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1、第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大（小）值 第一课时 函数的极值教学设计一、教学目标1. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值；3. 体会导数与单调性、极值的关系.二、教学重难点1、教学重点求函数极值. 2、教学难点函数极值与导数的关系.三、教学过程（一）新课导入教师：观察图（1），当时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？ 图（1）我们带着问题开始本节课的学习.（二）探索新知探究一：函数的极值放大附近函数的图象，如图（
2、2）.可以看出，；在的附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）.这样，当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有. 图（1） 图（2）提问：对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.总结：我们把a叫做函数的极小值点，叫做函
3、数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.例1 求函数的极值.解：因为，所以.令，解得或.当x变化时，的变化情况如表所示.x200单调递增单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.探究二：函数极值的求法教师：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？学生：思考回答.导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论，还是，恒有，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.一般地，函数在一点的导数值为0是函数在这点
4、取极值的必要条件，而非充分条件.总结：一般地，可按如下方法求函数的极值：解方程，当时：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.例2函数在上( )A.有极小值 B.有极大值C.既有极小值又有极大值D.无极值答案：A解析：，由，得.由，得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上有极小值，无极大值.故选A.（三）课堂练习1.函数的极值点的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：A解析：由题意知，令，则，令，得，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，由此可知，所以函数不存在极值点，故选A.2.若是函数的极值点，则的极小值为( )A.-1B.
5、C.D.1答案：A解析：因为，所以，所以，.令，解得或，所以当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以的极小值为.故选A.3.已知函数，若函数有三个极值点，则实数k的取值范围为( )A.B.C.D.答案：C解析：本题考查利用导数研究函数的极值点个数.，求导，得，令，得或.要使有三个极值点，则有三个互不相等的实根，即方程有两个不等于1的实根.，令，则，令，得.易知，且，；，所以当时，方程即有两个不等实根.又，所以，即.综上，实数k的取值范围是.故选C.4.已知函数，若在处取得极小值，则a的取值范围是( )A.B.C.D.答案：D解析：因为，所以，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；当且时，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，满足题意；当时，在上单调递增，不满足题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意.故a的取值范围为，故选D.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容？1.函数的极值.2.函数极值的求法.四、板书设计5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第一课时1.函数的极值.2.函数极值的求法.6学科网（北京）股份有限公司