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1、第五章第五章 刚体的转动刚体的转动本章主要内容本章主要内容5-15-15-15-1 刚体刚体转转动动的描述的描述 5-2 5-2 5-2 5-2 转动定律转动定律5-3 5-3 5-3 5-3 转动惯量的计算转动惯量的计算5-45-45-45-4 转动转动定律的应用定律的应用5-5 5-5 5-5 5-5 角动量守恒角动量守恒5-6 5-6 5-6 5-6 转动中的功和能转动中的功和能5-7 5-7 5-7 5-7 进动进动5-1 5-1 刚体转动的描述刚体转动的描述刚体转动的描述刚体转动的描述l 转动转动刚体上所有的质元均绕同一直线做圆周运动。刚体上所有的质元均绕同一直线做圆周运动。&刚体的
2、概念刚体的概念 l 没有形状和体积的变化；没有形状和体积的变化；l 理想模型；理想模型；l 特殊的质点系；特殊的质点系；&刚体运动的分类刚体运动的分类l 平动平动刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。平动时所有质元的运动完全相同，可用刚体的质心的平动时所有质元的运动完全相同，可用刚体的质心的运动代替整个刚体的运动。运动代替整个刚体的运动。该直线成为转轴。该直线成为转轴。l 一般运动一般运动平动和转动的叠加。平动和转动的叠加。&刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体转动时，转轴固定。刚体转动时，转轴固定。特点特点:任意质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。任
3、意质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。一般情况下，各质元的线速度、加速度不同。一般情况下，各质元的线速度、加速度不同。各质元运动的各质元运动的角位移角位移、角速度角速度、角加速度角加速度 相同。相同。转动平面转动平面&描述刚体转动的角量描述刚体转动的角量 角速度角速度角速度角速度 角角角角位移位移位移位移 角角角角加加加加速度速度速度速度对定轴转动，矢量可简化为标量：对定轴转动，矢量可简化为标量：如右图，如右图，、与与Z 轴方向相同，其值为正，否则为负；轴方向相同，其值为正，否则为负；与与 方向相同，为加速转动，否则为减速转动。方向相同，为加速转动，否则为减速转动。若若=常量，则刚体作匀变速
4、转动。常量，则刚体作匀变速转动。&刚体匀变速转动公式刚体匀变速转动公式同匀变速直线运动公式。同匀变速直线运动公式。容易得到：容易得到：&角量与线量的关系角量与线量的关系例例题题 一一飞飞轮轮转转速速n=1500r/min，受受到到制制动动后后均均匀匀地地减减速速，经经t=50 s后静止。后静止。（1）求求角角加加速速度度a和和飞飞轮轮从从制制动动开开始始到到静静止止所所转转过过的的转转数数N；（2）求制动开始后）求制动开始后t=25 s时飞轮的角速度时飞轮的角速度；（3）设设飞飞轮轮的的半半径径r=1m，求求在在t=25 s时时边边缘缘上上一一点点的的速速度度和和加速度。加速度。解解（1）设初
5、角度为）设初角度为 0，方向，方向如图所示，量值为如图所示，量值为 0=21500/60=50 rad/s，对于匀变速转动，可以应用以对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在角量表示的运动方程，在t=50 s时刻时刻=0，代入方程，代入方程=0+at得得 0vanatarO从开始制动到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数及转数N分别为分别为（2）t=25 s 时飞轮的角速度时飞轮的角速度 的方向与的方向与 0相同相同；（3）t=25 s 时飞轮边缘上一点时飞轮边缘上一点P的速度的速度 可由可由 的方向垂直于的方向垂直于 和和 构成的平面，如图所示构成的平面，如图所示
6、相应的切向加速度和向心加速度分别为相应的切向加速度和向心加速度分别为求得。所以求得。所以边边缘缘上上该该点点的的加加速速度度 其其中中 的的方方向向与与 的的方方向相反，向相反，的方向指向轮心，的方向指向轮心，的大小为的大小为 的方向几乎和的方向几乎和 相同相同例：当陀螺圆盘的转子的角加速度从零开始与时间成正比的例：当陀螺圆盘的转子的角加速度从零开始与时间成正比的 增大，经过增大，经过5min后，转子以后，转子以600rads-1的角速度转动，的角速度转动，求转子在这段时间内转过的圈数。求转子在这段时间内转过的圈数。由角加速度定义变积分后得：由角加速度定义变积分后得：解：根据题意，设角加速度为
7、：解：根据题意，设角加速度为：当当t=5min=300s时，时，=600rads-1，则：，则：由角速度定义变积分可得：由角速度定义变积分可得：当当t=300s，代入上式，得：，代入上式，得：所以转子在所以转子在5min中内转过的圈数为：中内转过的圈数为：5-2 5-2 转动定律转动定律 5-3 5-3 转动惯量的计算转动惯量的计算&刚体的角动量和转动惯量刚体的角动量和转动惯量 角动量：角动量：轴向总角动量轴向总角动量：此角动量沿此角动量沿Z 轴的分量为：轴的分量为：注意：注意：为质元到转轴的垂直距离。为质元到转轴的垂直距离。意义意义：转动惯量是对刚体转动时：转动惯量是对刚体转动时惯性惯性惯性
8、惯性大小的量度。大小的量度。特性特性：（：（1 1）与质量有关。）与质量有关。（2 2）与质量对轴的分布有关。）与质量对轴的分布有关。（3 3）与转轴的位置有关。）与转轴的位置有关。转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量 轴向总角动量轴向总角动量轴向总角动量轴向总角动量 （1 1）质点系）质点系（2 2）质量连续分布）质量连续分布 转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算 线分布线分布：线密度：线密度面分布面分布：面密度：面密度 体分布体分布：体密度：体密度 uu 平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定理u 对同一轴可叠加对同一轴可叠加 计算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律计
9、算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律 JcJdmC质心质心例：如图所示，一正方形边长为例：如图所示，一正方形边长为 ，它的四个顶点各有一个，它的四个顶点各有一个 质量为质量为 的质点，分别求此系统对（的质点，分别求此系统对（1）轴；（轴；（2）轴；（轴；（3）轴的转动惯量。轴的转动惯量。如如图图5-10所示，所示，P、Q、R和和S是附于是附于刚刚性性轻轻质细质细杆上的杆上的质质量分量分别为别为4m、3m、2m和和m的的四个四个质质点，点，PQQRRSl，则则系系统对统对轴轴的的转动惯转动惯量量为为_。解：（解：（1 1）对过端点的轴）对过端点的轴（2 2）对过质心的轴）对过质心的轴利用平
10、行轴定理：利用平行轴定理：例例 求质量均匀分布的细棒对（求质量均匀分布的细棒对（1 1）通过端点的轴转动惯）通过端点的轴转动惯量；（量；（2 2）通过杆的中心转动惯量。设棒长为）通过杆的中心转动惯量。设棒长为 ，质量为，质量为 。例例:求质量为求质量为m 半径为半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。平面垂直并通过圆心。解解:在环上任取一小线元在环上任取一小线元dlROdm其质量其质量解解:将圆筒分为将圆筒分为一系列的圆环，质量为dm例例:求质量为求质量为M 半径为半径为R 的薄圆筒绕中心轴的转动惯量。的薄圆筒绕中心轴的转动惯量。（不计厚度）（
11、不计厚度）圆环与圆环与圆筒的转动惯量公式相同圆筒的转动惯量公式相同RO例：求半径为例：求半径为R质量为质量为m的均匀圆环的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量对于沿直径转轴的转动惯量解：解：圆环的质量密度为圆环的质量密度为在环上取质量元在环上取质量元dm，dm距转轴距转轴r例例：求求圆圆盘盘对对于于通通过过中中心心并并与与盘盘面面垂垂直直的的转转轴轴的的转转动动惯惯量量。设圆盘的半径为设圆盘的半径为R，质量为，质量为m，厚度为，厚度为l，密度均匀。，密度均匀。Rrdr解：解：设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为，在圆盘上取一半径为r、宽、宽度为度为dr的圆环（如图），它的
12、转动惯量为：的圆环（如图），它的转动惯量为：以以 表示圆盘的密度，则圆环的质量为：表示圆盘的密度，则圆环的质量为：由于由于 ，上式可写为：，上式可写为：于是，圆盘于是，圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量为：对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量为：此例对圆盘厚度此例对圆盘厚度l不限制，不限制，所以一个质量为所以一个质量为m，半径为，半径为R的的均匀实心圆柱对其轴的转动惯量也是均匀实心圆柱对其轴的转动惯量也是 。说明：说明：说明：说明：直径直径薄球壳：薄球壳：直径直径球体：球体：圆盘：圆盘：对称轴对称轴常用的转动惯量常用的转动惯量过中点垂直于杆过中点垂直于杆细杆：细杆：过一端垂直于杆
13、过一端垂直于杆圆环：圆环：对称轴对称轴例例:如图所示，刚体对经过如图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？惯量如何计算？(棒长为棒长为L,球球半径为半径为R）&刚体的转动定律刚体的转动定律 力矩力矩质点系的角动量改变质点系的角动量改变任意质点系的角动量定理：任意质点系的角动量定理：z 方向的分量式：方向的分量式：刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律：其中其中其中其中转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量：（对对 z 轴轴）角动量角动量角动量角动量：定轴下，可不写角标定轴下，可不写角标 Z，记作：，记作：MJ=a a与牛顿第二定律比较
14、：与牛顿第二定律比较：MFJmaa a m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性M：对转轴的：对转轴的合外力矩合外力矩。J：刚体对转轴的转动惯量：刚体对转轴的转动惯量MJ=a a:刚体的角加速度。刚体的角加速度。式中：式中：必对同一转轴。必对同一转轴。力对定轴力对定轴力对定轴力对定轴z z的力矩的力矩的力矩的力矩选择转轴上任何一点选择转轴上任何一点OR 作为作为 的的参考点。参考点。轴向总力矩轴向总力矩：力矩：力矩：对多个外力的作用：对多个外力的作用：说明：一对作用力和反作用说明：一对作用力和反作用 力对同一轴之矩恒为零。力对同一轴之矩恒为零。例：如图一
15、圆盘质量为例：如图一圆盘质量为m，半径为，半径为R，与桌面的摩擦系数为，与桌面的摩擦系数为，求圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦求圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦 力矩。力矩。ROr课堂练习：课堂练习：一根质量为一根质量为m，长度为，长度为l的均匀细杆的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的摩擦系数为其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的摩擦系数为，求杆转动时所受的摩擦力矩。求杆转动时所受的摩擦力矩。例例 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O O以以角速度角速度w
16、 w按图示方向转动按图示方向转动.若如图所示的情况那样，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F F沿沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 (A)(A)必然增大必然增大 (B)(B)必然减少必然减少 (C)(C)不会改变不会改变 (D)(D)如何变化，不能确定如何变化，不能确定 解：解：例例一一可可绕绕定定轴轴转转动动的的飞飞轮轮，在在20 Nm的的总总力力矩矩作作用用下下，在在10s内内转转速速由由零零均匀地增加到均匀地增加到8 rad/s，飞轮的转动惯量，飞轮的转动惯量J_ 5-4 5
17、-4 转动定律的应用转动定律的应用转动定律的应用转动定律的应用规范的解题思路：规范的解题思路：分析题意，确定哪些物体是刚体，分析题意，确定哪些物体是刚体，哪些是质点，及其与问题关系。哪些是质点，及其与问题关系。选择坐标系和角量的参考方向，对选择坐标系和角量的参考方向，对刚体列出转动定律方程，对质点列出牛刚体列出转动定律方程，对质点列出牛顿定律方程，并列出角量与线量的关系，顿定律方程，并列出角量与线量的关系，再求解。再求解。画画隔离隔离体体受力受力分析图，确定对刚体分析图，确定对刚体有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。认物体认物体看运动看运动查受力查受力列方程
18、列方程分析刚体的转动和质点运动情况，分析刚体的转动和质点运动情况，找出相关的线量找出相关的线量()()和和 ()()。例：一个质量为例：一个质量为M，半径为，半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落由静止下落h高度时的速度和此时滑轮高度时的速度和此时滑轮的角速度。的角速度。解：图中拉力解：图中拉力T1和和T2的大小相等，以的大小相等，以T表示。表示。对定滑轮对定滑轮M，由转动定律，对于轴，由
19、转动定律，对于轴O，有，有对物体对物体m，由牛顿第二定律，沿，由牛顿第二定律，沿y方向，有方向，有滑轮和物体的运动学关系为滑轮和物体的运动学关系为以上三式联立，可得物体下落的加速度为以上三式联立，可得物体下落的加速度为物体下落高度物体下落高度h时的速度为时的速度为这时滑轮转动的角速度为这时滑轮转动的角速度为例例:定定滑滑轮轮看看作作匀匀质质圆圆盘盘，一一轻轻绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，两两端端分分别别悬悬挂挂质质量量为为m1和和m2的的两两个个物物体体，且且m16 s；当当 取负值，则棒向右摆，其条件为取负值，则棒向右摆，其条件为当当 取正值，则棒向左摆，其条件为取正值，则棒向左摆，其条件为
20、亦即亦即l6 s把式（把式（5）代入上式，所求结果为）代入上式，所求结果为（6）质点运动与刚体的定轴转动对比质点运动与刚体的定轴转动对比质点运动质点运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动位移位移角位移角位移速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量转动惯量转动惯量力力力矩力矩牛顿第二定律牛顿第二定律转动定律转动定律动量动量角动量角动量动量定理动量定理角动量定理角动量定理质点运动质点运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量守恒定律动量守恒定律 角动量守恒定律角动量守恒定律动能动能转动动能转动动能功功功功功率功率功率功率动能定理动能定理动能定理动能定理机械能守恒定律机械能守恒定律（只有保守（只有保守力做功，则机械能守恒。）力做功，则机械能守恒。）机械能守恒定律（只有保守机械能守恒定律（只有保守力做功，则机械能守恒。）力做功，则机械能守恒。）本章结束本章结束The End of This Chapter作业P1789,12,15，16