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1、第一课时 函数的极值 5.3.2 函数的极值与最大（小）值问题引入：在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附近的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？探究2函数 y=f(x)在 x=a,b,c,d,e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律
2、？把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；把 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质思考：极大值一定大于极小值吗？小试牛刀设yf(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值x1x2x3x4思考导数值为0的点一定是函数的极值点吗？提示：导数值为 0 的点不一定是函数的极值点一般地，函数 y=f(x)在一点的导数
3、值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.解析由导函数的图象可知：x(，0)(2,4)时，f(x)0，x(0,2)(4，)时，f(x)0，因此f(x)在(，0)，(2,4)上单调递增，在(0,2)，(4，)上单调递减，所以x0取得极大值，x2取得极小值，x4取得极大值，角度一：知图判断函数的极值角度一：知图判断函数的极值角度二：求不含参数的函数极值问题角度二：求不含参数的函数极值问题解函数的定义域为R，f(x)2xexx2ex(x)2xexx2ex x(2x)ex.令f(x)0，得x(2x)ex0，解得x0或x2.x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递
4、减极小值0单调递增极大值4e2单调递减当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：因此当x0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)0；求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0得方程的根；(4)利用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小区间，列表，判定导函数在各个小区间的符号；(5)确定函数的极值，如果f(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值解(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1.角度三：求含参数的函数极值问题角度三：求含参数的
5、函数极值问题所以f(x)在(，1m)，(1m，)内单调递减，在(1m,1m)内单调递增函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，x(，1m)1m(1m，1m)1m(1m，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减(2)f(x)x22xm21.令f(x)0，解得x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：例例4已已知知f(x)ax5bx3c在在x1处处的的极极大大值值为为4，极极小小值值为为0，试试确定确定a，b，c的值的值已知函数的极值求参数已知函数的极值求参数x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)单调递
6、增极大值单调递减无极值 单调递减 极小值单调递增解f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f(x)0应有根x1，故5a3b，于是f(x)5ax2(x21)，当a0，x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：当a0时，同理可得a3，b5，c2.又5a3b，解得：a3，b5，c2.综上可知a3，b5，c2或a3，b5，c2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性解析：
7、若a1，f(x)a(x1)(xa)，f(x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，f(x)在xa处取得极小值，与题意不符；若1a0，则f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意矛盾，故选D.解因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知
8、，m的取值范围是(3,1)作出f(x)的大致图象如图所示：因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，解：由例题解析可知：当m3或m1时，直线ym与yf(x)的图象有两个不同的交点；当m1时，直线ym与yf(x)的图象只有一个交点m3m11研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标2事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值课堂小结课后习题5.3 （4、5）布置作业