数m,n,r,s，若m+n=r+s, 则

2、aman=aras. 国际象棋起源于古印度，关于国际象棋国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：么要求，他答道：“在棋盘第一个格放在棋盘第一个格放1 1颗麦颗麦粒，在第二个格放粒，在第二个格放2 2颗麦粒，在第三个格放颗麦粒，在第三个格放4 4颗麦粒，在第四个格放颗麦粒，在第四个格放8 8颗麦粒。以此类推，颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的每个格子放的麦粒数是前一个格子的2 2倍，直倍，直到到6464个格子。国王觉得这太容易了，就欣然个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，答应了他的

3、要求，你认为国王能满足他的要你认为国王能满足他的要求吗？求吗？新课导入新课导入1+2+4+8+263= 18446744073709551615（粒）（粒） 已知麦子每千粒约为已知麦子每千粒约为40克，则折合约为克，则折合约为737869762948382064克克7378.7亿吨亿吨.经过计算，我们得到麦粒总数是经过计算，我们得到麦粒总数是 那么这是怎么计算的呢？这实质上是那么这是怎么计算的呢？这实质上是求求等比数列前等比数列前n项和项和的问题的问题.2.52.5等比数列等比数列前前n n项和项和探讨问题探讨问题发明者要求的麦粒总数是：发明者要求的麦粒总数是：S64=1+2+22+23+26

4、3 上式有何特点？上式有何特点？如果式两端同时乘以如果式两端同时乘以2 2得得: :2S64=2+22+23+263+264 比较比较、两式，有什么关系呢？两式，有什么关系呢？S64=1+2+22+23+263 2S64= 2+22+23+263+264 两式上下相对的项完全相同，把两式相减，两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则得：就可以消去相同的项，则得：S64=264-1= 18446744073709551615设问：设问： 纵观全过程，式两边为什么要乘以纵观全过程，式两边为什么要乘以2 2呢？呢？在等比数列在等比数列 an 中首先要考虑两种情况：中首先要考虑两种

5、情况：当当q1q1时，时，Sn = =a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an-1n-1+a+an n = =？当当q=1q=1时时 ，Sn =a1+a2+a3+an-1+an =a1+a1+a1+a1+a1 =na1共共n个个a1 na1aqnS设等比数列设等比数列，首项为，首项为, ,公比为公比为 如何求前如何求前n n项和项和？ Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn -得：得： Sn (1q)=a1a1qn当当q1时，时，q1)q1(asn1n 则等比数列则等比数列a

6、n前前n项和公式为项和公式为Sn=na1 q=1q1)q1(an1 q11.注意注意q=1与与q1两种情况两种情况.2.q1时，时，q1qaaq1)q1 (asn1n1n 通过上面的讲解，对于等比数通过上面的讲解，对于等比数列的相关量列的相关量a a1 1、q q、n n、a an n、s sn n，一，一般确定几个量就可以确定其他量？般确定几个量就可以确定其他量？a1、an、nan、sna1、q、ana1、q、na1、an、snan、q、nan、sn、nn、snq、snq、na1、sna1、q例例1 等比数列等比数列 a an n 的公比的公比q q = = ，a a8 8=1=1，求它的，

7、求它的前前8 8项和项和S S8 8. .21解法解法1 1：因为：因为a a8 8= =a a1 1q q7 7，所以，所以 77812qaa 因此因此 25512211)21(1 2q1)q1(as887818 解法解法2 2：把原数列的第：把原数列的第8 8项当作第一项，第项当作第一项，第1 1项项当作第当作第8 8项，项， 即顺序颠倒，也得到一个等比数列即顺序颠倒，也得到一个等比数列 b bn n ，其中其中b b1 1= =a a8 8=1=1，q q=2=2，所以前，所以前8 8项和项和 2552121q1)q(1bs8818 求和求和 999999999999n 个个分析：数列分

8、析：数列9 9，9999，999999，不是等比数列，不，不是等比数列，不能直接用公式求和，能直接用公式求和， 但将它转化为但将它转化为 10 101 1，1001001 1，100010001 1， 就可以解决了。就可以解决了。例例2原式原式=(10=(101)+(1001)+(1001)+(10001)+(10001)+(101)+(10n n1)1) =(10+100+1000+10=(10+100+1000+10n n) )n n10(101)10 1nn10(101)9nn解：解：例例3已知数列已知数列的前五项是的前五项是（1 1）写出该数列的一个通项公式；）写出该数列的一个通项公式

9、；（2 2）求该数列的前）求该数列的前n n项和项和an.24315,8114,2713,912,311ns分析：此数列的特征是分析：此数列的特征是两部分构成，其中两部分构成，其中bann 是整数部分，又是等差数列，是整数部分，又是等差数列，anbn又是等比数列又是等比数列.是分数部分，是分数部分，和等比数列，所以此方法称为和等比数列，所以此方法称为“列项列项分组法求和分组法求和”所以此数列可以转化为等差数列所以此数列可以转化为等差数列解：解：（1），nn31na （2）)31n.()313()312()311(sn32n )31.313131()n.321(n32 -1(13)(1)3121

10、3nn n-( +1)312nn n 某工厂去年某工厂去年1 1月份的产值为月份的产值为a a元，月平均元，月平均增长率为增长率为p p( (p p0)0)，求这个工厂去年全年产值，求这个工厂去年全年产值的总和。的总和。解：该工厂去年解：该工厂去年2 2月份的产值为月份的产值为a a(1+(1+p p) )元，元， 3 3月，月，4 4月，月，的产值分别为，的产值分别为a a(1+(1+p p) )2 2元，元，a a(1+(1+p p) )3 3元，元， 所以所以1212个月的产值组成一个等比数列，个月的产值组成一个等比数列，首项为首项为a a，公比为，公比为1+1+p p，例例4增长率问题

11、增长率问题12121 (1) 1 (1)apSp12(1)1app答：该工厂去年全年的总产值为答：该工厂去年全年的总产值为 元。元。 12(1)1app求和：求和：.nn2n164834221S例例5为等比数列，公比为，利用错位相减法求和为等比数列，公比为，利用错位相减法求和. .设，其中为等差数列，设，其中为等差数列，nnn21n2na n n2121分析：分析：解：解： ，n432n21n214213212211S两端同乘以，得两端同乘以，得21 n234nn 1111111S123(n1)n222222,2n2121212121S211nn432n两式相减得两式相减得 于是于是. .n1

12、nn2n212S 注意：当等比数列的通项公式中有参数，注意：当等比数列的通项公式中有参数，求前求前n n项和时要注意公比是否为项和时要注意公比是否为1 1例例6 设数列设数列 求这个数列的前求这个数列的前n n项和项和0)(aa)(a1nn 解解:（与（与n n无关的常数）无关的常数） 所以该数列是等比数列，首项为所以该数列是等比数列，首项为1 1， ，该数列的公比为，该数列的公比为1 1， ，该数列的公比不为，该数列的公比不为1 1， aa)(a)(aa1nnn1n 1a 1a nsn a1)a(1snn 2327 ,nnmmmmmSaSS例是等比数列前n项和,证明:SSS成等比数列. 11

13、 ,nmmaSaaa解设等比数列公比为q,212212, ,mmmmmmmmmmSSaaaSa qa qa q2 mmmmSSq S232 mmmmSSqS同理，232,mmmmmmSSSSSq可知是公比为的G.P. “一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用，怎样用学过的知识来说明它？学过的知识来说明它？解：这句古语用现代文叙述是：解：这句古语用现代文叙述是： 一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完. 如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为得到一个首项为a1= ，公

14、比，公比q= 的等比数列，的等比数列，2121思考与余味思考与余味它的前它的前n项和为项和为 这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完远也取不完.nnn)21(1211)21(121s 不论不论n取何值，取何值， 总小于总小于1， n)21(1 b,ann22bb,aab4,a2,an1nn1nn21已知数列满足（1）求证：数列bn+2是公比为2的等比数列；例8 分析：此题是两个数列相结合的问题.首先要明白关系.（2）求数列an通项公式。（1）由 得解：22bbn1n2bn是公比为2的等比数列.n 1nnnb22b42b2b2n 1nb22(b2)

15、由条件，数列bn+2各项不为零，11(2) 422,24.bb2bn又是公比为2的等比数列.14 2nnb 1 =4 2nn 1naa即课堂小结课堂小结1.1.本节课主要学习了等比数列的前本节课主要学习了等比数列的前n n项和公式：项和公式： 以及他们的推导过程，在具体使用时以及他们的推导过程，在具体使用时,不不一定完全套用公式一定完全套用公式,要灵活变通要灵活变通.Sn=na1 q=1q1qaaq1)q1 (an1n1 q1 2. 2.推导等比数列前推导等比数列前 n n项和公式的方法项和公式的方法. .3.3.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想. . -错位相减法错位相减法-方程

16、思想方程思想4.4.公式中五个量公式中五个量a a1 1, q, a, q, an n, n, s, n, sn n, , 已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个. .-知三求二知三求二（0707年广东）等比数列年广东）等比数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an n=96,s=96,sn n=189,=189,求求n n的值的值解：解： 由由139618911nnaa qqsqq 得：得： q=2q=2所以：所以：111396nnnaa qq11232156nnqnn 高考链接高考链接 (2012.浙江）设公比为浙江）设公比为q（q0）的）的等比数列等比

17、数列an的前的前n项和为项和为Sn. 若若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则，则q=_32将将 ， 两个式子化成两个式子化成2232Sa4432Sa 111233111113232aa qa qaa qa qa qa q 两式作差得：两式作差得：2321113(1)a qa qa q q 2230qq 解之得：解之得： （舍去）（舍去）312qor q 5. 5. （20082008浙江理）浙江理）已知已知 a an n 是等比数是等比数列列, ,a a2 2=2,=2,a a5 5= ,= ,则则a a1 1a a2 2+ +a a2 2a a3 3+a an na an n+1+1等于

18、（等于（ ） A.16(1-4A.16(1-4- -n n) )B.16(1-2B.16(1-2- -n n) ) C. (1-4 C. (1-4- -n n) )D. (1-2D. (1-2- -n n) ) 解析解析 a an na an n+1+1=4=4（ ）n n-1-144（ ）n n=2=25-25-2n n, , 故故a a1 1a a2 2+ +a a2 2a a3 3+ +a a3 3a a4 4+a an na an n+1+1 =2 =23 3+2+21 1+2+2-1-1+2+2-3-3+2+25-25-2n nC33233235211,.82aqqa212141)4

19、1 (332411)411 (8nn （2012.山东）在等差数列山东）在等差数列an中，中， a9=73， a3+a4+a5=84（）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（）对任意）对任意mN，将数列，将数列an中落入区中落入区间（间（9m，92m）内的项的个数记为）内的项的个数记为bm，求数列，求数列bn的的前前m项和项和Sm。解析：（解析：（）由）由a3+a4+a5=84，可得，可得而而a9=73，则，则 44384,28,aa94545,9daad ，4(4)28(4)998naandnn（）对任意mN299mmna令299 -89mmn则121889999mmn*nN21199

20、mmmnb取值个数为132101112999(999)mmmmSbbb2121221991 999911 91 9808919808mmmmmm21919808mmmS （20082008湖北文，湖北文，2121）已知数列已知数列 a an n 和和 b bn n 满满足：足：a a1 1= ,= ,a an n+1+1= = a an n+ +n n-4,-4,b bn n=(-1)=(-1)n n( (a an n-3-3n n+21),+21),其其中中 为实数，为实数，n n为正整数为正整数. . （1 1）证明：对任意实数）证明：对任意实数 , ,数列数列 a an n 不是等比数列

21、不是等比数列; ; （2 2）证明：当）证明：当 -18-18时，数列时，数列 b bn n 是等比数列是等比数列. . （1 1）可用反证法）可用反证法. . （2 2）根据递推关系推出）根据递推关系推出b bn n+1+1=- =- b bn n，用，用 -18-18说说明明b b1 100，即，即b bn n0.0.32思维启迪思维启迪32否定性问题否定性问题证明证明 （1 1）假设存在一个实数）假设存在一个实数 , ,使使 a an n 是等比数列是等比数列, ,则有则有 = =a a1 1a a3 3, ,即即 ，9=0,9=0,矛盾矛盾. .所以所以 a an n 不是等比数列不是

22、等比数列. .（2 2）b bn n+1+1=(-1)=(-1)n n+1+1a an n+1+1-3(-3(n n+1)+21+1)+21=(-1)=(-1)n n+1+1( ( a an n-2-2n n+14)+14)=- (-1)=- (-1)n n(a an n-3-3n n+21)=- +21)=- b bn n. .又又 -18-18，所以，所以b b1 1=-( +18)0.=-( +18)0.22a)494()332(2494949422323232 由上式知由上式知b bn n0,0,所以所以 ( (n nN N* *).). 故当故当 -18-18时，数列时，数列 b b

23、n n 是以是以-( +18)-( +18)为首项，为首项， 为公比的等比数列为公比的等比数列. . 证明一个数列是等比数列的主要方法有证明一个数列是等比数列的主要方法有 两种：一是利用等比数列的定义，即证明两种：一是利用等比数列的定义，即证明 ( (q q0,0,n nN N* *) )，二是利用等比中项法，即证明，二是利用等比中项法，即证明 = =a an na an n+2+20 (0 (n nN N* *).).在解题中，要注意根据欲证明在解题中，要注意根据欲证明 的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构 造出符合等比数列定义式的形式，从

24、而证明结论造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论. .探究提高探究提高321nnbb32qaann121na知能迁移知能迁移2 2 （20092009全国全国理，理，1919）设数列设数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已知已知a a1 1=1=1，S Sn n+1+1=4=4a an n+2.+2. （1 1）设）设b bn n= =a an n+1+1-2-2a an n，证明数列，证明数列 b bn n 是等比数列；是等比数列； （2 2）求数列）求数列 a an n 的通项公式的通项公式. . （1 1）证明证明 由已知有由已知有a a1 1+ +a a

25、2 2=4=4a a1 1+2,+2,解得解得a a2 2=3=3a a1 1+2=5,+2=5,故故b b1 1= =a a2 2-2-2a a1 1=3.=3. 又又a an n+2+2= =S Sn n+2+2-S-Sn n+1+1 =4 =4a an n+1+1+2-(4+2-(4a an n+2)=4+2)=4a an n+1+1-4-4a an n, , 于是于是a an n+2+2-2-2a an n+1+1=2(=2(a an n+1+1-2-2a an n) )，即，即b bn n+1+1=2=2b bn n. . 因此数列因此数列 b bn n 是首项为是首项为3,3,公比

26、为公比为2 2的等比数列的等比数列. . (2) (2)解解 由（由（1 1）知等比数列）知等比数列 b bn n 中中b b1 1=3,=3,公比公比q q=2,=2,所以所以a an n+1+1-2-2a an n=3=32 2n n-1-1, ,于是于是因此数列因此数列 是首项为是首项为 , ,公差为公差为 的等差数列的等差数列, ,所以所以a an n=(3=(3n n-1)2-1)2n n-2-2. .,432211nnnnaanna22143,414343) 1(212nnann随堂练习随堂练习1.求等比数列求等比数列的前的前8 8项的和项的和,.81,41,21解解: :21a1

27、 8n 212141q 256255211)21(1 21s88 B 3.某商场第某商场第1年销售计算机台，如果年销售计算机台，如果平均每年的销售量比上一年增平均每年的销售量比上一年增加加10%，那么从第，那么从第1年起，约几年内可使总销年起，约几年内可使总销售量达到台售量达到台（保留到个位）？（保留到个位）？分析：由题意可知，每年销售量比上一年增分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第加的百分率相同，所以从第1年起，年起，每年的销售量组成一个等比数列，总产量则每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前为等比数列的前n项和项和.增长率问题增长率问题 na3000

28、01.11)1.15000(1n 6 .1lg1 .1lgn5lg1.1lg1.6n 解：设每年的产量组成一个等比数列解：设每年的产量组成一个等比数列 其中其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000整理可得：整理可得：1.11.1n n=1.6=1.6两边取对数得两边取对数得即：即：答：约答：约5年内可以使总销售量达到年内可以使总销售量达到30000台台.4.已知数列已知数列是等差数列，且是等差数列，且（1 1）求数列）求数列的通项公式；的通项公式； ，求数列，求数列的前的前n n项和项和（2 2）令）令an2a1 12aaa321 an)Rn(3abnnn bnns 解：（

29、解：（1 1）设数列）设数列的公差是的公差是d,d,则则又又an12d3a3aaa1321 , 2a1 得得d=2d=2，所以，所以*nNn,n2a （2 2）令）令- -得得,b.bbsn21n 则由则由 得得nnnn3n23ab n1n2n3n23) 2n2(.3432s 1nn32n3n23) 2n2(.3432s 3 1nn2n3n2)3.33( 2s )31 ( 所以所以+113 3+2 32nnnns5.5.设函数设函数f f( (x x) )满足满足f f(0)=1,(0)=1,且对任意且对任意x x, ,y yR R，都有，都有f f( (xyxy+1)=+1)=f f( (x

30、 x) )f f( (y y)-)-f f( (y y)-)-x x+2.+2.（1 1）求）求f f( (x x) )的解析式；的解析式；（2 2）若数列）若数列 a an n 满足满足: :a an n+1+1=3=3f f( (a an n)-1 ()-1 (n nN N* *),),且且a a1 1=1,=1,求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；（3 3）求数列）求数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n. . 解解 （1 1）f f（0 0）=1=1，令，令x x= =y y=0,=0, 得得f f(1)=(1)=f f(0)(0)f f(0)-(0)-

31、f f(0)-0+2=2.(0)-0+2=2. 再令再令y y=0=0得得f f(1)=2=(1)=2=f f( (x x) )f f(0)-(0)-f f(0)-(0)-x x+2,+2, f f（x x）= =x x+1,+1,x xR R. .（2 2）f f（x x）= =x x+1,+1,a an n+1+1=3=3f f( (a an n)-1=3)-1=3a an n+2.+2.a an n+1+1+1=3(+1=3(a an n+1).+1).又又a a1 1+1=2,+1=2,数列数列 a an n+1+1是公比为是公比为3 3的等比数列的等比数列. .a an n+1=2+

32、1=23 3n n-1-1，即，即a an n=2=23 3n n-1-1-1.-1.（3 3）S Sn n= =a a1 1+ +a a2 2+a an n=2=2（3 30 0+3+31 1+3+32 2+3+3n n-1-1）- -n n=3=3n n- -n n-1.-1. 一阶常系数线一阶常系数线性递推公式性递推公式 6.某职工年初购房首付后余十万元向银行贷款某职工年初购房首付后余十万元向银行贷款（按揭），第二年初开始还款，以后每年等额还款（按揭），第二年初开始还款，以后每年等额还款一次，十次还清（分期付款）。若年利率为一次，十次还清（分期付款）。若年利率为5，计复利，问每年应还款多

33、少元？（精确到计复利，问每年应还款多少元？（精确到1元）元）分析：还款本利分析：还款本利-贷款本利贷款本利=0，（还款本利，（还款本利=贷款本利）贷款本利）解：设每年应还款解：设每年应还款x元元,根据题意，得根据题意，得29510(1 5%(1 5%+(1 5%=10 1+5%xxxx）（）105101 1.05 =101.051 1.05x（）51010101.050.05 =1.051x（） 12950（元）答：每年应还款答：每年应还款12950元元.分期付款问题分期付款问题 7.已知已知0rqp100,p-r=2(p-q).在一容器内装在一容器内装有浓度为有浓度为r%的溶液的溶液1千克，

34、注入浓度为千克，注入浓度为p%的溶液的溶液0.25千克千克,搅匀后倒出搅匀后倒出0.25千克，再注入浓度为千克，再注入浓度为p%的的溶液溶液0.25千克，搅匀后倒出千克，搅匀后倒出0.25千克，如此反复。千克，如此反复。(1)写出第一次混合后溶液浓度写出第一次混合后溶液浓度a1%.(2)设第设第n次混合后溶液浓度为次混合后溶液浓度为an%，用，用an表示表示an+1.(3)写出数列写出数列an 的通项公式。的通项公式。(4)为使浓度不低于为使浓度不低于q%,q%,问至少要进行多少次混合？问至少要进行多少次混合？解：解：11 %0.25%141%()%.1 0.2555rppr（ ）an1n1

35、a %0.25%412%( a)%.1 0.2555npp（ ）a1n41a.55npa两种浓度溶液混合问题1n1n4143a,(a).555nnppp（ ） aa14(r)0.5ppa.npa各项不为零+14=.5nnppaa44-)55nprpa是首项为 （, 公比为 等比数列。144=( -).55nnprpa（ ）4=( -).5nnrppa（ ）(4)-2(),.2prp rpqq%,naq为使必须且只需4+().52nr prpp（）,0rprp，4().52nrprp（）41.52n（）451lg 20.3010nlog=23lg 21130.3010=3.1，*,n4.nN答：

36、为使浓度不低于答：为使浓度不低于q%,q%,至少要进行至少要进行4 4次混合次混合. .211, , ,1,3(2)nnnnnkka b caanbncaSnaSa 8.是否存在实数使得且满足(其中?证明你的结论.21, , ,1,3(2)nnna b caanbncaSna 解：假设存在实数使得且满足.-1-123(1)nnnSna则当时，.n-1-133(2)(1)(2)nnnSSnanan-1 3(2)(1)(2)nnnananan即1-110, (2)1nnananan2111,122nanna 用逐商累乘法，得（也适合）探索性问题探索性问题211=, =, =0.22naanbncabc 与比较，得21111111=, =, =0,1.222222nabcanna当时，221111111()2222nnnnkkkSkkkk+1 11(1)(1)(21)2 622n nn nn1(1)(2)6n nn2113(n+2)()(2)22nnSnnna.2111,0,221,3(2)nnnabcaanbncaSna 存在实数使得且满足.211(1)(21)6nkkn nn11(1)2nkkn n证明祝您一帆风顺谢谢