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1、4 4维行向量维行向量例例1 设向量设向量 ，求，求故故解解：由：由知知解解：由：由 可得可得 例例2 设向量设向量 ，若，若 求向量求向量有限向量组有限向量组例：例：设设那么那么线性组合的系数线性组合的系数e1,e2,e3的的线性组合线性组合一般地，对于任意的一般地，对于任意的 n 维向量维向量b，必有，必有n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列的列(行行)向量叫做向量叫做 n 维基本单位向量维基本单位向量1.一般形式3.向量方程的形式 2.增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式方程组有解？方程组有解？向量向量 是否能用是否能用 线性表示？线性表示？一般地，设有线性方程组一般地，设有线性方程组
2、则其则其向量方程的形式向量方程的形式为为向量向量 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax=有解有解若令若令则其则其向量组线性组合的形式向量组线性组合的形式为为例例3 设设 问问 能否由能否由 线性表出？线性表出？解解：设：设 ，则，则有有解得解得 ，所以，所以 能能由由 唯一地线性表出，且唯一地线性表出，且 向量组向量组A：a1,a2,am线性相关线性相关m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0有非零解有非零解R(A)m备注：备注：p给定向量组给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其两者必居其一一p向量组向量组 A：a1
3、,a2,am 线性相关，通常是指线性相关，通常是指 m 2 的情形的情形.p若向量组只包含一个向量：当若向量组只包含一个向量：当 a 是是零向量零向量时，线性相关；时，线性相关；当当 a 不是不是零向量零向量时，线性无关时，线性无关p向量组向量组 A：a1,a2,am (m 2)线性相关，也就是向量组线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余中，至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示个向量线性表示特别地，特别地，a1,a2 线性相关当且仅当线性相关当且仅当 a1,a2 的分量对应成比例，其几的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线何意义是两向量共线a1,a2,a3 线性相关的
4、几何意义是三个向量共面线性相关的几何意义是三个向量共面例例4 试讨论试讨论 n 维基本单位向量组的线性相关性维基本单位向量组的线性相关性例例5 已知已知试讨论向量组试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组及向量组a1,a2 的线性相关性的线性相关性解：解：可见可见 R(a1,a2,a3)=2，故向量组，故向量组 a1,a2,a3 线性相关；线性相关；同时，同时，R(a1,a2)=2，故向量组，故向量组 a1,a2 线性无关线性无关例例6 已知向量组已知向量组 a1,a2,a3 线性无关，且线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1,b2,b
5、3 线性无关线性无关解题思路：解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题解法解法1 转化为齐次线性方程组的问题转化为齐次线性方程组的问题已知已知 ，记作，记作 B=AK 设设 Bx=0，则，则(AK)x=A(Kx)=0 因为向量组因为向量组 a1,a2,a3 线性无关，所以线性无关，所以Kx=0 又又|K|=2 0，那么，那么Kx=0 只有零解只有零解 x=0，从而向量组从而向量组 b1,b2,b3 线性无关线性无关解法解法2 转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题已知已知 ，记作，记作 B=AK 因为因为|K|=2 0，所以，
6、所以K 可逆，可逆，R(A)=R(B)，又向量组又向量组 a1,a2,a3 线性无关，线性无关，R(A)=3，从而从而R(B)=3，向量组，向量组 b1,b2,b3 线性无关线性无关定理定理1 l设向量组设向量组 A：a1,a2,am 线性无关，线性无关，而向量组而向量组 B：a1,a2,am,b 线性相关，则向量线性相关，则向量 b 必能由向量组必能由向量组 A 线性表线性表示，且表示式是唯一的示，且表示式是唯一的lm 个个 n 维向量组成的向量组，当维数维向量组成的向量组，当维数 n 小于小于向量个数向量个数 m 时，一定线性相关时，一定线性相关特别地，特别地，n+1个个 n 维向量一定线
7、性相关维向量一定线性相关定理定理2 l若向量组若向量组 A：a1,a2,am 线性相关，线性相关，则向量组则向量组 B：a1,a2,am,am+1 也线性相关也线性相关l其逆否命题也成立，即若向量组其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则其部分线性无关，则其部分向量组向量组 A 也线性无关也线性无关l简记为：简记为：部分组线性相关，则整体也线性相关；部分组线性相关，则整体也线性相关；整体线整体线性无关，则部分组也线性无关性无关，则部分组也线性无关.定理定理3 l若若n维向量组：维向量组：a1,a2,am 线性无关，线性无关，则在每个向量上都则在每个向量上都添加添加s个分量，所得到个分量，所得到n+s维接长向量组维接长向量组 也线性无关也线性无关l若若n维向量组：维向量组：a1,a2,am 线性相关，线性相关，则在每个向量上则在每个向量上都去掉都去掉s（sn）个分量，所得到）个分量，所得到ns维截短向量组维截短向量组 也线性也线性相关相关l简记为：简记为：接长向量组线性相关，则截短向量组也线性相关；接长向量组线性相关，则截短向量组也线性相关；截短向量组线性无关，则接长向量组也线性无关截短向量组线性无关，则接长向量组也线性无关.