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1、3.2 周期信号傅里叶级数分析X第第第第 2 2 页页页页第第第第 2 2 页页页页主要内容三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差X第第第第 3 3 页页页页第第第第 3 3 页页页页一三角函数形式的傅里叶级数 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,.由积分可知由积分可知1.三角函数集X第第第第 4 4
2、页页页页第第第第 4 4 页页页页在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度正弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式X第第第第 5 5 页页页页第第第第 5 5 页页页页其他形式余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式X第第第第 6 6 页页页页第第第第 6 6 页页页页可画出可画出频谱图。频谱图。周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性。关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱关系曲线称为相位频谱图。相位谱关系曲线称为相位频谱图。相位
3、谱幅度频率特性和相位频率特性cn01c2c3c1c031n1n0131n1X第第第第 7 7 页页页页第第第第 7 7 页页页页二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集2 2级数形式级数形式3 3系数系数利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性X第第第第 8 8 页页页页第第第第 8 8 页页页页说明X第第第第 9 9 页页页页第第第第 9 9 页页页页三两种系数之间的关系及频谱图利用欧拉公式利用欧拉公式利用欧拉公式利用欧拉公式X第第第第 1 10 0 页页页页第第第第 1 10 0 页页页页相频特性相频特性幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性X第第第第 1 11 1
4、 页页页页第第第第 1 11 1 页页页页 频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线X第第第第 1 12 2 页页页页第第第第 1 12 2 页页页页四总结（1）周期信号周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系两种频谱图的关系（4）引入负频率引入负频率X第第第第 1 13 3 页页页页第第第第 1 13 3 页页页页(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式三角形式指数形式指数形式X第第第第 1 14 4 页页页页第第第第 1 14 4 页页页页(2)
5、两种频谱图的关系单边频谱单边频谱双边频谱双边频谱关系关系X第第第第 1 15 5 页页页页第第第第 1 15 5 页页页页(3)三个性质(4)引入负频率注意：注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性冲激函数序列的频谱不满足收敛性X第第第第 1 16 6 页页页页第第第第 1 16 6 页页页页五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量X第第第第 1 17 7 页页页页第第第第 1 17 7 页页页页1偶函数信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的X第第第第 1 18 8 页页页页第第第第 1 18 8 页页页页2
6、奇函数X第第第第 1 19 9 页页页页第第第第 1 19 9 页页页页3奇谐函数若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即X第第第第 2 20 0 页页页页第第第第 2 20 0 页页页页4偶谐函数f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量X第第第第 2 21 1 页页页页第第第第 2 21 1 页页页页六周期信号的功率这是这是帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现在傅里叶级数
7、情况下的具体体现;表明：表明：周期信号平均功率周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；量有效值的平方和；也就是说，也就是说，时域和频域的能量是守恒时域和频域的能量是守恒的。的。X第第第第 2 22 2 页页页页第第第第 2 22 2 页页页页七傅里叶有限级数与最小方均误差误差函数误差函数方均误差方均误差X第第第第 2 23 3 页页页页第第第第 2 23 3 页页页页Gibbs现象现象 满足满足 Dirichlet 条件条件的信号，其傅里叶级数是如的信号，其傅里叶级数是如何收敛于何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断点时，在间具有间断点时，在间断点附近
8、，如何收敛于断点附近，如何收敛于?X第第第第 2 24 4 页页页页第第第第 2 24 4 页页页页X第第第第 2 25 5 页页页页第第第第 2 25 5 页页页页X第第第第 2 26 6 页页页页第第第第 2 26 6 页页页页 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的在间断点附近不可避免的会会出现振荡和超量。超量出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少而使它所占有的能量减少。Gibbs现象表明：现象表明：