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1、一、静定静不定概念一、静定静不定概念 1、静定问题静定问题仅用静力平衡方程就能求出全部未知仅用静力平衡方程就能求出全部未知 力，这类问题称为静定问题力，这类问题称为静定问题.实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。2、静不定问题静不定问题仅用静力平衡方程不能求出全部未仅用静力平衡方程不能求出全部未 知力。又称超静定问题。知力。又称超静定问题。实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。第六章第六章 简单超静定问题简单超静定问题6.16.16.2 6.2 概述及拉压静不定问题概述及拉压静不定问题材料力学材料力学1
2、中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院3、静不定次数：静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差。未知力数目与平衡方程数目之差。也是需要补充的方程数目。也是需要补充的方程数目。未知力：未知力：4个个平衡方程：平衡方程：2个个静不定次数静不定次数=42=2需要补充需要补充2个方程个方程此结构可称为此结构可称为2 2次静不定结构次静不定结构材料力学材料力学2中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5、多余约束力：多余约束力：多余约束提供的约束力。多余约束提供的约束力。静不定次数静不定次数=多余约束力数目多余约束力数目4、多余约束：多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束。若没有这结构保持静定所需约
3、束之外的约束。若没有这 些约束结构也能保持一定的几何形状。些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定静定)材料力学材料力学3中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院二、拉压静不定问题的解法二、拉压静不定问题的解法 1、判断静不定次数；、判断静不定次数；2、列静力平衡方程；、列静力平衡方程；3、列几何方程：、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系，具体问题需反映各杆变形之间的几何关系，具体问题需 具体分析。一般通过具体分析。一般通过“变形几何图变形几何图”列方程。列方程。特别注意：力与变形相对应！特别注意：力与变形相对应！（即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应）（即杆件的伸长或缩短必须与
4、受力图的杆件的拉压对应）4、列物理方程：变形与力的关系；、列物理方程：变形与力的关系；5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得、列补充方程：物理方程代入几何方程即得 变形协调方程变形协调方程。材料力学材料力学4中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院拉压静不定问题的解法拉压静不定问题的解法（1 1）静力平衡方程）静力平衡方程力学力学原有基础原有基础（2 2）变形协调方程变形协调方程几何几何灵活思考灵活思考（3 3）材料本构方程）材料本构方程物理物理构筑桥梁构筑桥梁（4 4）方程联立求）方程联立求解解代数代数综合把握综合把握材料力学材料力学5中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院解：解：1 1
5、、判断、判断：一次静不定。：一次静不定。图示结构，求各杆轴力。图示结构，求各杆轴力。FE2A2 l2E3A3 l3=E2A2 l2E1A1 1 l1 1ABCDFFN1FN3FN2xy2、列平衡方程、列平衡方程3、列几何、列几何(变形协调变形协调)方程方程 l3 l14、列物理方程、列物理方程5、列补充方程、列补充方程将物理方程代入几何方程得补充方程将物理方程代入几何方程得补充方程材料力学材料力学6中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院解得解得材料力学材料力学7中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院OAB为刚性梁，为刚性梁，写几何方程。写几何方程。llF450OABlllFa aOABlb
6、 bCOAB为刚性梁，为刚性梁，、两杆材料相同，两杆材料相同，抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。l1 l2 l1材料力学材料力学8中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院aaF450OABOAB为刚性梁，为刚性梁，、两杆材料相同，两杆材料相同，EA2=2EA1。求。求杆与杆与杆的应力之比。杆的应力之比。l1 l2解：变形协调关系解：变形协调关系即即由物理关系建立补充方程，考虑对由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联取矩得平衡方程，联立求出两杆轴力，再求应力后得结果。立求出两杆轴力，再求应力后得结果。小技巧小技巧材料力学材料力学9中南大学土木工程学院中南大学
7、土木工程学院 l3 l2FABCD300300l图示支架承受力图示支架承受力F 作用，作用，杆的抗拉刚度杆的抗拉刚度为为EA，杆的杆的抗拉刚度为抗拉刚度为1.5EA，杆的杆的抗拉刚度为抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。求各杆的轴力。解：平衡方程为解：平衡方程为AFFN1FN2FN3变形协调方程变形协调方程A l1300300300300300化简得化简得材料力学材料力学10中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院物理关系为物理关系为代入变形协调方程得补充方程代入变形协调方程得补充方程联立平衡方程求得联立平衡方程求得求拉压静求拉压静不定结构不定结构注意事项注意事项内力假设与变形假设应一致。内力假设
8、与变形假设应一致。内力假设受拉，变形只能假设伸长。内力假设受拉，变形只能假设伸长。内力假设受压，变形只能假设缩短。内力假设受压，变形只能假设缩短。材料力学材料力学11中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 2 l2=l1+l3 2(l2+l1)=l3+l1 2(l2+l3)=l1+l3几何方程几何方程图示静不定结构，图示静不定结构，可列如右变形图。可列如右变形图。F刚刚 体体aa123（a）l1l2l3（b）l1l2l3（c）l1l2l3材料力学材料力学12中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一
9、致。对应受力图对应受力图FFN1FN2FN3（b）FFN1FN2FN3（c）FFN1FN2FN3（a）（a）l1l2l3（b）l1l2l3（c）l1l2l3材料力学材料力学13中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院内力按刚度比分配。内力按刚度比分配。思考：静定结构是否也是这样？思考：静定结构是否也是这样？刚度较大刚度较大内力较大内力较大静不定结构的特点（静不定结构的特点（1）FABCDFABC刚度增加刚度增加内力不变内力不变材料力学材料力学14中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院静不定结构的特点（静不定结构的特点（2）装配应力装配应力ABCABCD静定结构静定结构 无装配应力无装配应力静
10、不定结构静不定结构？产生装配应力产生装配应力材料力学材料力学15中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院解：因制造误差，装配时解：因制造误差，装配时各杆必须变形各杆必须变形，因此产生装配内力。因此产生装配内力。一次静不定问题。一次静不定问题。几何方程：几何方程：l1 l2/cosq q=平衡方程：平衡方程：FN2=FN3 FN12FN2cosq q=0 已知三根杆已知三根杆EA相同，相同，1杆有制造误差杆有制造误差，求装配后各杆的应力。求装配后各杆的应力。q q1 12 23 3lABCDq q l1 l2FN1AFN3FN2q q q q物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得物
11、理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得物理方程物理方程：注意注意1 1杆变形计算时用杆变形计算时用l材料力学材料力学16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院装配应力是不容忽视的，如：装配应力是不容忽视的，如：/l=0.001，E=200GPa，q q=30 s s1=113MPa ，s s2=s s3=65.2MPa 正确正确注意：注意：1杆伸长，只能是拉力，杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短杆缩短,应为压力。应为压力。FN1AFN3FN2q q q qFN1AFN3FN2q q q q不正确不正确材料力学材料力学17中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院图示悬吊结构图示悬吊结
12、构AB梁刚性，各杆梁刚性，各杆EA相同，杆相同，杆3短短，求各杆装配应力。求各杆装配应力。l刚刚 体体123aa AB解：解：1、平衡方程、平衡方程FN1FN2+FN3=0FN1=FN32、几何方程、几何方程 l1 l2 l3即即3、物理方程、物理方程刚刚 体体aABFN3aFN1FN23 3杆用理论长度计算变形杆用理论长度计算变形材料力学材料力学18中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院4、补充方程、补充方程补充方程与平衡方程联立解得补充方程与平衡方程联立解得:变形协调关系变形协调关系平衡方程平衡方程两杆均为拉力，计算两杆均为拉力，计算杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。杆伸长必须用理论长
13、度，不用实际长度。AB为刚性梁，为刚性梁，写出所需方程。写出所需方程。a2a450A BC l1 l2材料力学材料力学19中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院静不定结构的特点（静不定结构的特点（3）温度应力温度应力ABC升温升温T oC结构不因结构不因温度变化温度变化产生内力产生内力ABCD升温升温T oC结构会因结构会因温度变化温度变化产生内力产生内力材料力学材料力学20中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 温度变化引起杆的长度变化，多余温度变化引起杆的长度变化，多余约束限制了这个变化，引起温度内力。约束限制了这个变化，引起温度内力。几何方程：几何方程：l=lt-lF=0 物理方程：
14、物理方程：lt=a al t，lF=FNl/EAa a为材料的线膨胀系数为材料的线膨胀系数 对于无约束的杆件，当温度变化为对于无约束的杆件，当温度变化为 时，杆时，杆件的变形为：件的变形为：式中：式中：a a 材料的线膨胀系数。材料的线膨胀系数。图示构件因温度变化引起的内力图示构件因温度变化引起的内力lABFN材料力学材料力学21中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院解：受力图如图示（设二杆均受压）解：受力图如图示（设二杆均受压）图示结构，图示结构，EA及线膨胀系数及线膨胀系数a a相同的两杆相同的两杆和和与刚体相连，当杆与刚体相连，当杆温度升高温度升高 t度时，两杆的内力和应力分别为多少？
15、度时，两杆的内力和应力分别为多少？l2lllAAFN1FN2FAxFAy列平衡方程列平衡方程 S SMA=0杆在温度影响下伸长，在轴力作用杆在温度影响下伸长，在轴力作用下缩短，下缩短，杆在轴力作用下缩短。刚杆在轴力作用下缩短。刚体绕体绕A转动，转动，变形几何关系图如图示。变形几何关系图如图示。q qq q l1 l2由图可列出变形几何关系方程由图可列出变形几何关系方程 2 l1=l2得得结合平衡方程，求得结合平衡方程，求得材料力学材料力学22中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院刚性梁刚性梁AB悬挂于三根平行杆上。悬挂于三根平行杆上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，=0.2
16、m。1杆由黄铜制成，杆由黄铜制成，E1=100GPa，A1=2cm2，a a1=16.510-6/0C。2和和3杆由碳钢制成，杆由碳钢制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2，A3=3cm2，a a2=a a3=12.510-6/0C，F=40kN。设温度升高设温度升高20 0C，求各杆的应力。，求各杆的应力。l刚刚 体体123ab ABcFFN2ab ABcFFN1FN3解：平衡方程为解：平衡方程为FN1+FN2+FN3F=0FN1a+Fc FN3b=0变形协调方程为变形协调方程为 l1 l2 l3材料力学材料力学23中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院物理方程为物理方程为物理方程
17、代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得：物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得：FN1=7.92kN，FN2=10.2kN，FN3=21.9kN由此求得应力为由此求得应力为s s1=39.6MPa，s s2=102MPa，s s3=73MPaFN2ab ABcFFN1FN3 l1 l2 l3材料力学材料力学24中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院解解:受力分析受力分析,建立平衡方程建立平衡方程未知力偶矩未知力偶矩2 2个，平衡方程个，平衡方程1 1个，一次超静定个，一次超静定变形分析变形分析,列变形协调方程列变形协调方程联立求解方程联立求解方程(a)(a)与与(b)
18、(b)建立补充方程建立补充方程代入上式代入上式试求图示轴两端的约束力偶矩。试求图示轴两端的约束力偶矩。6.36.3 扭转扭转超静定问题超静定问题材料力学材料力学25中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院AB设有设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶两个凸缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这时把一个的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除M。设轴和圆筒的抗扭刚度。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是分别是G1Ip1和和G2Ip2，试求轴内和筒内的扭矩。，试求轴内和筒内的扭矩。MM解解：由由于于筒筒与与轴轴的的凸凸缘缘焊焊接接在在一一起起，外
19、外加加力力偶偶M解解除除后后，圆圆轴轴必必然然力力图图恢恢复复其其扭扭转转变变形形，而而圆圆筒筒则则阻阻抗抗其其恢恢复复。这这就就使使得得在在轴轴内内和和筒筒内内分分别别出出现现扭扭矩矩T1和和T2。设设想想用用横横截截面面把把轴轴与与筒筒切切开开，因因这这时时已已无无外外力力偶偶矩矩作作用用，平平衡衡方程为方程为T1T2T1-T2=0材料力学材料力学26中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院焊接前轴在焊接前轴在M作用下的扭转角为作用下的扭转角为MMj jj j2j j1变形协调条件变形协调条件T1T2=0材料力学材料力学27中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院一、相当系统的建立一、相当
20、系统的建立 1、相当系统的特点：、相当系统的特点：静定结构；静定结构；含有多余约束力；含有多余约束力；主动力与原结构相同。主动力与原结构相同。2、建立相当系统的步骤：、建立相当系统的步骤：判断静不定次数；判断静不定次数；解除多余约束，代之以多余约束力；解除多余约束，代之以多余约束力；其余照原问题画。其余照原问题画。6.4 6.4 弯曲简单超静定问题弯曲简单超静定问题材料力学材料力学28中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院解：解：建立相当系统建立相当系统=处理方法：变形协调方程、物理方程处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。与平衡方程相结合，求全部未知力。确定静不定
21、次数，用多余约束力代确定静不定次数，用多余约束力代替多余约束所得到的静定结构替多余约束所得到的静定结构原结构的相当系统。原结构的相当系统。B画出图示静不定结构的弯矩图。画出图示静不定结构的弯矩图。qlAEIMAqlAEIB或或FBqlAEIB几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系材料力学材料力学29中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院补充方程补充方程求解其它问题（应力、变形等）求解其它问题（应力、变形等）FBqlAEIB+=FBlAEIBqlAEIBMBqlAEI弯矩图弯矩图材料力学材料力学30中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院解：相当系
22、统如图，任意解：相当系统如图，任意x截面弯矩为截面弯矩为lFBABqx时弯矩取极值时弯矩取极值固定端处弯矩为固定端处弯矩为当当 时，梁的受力最合理。时，梁的受力最合理。从强度角度考虑为了使梁的受从强度角度考虑为了使梁的受力最合理，将支座向上移动力最合理，将支座向上移动，试求该试求该 值，并作弯矩图。值，并作弯矩图。lABq EI材料力学材料力学31中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院支座支座B端上移端上移两种情形弯矩图的对比。两种情形弯矩图的对比。FBlABq EIMlABqEIMlABq EI材料力学材料力学32中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院几何方程几何方程 变形协调方程变形协
23、调方程解：解：建立相当系统建立相当系统=FBqlAEIB物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系结构如图，求结构如图，求B点约束力。点约束力。EACqlAEIBlBC=+FBlAEIBqlABEI材料力学材料力学33中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系补充方程补充方程求解其它问题（内力、应力、求解其它问题（内力、应力、变形等）变形等）=+FBlAEIBEACqlAEIBlBCqlABEI材料力学材料力学34中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院ABCll llABC 超静定梁的装配应力超静定梁的装配应力图示三支座等截面梁，由于制造不精确，轴
24、承有高低。已知梁的抗弯图示三支座等截面梁，由于制造不精确，轴承有高低。已知梁的抗弯刚度刚度EI及及 和和l，求两种情况下的最大弯矩。，求两种情况下的最大弯矩。BB ACll FBllACFB解：各梁的相当系统如图解：各梁的相当系统如图材料力学材料力学35中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院l450F悬臂梁的自由端与光滑斜面恰好接触。悬臂梁的自由端与光滑斜面恰好接触。若温度升高若温度升高 T，试试求梁内最大弯矩。求梁内最大弯矩。设设E、A、I、a a已知，且梁的自重和已知，且梁的自重和轴轴力力对对弯曲弯曲变变形的影响可略去不形的影响可略去不计计。l450解：温度升高后，斜面对梁的约解：温度升
25、高后，斜面对梁的约 束力如图所示，其变形为伸束力如图所示，其变形为伸 长和弯曲同时发生。长和弯曲同时发生。变形协调方程为伸长和弯曲变形相等。即变形协调方程为伸长和弯曲变形相等。即解得：解得：材料力学材料力学36中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院悬臂梁悬臂梁AB，用短梁用短梁DG加固，试分析加固效果。加固，试分析加固效果。P209，6-17解：解：1 1、静不定分析、静不定分析2、加固效果分析、加固效果分析最大弯矩减少最大弯矩减少 62.5%与与 相比，减少相比，减少39.1%Fl加固前加固前加固后加固后材料力学材料力学37中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院悬臂梁同时受拉杆约束，悬臂
26、梁同时受拉杆约束，试求杆试求杆BC的轴力。的轴力。解：梁的轴向变形一般忽略不计解：梁的轴向变形一般忽略不计如考虑梁的轴向变形，如何求解如考虑梁的轴向变形，如何求解?解除约束代约束力并考虑变形几何关系。解除约束代约束力并考虑变形几何关系。BB lCB lABwB材料力学材料力学38中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院梁梁AB和和BC在在B处铰接，处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。FB FBwB1wB2解：解除解：解除B处约束代之以约束力，使超静处约束代之以约束力，使超静 定结构变
27、成两个悬臂梁。定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：物理关系物理关系物理关系代入变形协调方程得补充方程：物理关系代入变形协调方程得补充方程：材料力学材料力学39中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院由此可以确定由此可以确定A端和端和C端的约束力。端的约束力。FAFCMCMAFS（kN）71.258.7548.754.4375mM（kNm）12511517.51.91材料力学材料力学40中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院长为长为l，刚度为，刚度为EI的梁两端固定，承受均布荷载作的梁两端固定，承受均布荷载作用，画出梁的弯矩图并求跨中的挠度。用，画出梁的弯矩图并求跨中的挠度。
28、P208，6-15lqABC解：此结构为对称结构承受对称外力作用，解：此结构为对称结构承受对称外力作用，所以在对称轴处对称内力所以在对称轴处对称内力(弯矩弯矩)不等于零，不等于零，反对称内力反对称内力(剪力剪力)等于零。对称轴处对称位等于零。对称轴处对称位移移(挠度挠度)不等于零，反对称位移不等于零，反对称位移(转角转角)等于等于零。于是相当系统如图所示。零。于是相当系统如图所示。l/2qACMCwC补充方程为补充方程为跨中挠度为跨中挠度为 M图图求得求得材料力学材料力学41中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院解：相当系统如图所示，其变形解：相当系统如图所示，其变形 几何关系为几何关系为M
29、图图P209，6-19高度为高度为h的等截面梁两端固定的等截面梁两端固定,支座支座B下沉下沉，求，求s smax=?=?求得求得材料力学材料力学42中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院lABq qFAMA解：解除解：解除A端约束，并代之以端约束，并代之以 约束力得到相当系统。约束力得到相当系统。变形协调方程为变形协调方程为wA=0，q qA=q q。即即联立联立解得解得（）（）由平衡方程由平衡方程求得求得（）（）M长为长为l，抗弯刚度为，抗弯刚度为EI的梁的梁AB两端固定，两端固定，当左固定端转动一个微小角度当左固定端转动一个微小角度q q后，画梁后，画梁的弯矩图。的弯矩图。P209，6-
30、21lABq qq q材料力学材料力学43中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院若解除若解除B端约束，并代之以约束力得到图示相当系统。端约束，并代之以约束力得到图示相当系统。变形协调方程为变形协调方程为 wB=lq q，q qB=q q。lABq qq qFBMBq q即即联立联立解得解得（）（）材料力学材料力学44中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院ABCDlabFq连续梁弯曲刚度连续梁弯曲刚度EI=5106Nm2，q=20kN/m，F=30kN。l=4m，a=3m，b=2m。画梁的剪力和弯矩图。画梁的剪力和弯矩图。P198，例，例6-8ABCDlabFqMBMB解：解除解：解除B处阻
31、止截面处阻止截面相对相对转动转动的约束，代之以一对约的约束，代之以一对约束力偶束力偶MB。得到由两个简支。得到由两个简支梁组成的静定基。因为梁组成的静定基。因为两个两个简支梁各自作用的荷载互不简支梁各自作用的荷载互不影响，相对简单。影响，相对简单。变形协调方程为变形协调方程为物理方程为物理方程为材料力学材料力学45中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院物理方程代入变形协调方程得补充方程，由补充方程求得物理方程代入变形协调方程得补充方程，由补充方程求得MB=-31.8kNmFS图图(kN)32.0547.9518.4011.641.6mM图图(kNm)25.6831.8023.28ABCDFqMBMBABCDlabFq材料力学材料力学46中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院材料力学材料力学47中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院