《3.3 向量组的线性相关性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.3 向量组的线性相关性.ppt（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n3.3 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、向量组的线性组合一、向量组的线性组合二、向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性三、线性组合与线性相关的关系三、线性组合与线性相关的关系四、几个简单的性质和结论四、几个简单的性质和结论2第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n定义定义一、向量组的线性组合一、向量组的线性组合称称 为为组合系数组合系数。线性组合线性组合，若存在向量若存在向量 b b ，使得使得则称向量则称向量 b b 是向量组是向量组 的的线性组合线性组合，设设 是一组向量，是一组向量，为实数，为实数，也称也称b b 可由向量组
2、可由向量组 线性表出线性表出(或或线性表示线性表示).).为向量组为向量组的一个的一个注注 (1)组合系数组合系数 不要求不要求非零非零；(2)零向量零向量是任意相同维数的向量组的线性组合。是任意相同维数的向量组的线性组合。称称3第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n例例 设设就是向量就是向量 的一个线性组合。的一个线性组合。则则例例 设设就是向量就是向量 的一个线性组合。的一个线性组合。则则此为观察法，此为观察法，还有待定系数法与初等变换法还有待定系数法与初等变换法4第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n则说明向量则说明向量 b能由向量组能由向量组 线性表示。线性表示。线性方
3、程组线性方程组 有解，有解，例例反之亦然。反之亦然。此式在分块矩阵中已给出此式在分块矩阵中已给出注意线性组合的表达形式注意线性组合的表达形式5第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n将将 b b 表示为向量组表示为向量组 的线性组合。的线性组合。例例 设设令令解解即即求解得求解得故故此为待定系数法此为待定系数法6第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n二、向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性若存在若存在不全为零不全为零的的(实实)数数使得使得则称该向量组则称该向量组线性相关线性相关，否则称为，否则称为线性无关线性无关。定义定义 对于给定向量组对于给定向量组注意注意 这里对于这里
4、对于系数系数 的要求的要求与线性组合中的区别与线性组合中的区别.问题问题 单个向量的线性相关性与线性无关性如何？单个向量的线性相关性与线性无关性如何？7第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n例例 下列向量组是否线性相关？下列向量组是否线性相关？答答(1)相关，因为相关，因为(2)相关，因为相关，因为(3)相关，因为相关，因为8第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n例例 向量组向量组 是否线性相关？是否线性相关？由于由于解解因此因此向量组向量组 线性相关。线性相关。即即启示启示(1)线性相关线性相关与与线性组合线性组合之间存在某种必然的联系。之间存在某种必然的联系。(2)三维空间
5、三维空间 中的三个向量中的三个向量线性相关线性相关，向量是向量是“共面共面”或者或者“共线共线”的。的。思考思考 中中若干若干向量向量线性相关线性相关，或者或者“共线共线”的的？表明这三个表明这三个是否表明是否表明它们它们是是“共面共面”的的(考虑考虑 )9第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n例例 向量组向量组 是否线性相关？是否线性相关？令令解解即即因此得到因此得到惟一惟一解解由于由于故故向量组向量组 线性无关。线性无关。注注向量组向量组 线性无关线性无关，或或“共线共线”的。的。表明这三个向量不表明这三个向量不是是“共面共面”10第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n令令
6、解解即即已知向量已知向量 例例问向量组问向量组 是否线性相关？是否线性相关？不妨设不妨设 (?)则方程组变为则方程组变为11第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n即即利用利用Cramer法则求解得法则求解得由于由于即即线性相关。线性相关。思考思考(1)若直接设若直接设 是否能够以此是否能够以此说明说明 线性无关？线性无关？(2)若向量若向量 改为改为 设设(3)三维空间三维空间 中的四个向量是否一定中的四个向量是否一定线性相关线性相关？从而求得从而求得是否仍然可以是否仍然可以“不妨不妨”12第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n方法一方法一解解令令例例 已知已知行向量组行向量组
7、为为问向量组问向量组 是否线性相关？是否线性相关？记为记为 K记为记为 A由由 有有 A 可逆，可逆，故向量组故向量组 线性无关。线性无关。13第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n方法二方法二令令记为记为 A由由故向量组故向量组 线性无关。线性无关。得得惟一惟一解解 可见，行向量组可见，行向量组 与列向量组与列向量组的的线性相线性相(无无)关关性是一样的。性是一样的。14第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n令令解解例例 设设向量组向量组 线性无关，又已知线性无关，又已知问问向量组向量组 是否线性无关？是否线性无关？由于由于向量组向量组 线性无关，有线性无关，有15第三章 维
8、向量空间3.3 向量组的线性相关性n因此只有因此只有惟一惟一解解由于由于故故向量组向量组 线性无关。线性无关。16第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n三、线性组合与线性相关的关系三、线性组合与线性相关的关系向量组向量组 线性相关的线性相关的充分必要充分必要条件是条件是定理定理其中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。其中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。1.充要条件充要条件证明证明 必要性必要性有有其中其中 不全为不全为 0.不妨设不妨设 即即 能由其余向量线性表示。能由其余向量线性表示。由由 线性相关，线性相关，则有则有17第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n充分性充
9、分性向量组向量组 线性相关的线性相关的充分必要充分必要条件是条件是三、线性组合与线性相关的关系三、线性组合与线性相关的关系定理定理其中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。其中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。1.充要条件充要条件证明证明设设 可由其余向量线性表示，可由其余向量线性表示，即即故故 线性相关线性相关.则有则有其中其中 不全为不全为 0.令令18第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n(留给读者自己完成留给读者自己完成)三、线性组合与线性相关的关系三、线性组合与线性相关的关系1.充要条件充要条件2.惟一性定理惟一性定理设设 线性无关，线性无关，线性相关，线性相关，定理定理
10、则则 b b 可由可由 惟一地线性表示。惟一地线性表示。证明证明*21第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n四、几个简单的性质和结论四、几个简单的性质和结论(1)单个零向量是线性相关的；单个零向量是线性相关的；(3)若向量组中有部分向量相关，则整个向量组相关；若向量组中有部分向量相关，则整个向量组相关；若向量组无关，则它的任何部分向量组都无关。若向量组无关，则它的任何部分向量组都无关。(4)若向量组相关，则去掉一些分量后的向量组仍相关；若向量组相关，则去掉一些分量后的向量组仍相关；若向量组无关，则增加一些分量后的向量组仍无关。若向量组无关，则增加一些分量后的向量组仍无关。(2)含有含有零向量零向量的向量组必相关；的向量组必相关；单个单个非非零向量是线性零向量是线性无无关的。关的。含有含有成比例的向量成比例的向量的向量组必相关。的向量组必相关。22第三章 维向量空间3.3 向量组的线性相关性n例例 设设向量向量例例 设设向量向量则向量组则向量组 线性无关。线性无关。则向量组则向量组 线性无关。线性无关。上述形式的向量组在求方程组的通解时会经常遇到。上述形式的向量组在求方程组的通解时会经常遇到。