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1、 第第7 7章章 方差分析方差分析第6章方差分析ANOVATheAnalysisofVariance Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望本章大纲6.1 单因素方差分析单因素方差分析6.2 多重比较多重比较6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.4 非参数方法非参数方法 6.1 单因素方差分析单因素方差分析(One-Way ANOVA)例例 6.1 研究扑尔敏（氯苯吡胺，研究扑尔敏（氯苯吡胺，Chlorpheniramine）药）药片的剂量，从片的剂量，
2、从7个药厂生产的扑尔敏药片中，各抽取个药厂生产的扑尔敏药片中，各抽取10片片做检验，测量出每片中含有氯苯吡胺的剂量（做检验，测量出每片中含有氯苯吡胺的剂量（mg）。）。实验指标Y：定量变量，本例为药片的剂量。实验因素(Factors)：定性变量，本例为单因素，只有药厂（Labs）一个实验因素。因素水平：实验因素的不同取值，本例为Lab1，Lab2,Lab7，也称为处理（Treatments)6.1 单因素方差分析单因素方差分析(One-Way ANOVA)例例 6.1 Lab1Lab2Lab3Lab4Lab5Lab6Lab74.134.074.044.074.054.044.024.064.1
3、04.043.863.854.084.114.084.014.024.043.973.954.004.024.014.014.043.994.033.973.983.983.883.883.913.953.923.973.923.903.973.904.023.954.023.893.914.013.893.893.994.004.023.863.963.974.003.823.983.994.023.934.004.024.034.044.103.813.913.964.054.06 6.1 单因素方差分析单因素方差分析(One-Way ANOVA)一般情况一般情况 第i个处理12 i I第
4、j次观测Y11Y1jY1JY21Y2jY2J Yi1 Yij YiJ YI1YIjYIJ 6.1 单因素方差分析单因素方差分析(One-Way ANOVA)例例 6.1箱线图箱线图Boxplots 6.1 单因素方差分析单因素方差分析(One-Way ANOVA)统计模型：其中ai是第i个水平的效应，满足 平方和分解式：其中：6.1 单因素方差分析单因素方差分析(One-Way ANOVA)构造F统计量 Pooled sample variance 6.1 单因素方差分析单因素方差分析(One-Way ANOVA)6.1 单因素方差分析单因素方差分析(One-Way ANOVA)6.1 单因素
5、方差分析单因素方差分析(One-Way ANOVA)当各处理的样本量Ji不全相等时 平方和分解式：其中：6.1 单因素方差分析单因素方差分析(One-Way ANOVA)构造F统计量 Pooled sample variance 6.2 多重比较多重比较(Multiple Comparisons)6.2 多重比较多重比较(1 LSD Method)Fisher提出的最小显著差异(Least Significance Difference)方法，简记为LSD则认为i1水平与i2水平有显著差异 6.2 多重比较多重比较(1 LSD Method)6.2 多重比较多重比较(2 Tukeys Meth
6、od)服从参数为I和I(J-1)的学生化极差分布（Studentized range distribution）,其上侧100a分位数记为则认为i1水平与i2水平有显著差异 6.2 多重比较多重比较(2 Tukeys Method)6.2 多重比较多重比较(3 Bonferroni Method)两两比较共有则认为i1水平与i2水平有显著差异对显著性水平a，取每个两两比较的显著性水平为a/k，则k个两两比较合计犯弃真错误的概率不超过a。6.2 多重比较多重比较(3 Bonferroni Method)6.2 多重比较多重比较(3 Bonferroni Method)6.3 双因素方差分析双因素
7、方差分析(Two-Way ANOVA)6.3.1 无交互作用无交互作用6.3.2 有交互作用有交互作用 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.1 无交互作用无交互作用例例6.2 用用3种电烤箱烧烤种电烤箱烧烤3种菜肴，种菜肴，考察用电量（千瓦小时）考察用电量（千瓦小时）Menu Day菜肴Range 1烤箱 1Range 2烤箱 2Range 3烤箱 31233.972.392.764.242.612.754.442.823.01 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 无交互作用无交互作用可加模型（无交互作用）：其中ai是A因素第i个水平的效应，满足 bj是B因素第j个水平的效
8、应，满足 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 无交互作用无交互作用平方和分解式：其中：6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.1 无交互作用无交互作用构造F统计量 Pooled sample variance 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.1 无交互作用无交互作用 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.1 无交互作用无交互作用SPSS方差分析表 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.1 无交互作用无交互作用Excel方差分析表 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用 当两因素A与B间存在交互作用(interactions)
9、时,为了考察交互作用就要做重复实验，如果每个处理的实验次数K都是相等的则称为平衡(balanced)实验.6.3 双因素方差分析双因素方差分析 6.3.2 有有交互作用交互作用Fe3+Fe2+10.21.20.310.21.20.30.71 1.66 2.01 2.16 2.42 2.42 2.56 2.60 3.31 3.64 3.74 3.74 4.39 4.50 5.07 5.26 8.15 8.24 2.20 2.93 3.08 3.49 4.11 4.95 5.16 5.54 5.68 6.25 7.25 7.90 8.85 11.96 15.54 15.89 18.30 18.59
10、2.25 3.93 5.08 5.82 5.84 6.89 8.50 8.56 9.44 10.52 13.46 13.57 14.76 16.41 16.96 17.56 22.82 29.132.20 2.69 3.54 3.75 3.83 4.08 4.27 4.53 5.32 6.18 6.22 6.33 6.97 6.97 7.52 8.36 11.65 12.454.04 4.16 4.42 4.93 5.49 5.77 5.86 6.28 6.97 7.06 7.78 9.23 9.34 9.91 13.46 18.40 23.89 26.392.71 5.43 6.38 6.3
11、8 8.32 9.04 9.56 10.01 10.08 10.62 13.80 15.99 17.90 18.25 19.32 19.87 21.60 22.25例6.2 考察两种铁 Fe3+和Fe2+在3种剂量（Dosage）10.2、1.2、0.3 下的保存百分比。6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用对数变换 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用有交互作用模型：其中ai是A因素第i个水平的效应，满足 bj是B因素第j个水平的效应，满足 dij是A因素第i个水平与B因素第j个水平的交互效应，满足 6.3 双因素方差分析双因素方
12、差分析 6.3.2 有交互作用有交互作用平方和分解式：其中：6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用 在正态假设下对参数做极大似然估计,对数似然函数为:得参数估计 6.3 双因素方差分析双因素方差分析 6.3.2 有交互作用有交互作用构造F统计量 6.3 双因素方差分析双因素方差分析 6.3.2 有交互作用有交互作用 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3
13、.2 有交互作用有交互作用 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用两条线段平行时无交互作用;两条线段不平行时有交互作用;6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 随机区组设计随机区组设计人为划分的时间、空间、设备等实验条件称为人为划分的时间、空间、设备等实验条件称为区组（区组（block）。）。区组因素也是影响实验指标的因素，但并不是实验者所区组因素也是影响实验指标的因素，但并不是实验者所要考察的因素，也称为非处理因素。要考察的因素，也称为非处理因素。任何实验都是在一定的时间、空间范围内并使用一定任何实验都是在一定的时间、空间范围内并使用一定的设备进行的，把
14、这些实验条件都保持一致是最理想的，的设备进行的，把这些实验条件都保持一致是最理想的，但是这在很多场合是办不到的。解决的办法是把这些区组但是这在很多场合是办不到的。解决的办法是把这些区组因素也纳入实验中，在对实验做设计和数据分析中也都作因素也纳入实验中，在对实验做设计和数据分析中也都作为实验因素。为实验因素。6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 随机区组设计随机区组设计 随机化区组设计是指实验中含有一个实验因随机化区组设计是指实验中含有一个实验因素素A和一个区组因素和一个区组因素B，对，对A和和B的每一种水平搭配，的每一种水平搭配，以概率均等的原则，随机地选择实验单元。以概率均等的原则
15、，随机地选择实验单元。随机化区组设计可以是重复实验，也可以是无随机化区组设计可以是重复实验，也可以是无重复实验。如果要考查实验因素和区组因素的交互重复实验。如果要考查实验因素和区组因素的交互作用就必须做重复实验。作用就必须做重复实验。6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 随机区组设计随机区组设计 例例7.3 研究药物减轻皮肤瘙痒的作用，实验研究药物减轻皮肤瘙痒的作用，实验因素因素A是药物种类，共有是药物种类，共有5种药物，同时还有不用种药物，同时还有不用药的空白水平（药的空白水平（No Drug），和使用安慰剂），和使用安慰剂（Placebo）的安慰对照水平，共）的安慰对照水平，共7
16、个水平。区组个水平。区组因素因素B是受试个体。使用药物种类的顺序是随机的。是受试个体。使用药物种类的顺序是随机的。6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 随机区组设计随机区组设计 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 随机区组设计随机区组设计没有重复实验，把Interaction作为误差 6.4 非参数方法非参数方法 (Nonparametric Method)单因素方差分析 A Nonparametric Method-The Kruskal-Wallis TestRij是Yij的秩当H0成立时近似有 kc2(I-1)6.4 非参数方法非参数方法 (Nonparametric Method)6.4 非参数方法非参数方法 (Nonparametric Method)随机区组设计（双因素方差分析）A Nonparametric Method-Friedmans Test对第j个区组，Rij是I个Yij的秩当H0成立时近似有 Qc2(I-1)