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1、2.2 2.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 傅里叶级数傅里叶级数 2.2.1 2.2.1 正交函数正交函数1 1、正交矢量、正交矢量垂直投影垂直投影x y斜投影斜投影xx y y 当当 =90，称，称x与与y相互垂直的矢量为正交矢量。相互垂直的矢量为正交矢量。将一个平面中的任意矢量在直角坐标中分解为两个将一个平面中的任意矢量在直角坐标中分解为两个正交矢量的组合。把相互正交的两个矢量组成一个二维正交矢量的组合。把相互正交的两个矢量组成一个二维的的“正交矢量集正交矢量集”。在此平面上的任意分量都可用二维正。在此平面上的任意分量都可用二维正交矢量集的分量组合来表示。交矢量集的分量组合来表示
2、。可推广应用于可推广应用于n维信号矢量空间。维信号矢量空间。v2正交函数正交函数 假定，要在区间假定，要在区间t1，t2内用函数内用函数x2(t)近似表示近似表示x1(t)x1(t)c12x2 t)这里的系数怎样选择才能得到最佳的近似？我们选择这里的系数怎样选择才能得到最佳的近似？我们选择误差的方均值（或均方值）最小，这时，可以认定已误差的方均值（或均方值）最小，这时，可以认定已经得到了最好的近似。均方误差定义为经得到了最好的近似。均方误差定义为上上式式表表示示x1(t)有有x2(t)的的分分量量，此此分分量量的的系系数数是是c12。如如果果c12等等于于零零，则则x1(t)不不包包含含x2(
3、t)的的分分量量，这这种种情情况况称称为为：x1(t)与与x2(t)在在区区间间 t1，t2 内内正正交交。得得出出两两函函数数在在区间区间 t1，t2 内正交的条件是内正交的条件是 【例例2-2】试试用用正正弦弦函函数数sint在在区区间间 0，2 内内来来近似表示余弦函数近似表示余弦函数cost。解：显然，由于解：显然，由于cost与与sint两函数正交。两函数正交。【例【例2-3】设矩形脉冲设矩形脉冲x(t)有如下定义有如下定义波波形形如如图图，试试用用正正弦弦波波sint在在区区间间 0，2 内内近近似似表表示此函数，使均方误差最小。示此函数，使均方误差最小。解：函数解：函数x(t)在
4、区间在区间 0，2 内近似为内近似为x(t)=c12 sin t为使均方误差最小，为使均方误差最小，c12应满足应满足 3.正交函数集正交函数集 定义：定义：假设有假设有n个函数个函数g1(t)，g2(t)，gn(t)构成的构成的一个函数集，这些函数在区间一个函数集，这些函数在区间 t1，t2 内满足如下的正交内满足如下的正交特性特性其中其中ki为常数，则函数序列为常数，则函数序列g1(t),g2(t),g3(t),gn(t)是是 t1，t2 区间上的正交函数集。区间上的正交函数集。三角函数序列三角函数序列cos 1t,cos2 1t,cos3 1t,cosn 1t,，sin 1t,sin2
5、1t,sin3 1t,sinn 1t,为区间为区间 0,2/1 上的正交函数集。上的正交函数集。令令任任一一函函数数x(t)在在区区间间 t1，t2 内内由由这这n个个互互相相正正交交的的函函数线性组合所近似，表示式为数线性组合所近似，表示式为x(t)=c1 g1(t)+c2 g2(t)+cn gn(t)为为满满足足最最佳佳近近似似的的要要求求，可可利利用用均均方方误误差差最最小小的的条条件件求系数求系数c1，c2，cn。均方误差表示式为。均方误差表示式为 4 4、完备正交函数集、完备正交函数集 定义一定义一:如果用正交函数集如果用正交函数集 gi(t)在区间在区间 t1，t2 内近内近似表达
6、函数似表达函数x(t)，即，即x(t)=c1 g1(t)+c2 g2(t)+cn gn(t)若令若令n，其均方误差其均方误差的极限等于零的极限等于零则此正交函数集为完备正交函数集。则此正交函数集为完备正交函数集。如如果果对对某某一一正正交交函函数数集集ki=1，称称此此正正交交函函数数集集为为“归归一一化正交函数集化正交函数集”。定义二定义二 如果在正交函数集如果在正交函数集g1(t)，g2(t)，gn(t)之外，之外，不存在函数不存在函数f(t)满足等式满足等式则此函数集称为完备正交函数集。则此函数集称为完备正交函数集。常用的完备正交函数集有常用的完备正交函数集有（1）三角函数）三角函数 1
7、，cos 1t，cos2 1t，cosn 1t sin 1t，sin2 1t，sinn 1t（2）复指数函数）复指数函数 e jn 1,n=0,1,2,（3）沃尔什函数）沃尔什函数 Wal(k,t)数学上可以证明，当函数数学上可以证明，当函数x(t)在区间在区间 t1 t2 内具有连内具有连续的一阶导数和逐段连续的二阶导数，续的一阶导数和逐段连续的二阶导数，x(t)可以用完备的可以用完备的正交函数集来表示，这就是所谓的函数正交函数集来表示，这就是所谓的函数“正交分解正交分解”。对于任意周期信号对于任意周期信号x(t)=x(t+nT1)，在满足狄里赫，在满足狄里赫利条件下，可展成傅里叶级数。狄里
8、赫利条件：利条件下，可展成傅里叶级数。狄里赫利条件：1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；数目应是有限个；2）在一个周期内，极大值与极小值的数目应是有限）在一个周期内，极大值与极小值的数目应是有限个；个；3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即）在一个周期内，信号是绝对可积的，即 三角形式的傅里叶级数，即将周期信号展成不同频三角形式的傅里叶级数，即将周期信号展成不同频率的正弦或余弦三角函数的线性组合。即率的正弦或余弦三角函数的线性组合。即 x(t)=a0+a1cos 1t+b1sin 1t+a2cos2 1t+b2sin2 1t
9、 +ancosn 1t+bnsinn 1t+根据三角函数的正交性，满足如下关系：根据三角函数的正交性，满足如下关系：（所有的（所有的m,n）2.2.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数 1.1.三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数2/T1=1直流分量直流分量余弦分量余弦分量正弦分量正弦分量积分区间积分区间 t0，t0+T1，可取为，可取为 0，T1 或或 T1/2，T1/2。也可写成另一种形式也可写成另一种形式:或或两者的关系两者的关系:a0=c0=d0 cn=dn=(an2+bn2)1/2 an=cn cos n=dn sin n bn=cn sin n=
10、dn cos n 傅里叶级数的公式表明：傅里叶级数的公式表明：（1 1）等式左端为一复杂信号的时域表示，右端则是）等式左端为一复杂信号的时域表示，右端则是简单的正弦信号的线性组合，利用傅里叶级数的变换，简单的正弦信号的线性组合，利用傅里叶级数的变换，可以把可以把复杂的问题分解成为简单问题进行分析处理复杂的问题分解成为简单问题进行分析处理。（2 2）虽然左端是信号的时域表达式，右端是信号的）虽然左端是信号的时域表达式，右端是信号的频域表示，但表示的是同一信号，是完全等效的。频域表示，但表示的是同一信号，是完全等效的。（3 3）任意周期信号可以分解为直流分量和一系列交）任意周期信号可以分解为直流分
11、量和一系列交变分量的相加。变分量的相加。1 1为信号的基频，相应的分量为基波，为信号的基频，相应的分量为基波，其他交变分量则为谐波，其频率必定是基频的整数倍。其他交变分量则为谐波，其频率必定是基频的整数倍。（4 4）直流分量的幅度）直流分量的幅度c c0 0(d d0 0)与基波、谐波的幅度与基波、谐波的幅度cn(dn)以及相位以及相位 n(n)的大小取决于信号的时域波形，而的大小取决于信号的时域波形，而且是频率且是频率n 1 1的函数，把这种函数关系绘成线图表示，就的函数，把这种函数关系绘成线图表示，就是所谓的是所谓的“频谱频谱”。|cn|n 1 10 1 1 2 1 1 nn 1 10 1
12、 1 2 1 1 由三角形式可以导出指数形式由三角形式可以导出指数形式根据欧拉公式根据欧拉公式 cosn1t=e jn1t +e jn1t/2 sinn1t=e jn1t e jn1t/2j令令因为因为 an是是n的偶函数，即的偶函数，即an=a n bn是是n的奇函数，即的奇函数，即bn=b n2.2.指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数令令:X(0)=a0式中式中傅里叶系数傅里叶系数画出信号频谱画出信号频谱:因为因为Xn一般为复数，故称复数频谱。一般为复数，故称复数频谱。Xn=|Xn|e j n|Xn|n 1 1图称复数幅度谱图称复数幅度谱 n n 1 1图称复数相位谱图称复数相位谱X
13、0 =a0=c0=d0Xn=|Xn|e j n=(an jbn)/2X n=(an+jbn)/2|Xn|=|X n|=cn/2=dn/2 偶对称偶对称 n=n 奇对称奇对称|Xn|n 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 nn 1 1 指数形式的傅氏级数说明一个任意周期函数也可指数形式的傅氏级数说明一个任意周期函数也可以分解为直流分量及一系列不同频率的复指数分量之以分解为直流分量及一系列不同频率的复指数分量之和。三角形式和指数形式相比和。三角形式和指数形式相比,具有下列特点具有下列特点:1 1、复数幅度谱的谱线长度为实数谱的一半且偶对、复数幅度谱的谱线长度为实数谱的一半且偶对称于
14、纵轴。称于纵轴。2 2、复数相位谱与实频谱中相同，且奇对称于原点。、复数相位谱与实频谱中相同，且奇对称于原点。3 3、复数谱在正负频率处均有值，负频率的出现是、复数谱在正负频率处均有值，负频率的出现是由于将正弦、余弦写成指数形式得来的，是数学运算由于将正弦、余弦写成指数形式得来的，是数学运算的结果，而无物理意义。在实际中，只有将对应正负的结果，而无物理意义。在实际中，只有将对应正负频率项成对合并，才能合成一个实际的谐波分量，所频率项成对合并，才能合成一个实际的谐波分量，所以三角形式具有明确的物理意义，而指数形式用于理以三角形式具有明确的物理意义，而指数形式用于理论分析或运算比较方便。论分析或运
15、算比较方便。如果如果x(t)是实函数而且他的波形满足某种对称性，则是实函数而且他的波形满足某种对称性，则在其傅在其傅里里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也变得比较简单。表示式也变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是整周期对称，如偶对波形的对称性有两类，一类是整周期对称，如偶对称和奇对称；另一类是半周期对称，如奇谐函数。称和奇对称；另一类是半周期对称，如奇谐函数。前者决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；后者前者决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；后者决定级数中只可能含有偶次或奇次项。决定级数中只可能含有偶次或奇次项。（1 1）偶函数）偶函数
16、 x(t)=x(t)相对与纵轴是对称的相对与纵轴是对称的。x(t)t T1/2 0 T1/2傅傅里里叶级数中只含有直流叶级数中只含有直流分量和余弦项。分量和余弦项。3.函数的对称性与傅里叶系数的关系函数的对称性与傅里叶系数的关系(2)(2)奇函数奇函数 x(t)=x(t)相对于纵坐标是反对称的。相对于纵坐标是反对称的。x(t)t0 T12 T12傅傅里里叶级数中只含有正弦项。叶级数中只含有正弦项。(3)(3)奇谐函数奇谐函数 x(t)=x(t T1/2)波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时，波形并不发生变化。此时，波形并不发生变化。a
17、0=an=0 x(t)tT12T120 x(t)tT12T120 x(t)tT12T12 x(t)tT12T120 x(t)t a0=0 a1 0 b1 0 a2=0 b2=0 傅傅里里叶级数中只含有奇次正弦项和奇次余弦项。叶级数中只含有奇次正弦项和奇次余弦项。当为当为n偶数时偶数时 an=bn=0 为为n奇数时奇数时 1.1.周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 解：解：(1)展成三角函数形式的傅里叶级数展成三角函数形式的傅里叶级数 x(t)t0/2/2T1 T1T1/2E2.2.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 由于由于x(t)是偶函数，则是偶函数，则 bn=0。从而，周期
18、矩形脉冲信号的三角形式的傅里叶级数为从而，周期矩形脉冲信号的三角形式的傅里叶级数为由上式由上式 n n 1 10 1 1 2 1 1 4/cnn 1 10 1 1 2 1 12/(2)(2)展成指数形式的傅里叶级数展成指数形式的傅里叶级数4/|Xn|n 1 1 1 1 2 1 1 4/0 2 1 1 1 1 n n 1 10 1 1 2 1 1 2/Xn 1 1 2 1 1 4/0 2 1 1 1 1 4/(3)(3)频谱特点频谱特点 由谱图可以看出，周期矩形脉冲信号的频谱具有以由谱图可以看出，周期矩形脉冲信号的频谱具有以下特点：下特点：离散谱：离散谱：离散间隔等于基频离散间隔等于基频 1 1
19、的量值，的量值，1 1=2/T1。频谱有无穷多个分量频谱有无穷多个分量，即有无穷多条谱线，其幅值，即有无穷多条谱线，其幅值 E /T1，呈抽样函数状衰减。，呈抽样函数状衰减。带宽：带宽：谱图中谱图中|Xn|=0的点为谱零点，即的点为谱零点，即 n 1 1 /2=m m=1时的零点为第一零点，位置在时的零点为第一零点，位置在 n 1 1=2/对于周期矩形脉冲信号，它的大部分能量（对于周期矩形脉冲信号，它的大部分能量（90%90%左右）集左右）集中在第一零点内的各频率分量上。把中在第一零点内的各频率分量上。把 =0 2/这一这一频率范围，称为带宽，以频率范围，称为带宽，以 b表示，带宽表示，带宽
20、b与脉冲宽度与脉冲宽度 成成反比。反比。(4)(4)时域参数对频谱的影响时域参数对频谱的影响时域主要参数：信号幅度时域主要参数：信号幅度E，脉冲宽度，脉冲宽度，信号周期，信号周期T1。E：对对频谱频谱的影响不太大。的影响不太大。T1：由于谱间隔由于谱间隔 1 1=2/T1，谱幅度谱幅度c cn E /T1，所以，所以T1，谱线变密，谱线变密，c cn 。：c cn b=2/反映出一个普遍的规律：时域、频域变化时，时域反映出一个普遍的规律：时域、频域变化时，时域上压缩（上压缩（减小），频域上带宽展宽（减小），频域上带宽展宽（b增大），反之增大），反之亦然。上述结果，实际上由能量守恒定律决定的。亦
21、然。上述结果，实际上由能量守恒定律决定的。极端情况：极端情况：若若T1，周期函数，周期函数 非周期函数非周期函数 1 1d 0，离散，离散频频谱谱 连续连续频频谱谱 T1，又，又 0，带宽，带宽 b，即矩形脉冲，即矩形脉冲冲激函冲激函数，频谱为数，频谱为“白色谱白色谱”。cnn 1 10 1 1 2/4/x(t)Et0T1 x(t)t0T12/cnn 1 10 1 1 x(t)Et0T1 cnn 1 10 1 1 2/具体参数如具体参数如 E=1，=0.05，T1=0.25 1 1=2/T1=8 2/=40 =5 1 1 cnn 1 10 1 1 5 1 1 n n 1 10 1 1 5 1
22、12.对称方波对称方波是一个正负交替的信号，其直流分量是一个正负交替的信号，其直流分量a0=0；脉宽等于周期的一半，即脉宽等于周期的一半，即 =T1/2；偶函数，又是奇谐函数偶函数，又是奇谐函数，bn=0，an=0(偶数偶数)。x(t)t0T1 T1T1 4E2 ann 1 10 1 1 2 1 13 1 1 4 1 15 1 1 3.周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号奇函数奇函数 a0=0，an=0 x(t)t0 T12 T12E24.周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号偶函数，去直流分量后是奇谐函数，偶函数，去直流分量后是奇谐函数，bn=0 x(t)t T1/2 0 T1/2E5.周期半波余弦信
23、号周期半波余弦信号偶函数，偶函数，bn=0 x(t)t0 T14 T14T16.周期全波余弦信号周期全波余弦信号令余弦信号令余弦信号 x1(t)=cos 0 0t 全波余弦信号全波余弦信号 x(t)=E|x1(t)|1 1=2/T1=2 0 0 T1=T0/2偶函数，偶函数，bn=0 x(t)t0 T12 T12T12.2.4 吉布斯现象吉布斯现象 任意周期信号的傅里叶级数需要无穷多项才能完任意周期信号的傅里叶级数需要无穷多项才能完全逼近。但实际中经常采用有限项来近似代替无限多全逼近。但实际中经常采用有限项来近似代替无限多项，当项数取得愈多，误差愈小，通常以均方误差来项，当项数取得愈多，误差愈
24、小，通常以均方误差来衡量其大小。衡量其大小。取前取前 N+1 项项误差函数误差函数 N(t)=x(t)xN(t)均方误差均方误差 傅里叶级数的理论还进一步证明了：在限定级数项傅里叶级数的理论还进一步证明了：在限定级数项数的条件下，由无限项傅里叶级数截断后的有限项级数，数的条件下，由无限项傅里叶级数截断后的有限项级数，是对原信号在最小均方误差意义下的最优逼近。是对原信号在最小均方误差意义下的最优逼近。下面以对称方波为例说明：下面以对称方波为例说明：x(t)t0T1 T1T1 4E2如果仅取一项，均方误差等于如果仅取一项，均方误差等于0.05E2，若取前两项为，若取前两项为0.02E2，取前三项则
25、为取前三项则为0.015E2。1）傅里叶级数的所取项级愈多，则合成波形愈逼）傅里叶级数的所取项级愈多，则合成波形愈逼近原信号，误差愈小。近原信号，误差愈小。2）低频分量组成方波的主体，高频谐波幅值较小，）低频分量组成方波的主体，高频谐波幅值较小，主要影响脉冲前沿，说明波形变化愈激烈，高频分量主要影响脉冲前沿，说明波形变化愈激烈，高频分量愈丰富。愈丰富。3）随着级数项数取得愈多，合成波形将愈逼近方）随着级数项数取得愈多，合成波形将愈逼近方波信号，但在间断点附近，随着所含谐波次数的增加，波信号，但在间断点附近，随着所含谐波次数的增加，合成波形的突峰将移向间断点，但幅值并不明显减小。合成波形的突峰将移向间断点，但幅值并不明显减小。可以证明，即使可以证明，即使 N 时，在间断点处仍然有时，在间断点处仍然有9%的偏的偏差，这种现象称为吉布斯现象差，这种现象称为吉布斯现象（Gibbs phenomenon）。