矩阵的概念与矩阵运算.ppt

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1、线性代数下页结束返回第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念2 矩阵的线性运算、乘法和转置运算矩阵的线性运算、乘法和转置运算下页线性代数下页结束返回第二章第二章矩阵矩阵本章要求本章要求掌握矩阵的运算，了解方阵的幂、方阵乘积的掌握矩阵的运算，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式；行列式；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件，掌握求逆矩阵的方法（伴随矩阵可逆的充要条件，掌握求逆矩阵的方法（伴随矩阵求逆及初等变换求逆）；求逆及初等变换求逆）；掌握矩阵的初等变换和求矩阵的秩的方法掌握矩阵的初等变换和求矩阵的秩的方法.本章重点本章重点用初等变换求逆矩阵及求

2、矩阵的秩的方法用初等变换求逆矩阵及求矩阵的秩的方法.下页线性代数下页结束返回 在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：组的每个方程对应一个有序数组：a11x1+a12x2 +a1nxn=b1a21x1+a22x2 +a2nxn=b2am1x1+am2x2+amnxn=bm (a11 a12 a1n b1)(a21 a22 a2n b2)(am1 am2 amn bm)这些有序数组可以构成一个表这些有序数组可以构成一个表a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2am1 am

3、2 amn bm这个表就称为矩阵这个表就称为矩阵.1 矩阵的概念下页线性代数下页结束返回其中其中aij 称为矩阵的第称为矩阵的第i 行第行第j 列的元素列的元素.一般情况下，我们用大写字母一般情况下，我们用大写字母A，B，C 等表示矩阵等表示矩阵.m n矩阵矩阵A简记为简记为A(aij)m n或记作或记作Am n.a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn定定义义1由由m n 个个数数aij(i 1,2,m；j 1,2,n)排排成成一一个个m 行行n 列列的矩形表称为一个的矩形表称为一个m n 矩阵，记作矩阵，记作下页线性代数下页结束返回零矩阵零矩阵 所有元素均为所

4、有元素均为0 0的矩阵称为零矩阵，记为的矩阵称为零矩阵，记为 O O.行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小常用小写黑体字母写黑体字母a，b，x，y 等表示等表示.例如例如a(a1 a 2 an)，b1b2bm b.负负矩阵矩阵-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n-am1 -am2 -amn称称矩阵矩阵为为A A的负矩阵的负矩阵,记作记作 A.A.下页线性代数下页结束返回b11b21 bn10b22bn2 00bnnB.A.a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0

5、 ann 如下形式的如下形式的n阶矩阵称为阶矩阵称为上三角形矩阵上三角形矩阵.三角形矩阵三角形矩阵 如下形式的如下形式的n阶矩阵称阶矩阵称为下三角形矩阵为下三角形矩阵.方阵方阵 若矩阵若矩阵A 的行数与列数都等于的行数与列数都等于n，则称，则称A 为为n 阶矩阵，或称为阶矩阵，或称为n 阶方阵阶方阵.下页线性代数下页结束返回a110 00a220 00annA .对角矩阵对角矩阵 如下形式的如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵阶矩阵称为对角矩阵.对角矩阵可简单地记为Adiag(a11,a22,ann).单位矩阵单位矩阵 如下形式的如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵，记为阶矩阵称为单位矩阵，记为En或或E

6、.10 0010 001E .定定义义2 矩矩阵阵相相等等：设设A(aij)，B(bij)为为同同阶阶矩矩阵阵，如如果果aij bij(i 1,2,m；j 1,2,n)，则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B相等，记作相等，记作A B.下页线性代数下页结束返回第二节第二节 矩阵的线性运算、乘法和转置运算矩阵的线性运算、乘法和转置运算四、转置矩阵及对称方阵四、转置矩阵及对称方阵一、一、矩阵的加法矩阵的加法二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法三、三、矩阵的乘法矩阵的乘法 五、五、方阵的行列式方阵的行列式下页线性代数下页结束返回一、一、矩阵的加法矩阵的加法 定义定义1设设A与与B为两个为两个m n矩阵矩阵

7、ABa11b11 a12b12 a1nb1n a21b21 a22b22 a2nb2n am1bm1 am2bm2 amnbmn.a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB，A与与B对应位置元素相加得到的对应位置元素相加得到的m n矩阵称为矩阵矩阵称为矩阵A与与B的和，的和，记为记为A B.即即C=A+B.下页线性代数下页结束返回 例例1设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，则3 5 7 22 0 4 30 1 2 3AB1 3 2

8、 02 1 5 70 6 4 8+3+1 5+3 7+2 2+02+2 0+1 4+5 3+70+0 1+6 2+4 3+84 8 9 24 1 9 100 7 6 11.矩矩 阵阵 的的 加加 法法：设 A(aij)mn与 B(bij)mn，则 AB(aijbij)mn。下页线性代数下页结束返回 设设A,B,C都都是是m n矩矩阵阵.容容易易证证明明，矩矩阵阵的的加加法法满满足足如如下下运算规律运算规律：（1）交换律：）交换律：A+B=B+A;（2）结合律：结合律：(A+B)+C=A+(B+C);（3）A+O=A，其中其中O是与是与A同型的零矩阵同型的零矩阵;矩阵的矩阵的减法减法可定义为可定

9、义为:显然：若显然：若A=B，则，则A+C=B+C，A-C=B-C；若若A+C=B+C，则，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中，其中O是与是与A同型的零矩阵同型的零矩阵.下页线性代数下页结束返回a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA，定义定义2设设A(aij)为为m n矩阵矩阵则则以以数数k乘乘矩矩阵阵A的的每每一一个个元元素素所所得得到到的的m n矩矩阵阵称称为为数数k与与矩矩阵阵A的积，记为的积，记为kA.即即ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA.二、数与二、数与矩阵的数法矩阵的数法下页线性代数下

10、页结束返回矩矩阵阵的的数数乘乘：设A(aij)mn，则kA=(kaij)mn.例例2设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，则3A3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 333 35 37 3232 30 34 3330 31 32 33 9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 .下页线性代数下页结束返回(5)k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1AA.设设A，B，C，O都是都是m n矩阵，矩阵，k，l为常数，则为常数，则矩阵数乘的性质：矩阵数乘的性质：另外另外,易得易得 0AO.性质性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的，称

11、为矩阵线性运算的8条性质条性质，须熟记，须熟记.下页线性代数下页结束返回 例例3设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，求3A-2B.解：解：3A-2B 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 31 3 2 02 1 5 70 6 4 8-22 6 4 04 2 10 140 12 8 16-9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 .7 9 17 62 -2 2 -50 -9 -2 -79-2 15-6 21-4 6-06-4 0-2 12-10 9-140-0 3-12 6-8 9-16 下页线性代数下页结束返回 例例4

12、已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，且且A 2X B，求求X。解：解：A 2X+(-A)B+(-A)；两边加；两边加A 的负矩阵的负矩阵A+(-A)2X B+(-A)；交换律；交换律O 2X B-A；性质；性质4A+(-A)2X B-A；约定（减法）；约定（减法）2X B-A；性质；性质3*2X *(*(B-A)；数乘数乘运算运算1X *(*(B-A)；恒等恒等变换变换X *(*(B-A)；性质；性质8下页线性代数下页结束返回从而得从而得X *(B-A)例例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1

13、 5 70 6 4 8B ，且且A 2X B，求求X。说明说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别。：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别。解：解：下页线性代数下页结束返回 定义定义3设设A是一个是一个m s矩阵，矩阵，B是一个是一个s n矩阵：矩阵：构成的构成的m n矩阵矩阵C 称为矩阵称为矩阵A 与矩阵与矩阵B 的积，记为的积，记为C AB.则由元素则由元素 cij ai1b1j ai2b2j aisbsj(i 1,2,m；j 1,2,n)a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA，b11 b12 b1n b21

14、b22 b2n bs1 bs2 bsnB，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnAB.即即三、三、矩阵的乘法矩阵的乘法 下页线性代数下页结束返回 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1,2,m；j1,2,n).a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn ai1b1jai2b2j aisbsj.(ai1 ai2 ais)b1jb2jbsj 注：注：A的列数等于的列数等于B的行数，的行数

15、，AB才有意义才有意义;C的行数等于的行数等于A的行数，列数等于的行数，列数等于B的列数的列数.因此，因此，cij可表示为可表示为A 的第的第i 行与行与B 的第的第 j 列的乘积列的乘积.矩阵的乘法矩阵的乘法:cij下页线性代数下页结束返回 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1,2,m；j1,2,n).a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn矩阵的乘法矩阵的乘法:下页(i1,2,m).（1）先行后列法）先行后

16、列法b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsn(ai1 ai2 ais)=()ci1ci2 cin线性代数下页结束返回B=，求AB及BA.A ，例例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB-6-78（1）先行后列法）先行后列法线性代数下页结束返回B=，求AB及BA.A ，例例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB-6-78-30-3（1）先行后列法）先行后列法线性代数下页结束返回B=，求AB及BA.A ，例例5设2 31 -23

17、11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法）先行后列法下页线性代数下页结束返回 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1,2,m；j1,2,n).a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn矩阵的乘法矩阵的乘法:下页a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb1jb2jbsj（2）先列后行法）先列后行法

18、(j1,2,n).c1jc2jcmj线性代数下页结束返回B=，求AB及BA.A ，例例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB 5-38（2）先列后行法）先列后行法线性代数下页结束返回B=，求AB及BA.A ，例例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB 5-38-70-7（2）先列后行法）先列后行法线性代数下页结束返回B=，求AB及BA.A ，例例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB 5

19、-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法）先列后行法线性代数下页结束返回B=，求AB及BA.A ，例例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 02 31 -23 11 -2 -32 -1 0BA 4-983解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法通常采用：先行后列法下页线性代数下页结束返回 例例6设 A ，4-2-21B ，求AB及BA.4 2-6-3AB4-2-214 2-6-3解：解：-32-16168BA4-2-214 2-6-30 000B=，求AB及BA.A ，例例5设2 31 -23 11 -2 -3

20、2 -1 0解：解：AB-6-78-30-9-7-35,BA 4-983.下页线性代数下页结束返回 例例6设 A ，4-2-21B ，求AB及BA.4 2-6-3AB解：解：-32-16168，BA0 000B=，求AB及BA.A ，例例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：AB-6-78-30-9-7-35,BA 4-983.显然，显然，1)1)矩阵乘法一般不满足交换律，即矩阵乘法一般不满足交换律，即ABAB BABA;2)2)两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从但不能从ABAB=O O，推出，推出A A=O O或或B B=O

21、O.下页线性代数下页结束返回1110 例例7设 A ，B ，求AB及BA.2110解：解：11102110AB311021101110BA3110 显然显然AB=BA.如果两矩阵如果两矩阵A A与与B B相乘，有相乘，有ABAB=BABA，则称矩阵则称矩阵A A与矩阵与矩阵B B可交换可交换.问题：问题：与可交换的怎么得到？与可交换的怎么得到？下页线性代数下页结束返回显然显然ACAC=BCBC，但，但A A B B.矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律.例例8对于任意矩阵对于任意矩阵,及相应的单位矩阵有及相应的单位矩阵有：，.下页线性代数下页结束返回例例10.1 0 00 0 00 0 1

22、设A=则AA=1 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 1=A显然显然AA=A，但但A E，A O.下页线性代数下页结束返回a11x1a12x2 a1nxn b1a21x1a22x2 a2nxn b2am1x1am2x2 amnxnbm x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 例例11.线性方程组的矩阵表示（线性方程组的矩阵表示（矩阵方程矩阵方程）简记为：简记为：AX=B.x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 其中，其中，A=，X=，B

23、=下页线性代数下页结束返回应注意的问题：应注意的问题：(1)AB BA；(3)AB OA O或或B O；/(2)AC BCA B；/矩阵乘法的性质：矩阵乘法的性质：方阵的幂：方阵的幂：对于方阵对于方阵A及自然数及自然数kAk A A A (k个个A相乘相乘)，称为方阵称为方阵A的的k次幂次幂.方阵的幂有下列性质：方阵的幂有下列性质：(1)ArAs Ar s；(2)(Ar)s Ars.(4)AA AA E或或A O./(1)(AB)C A(BC)；(2)(A B)C AC BC；(3)C(A B)CA CB；(4)k(AB)(kA)B A(kB).问题：问题：(A+B)2=?下页线性代数下页结束

24、返回 定义定义4将将m n矩阵矩阵A的行与列互换，得到的的行与列互换，得到的n m矩阵，称矩阵，称为矩阵为矩阵A的转置矩阵，记为的转置矩阵，记为AT或或A。即如果即如果a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT 则.例如，设例如，设x(x1x2 xn)，y(y1y2 yn)，则则(y1 y2 yn)xTyx1x2xn x1y1x2y1xny1 x1y2x2y2xny2 x1ynx2ynxnyn .四、转置矩阵及对称方阵四、转置矩阵及对称方阵显然，显然，T.下页线性代数下页结束返回转置矩阵有下列性质：转置矩阵有

25、下列性质：(1)(AT)T A；(2)(A B)T AT BT；(3)(kA)T kAT；a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT 则.定定义义4将将m n矩矩阵阵A的的行行与与列列互互换换，得得到到的的n m矩矩阵阵，称称为矩阵为矩阵A的转置矩阵，记为的转置矩阵，记为AT或或A。即如果即如果四、转置矩阵及对称方阵四、转置矩阵及对称方阵 (4)(AB)T BTAT.下页线性代数下页结束返回 定义定义5设设A为为n阶方阵，若阶方阵，若AT=A，则称，则称A为对称矩阵，如为对称矩阵，如果果AT=-A，则称则称A

26、为反对称矩阵为反对称矩阵。分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.显然：显然：A为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji;A为反对称矩阵的充分必要条件是为反对称矩阵的充分必要条件是aij=-aji.如：如：下页线性代数下页结束返回定义定义6 设设A是是n阶方阵，由阶方阵，由A的元素构成的的元素构成的n阶行列式阶行列式称为方阵称为方阵A的行列式，记为的行列式，记为|A|或或detA.性质：性质：设设A、B为为n阶阶方阵，方阵，k为数，则为数，则(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A|B|.(2)|kA|=kn|A|;五、方阵的行列式五、方阵的行列式显然，显然，|E E|=1|=1.一般地，若一般地，若A1,A2,Ak都是都是n阶方阵，则阶方阵，则 显然显然下页线性代数下页结束返回例例11设设 求求解解:因为因为由公式由公式 则则若先求得若先求得 同样同样下页线性代数下页结束返回例例12设设 A，B均为四阶方阵，且均为四阶方阵，且 .计算计算.解解由方阵的行列式的运算规律，由方阵的行列式的运算规律，下页线性代数下页结束返回4-16218练习练习下页线性代数下页结束返回作业：69页页23 4（3）（）（4）（）（5）5（1）结束