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1、1,处理有特点的大矩阵时需要进行分块 分法: 将矩阵用纵线和横线分成若干小 矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的 子块.,2.3 分块矩阵,定义 以子块为元素的矩阵称为分块阵.,2.3.1 分块矩阵的概念,2,常用分块方式,分成四块.例如:,3,按列分块.例如:,按行分块.例如:,4,分块对角矩阵,分块三角矩阵,5,加法: 原矩阵同形且分块方式相同,数乘: 分块方式任意,2.3.2 分块矩阵的运算,6,乘法: AB =C ( Amp , Bp n ) A的列数 = B 的行数 A的列的分法 = B 的行的分法,7,例1,8,转置:,特别,9,当Ai是方阵时，,方阵的幂及行列式:,（分块对角矩阵的行列式
2、）,10,分块三角阵的行列式:,当Ai是方阵时，,11,对角阵的逆矩阵:,当|Ai|0时,即Ai可逆时,A可逆,12,例2,解,设,13,14,例3,设,求,15,说明B 的每一列都是齐次线性方程组AX= 0 的一个解.,*例4,A为一子块,尤其要注意 时的特殊情况:,16,的不同理解:,例5,17,本节内容提要, 利用分块矩阵的初等变换求秩, 分块矩阵的初等变换,2.3.3 分块矩阵的初等变换, 分块初等阵,18,对分块矩阵也可以引进初等变换和初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的一次初等变换,可以看作是关于元素的一批初等变换的合成.我们只以分成4块的情况简单解释.,设,2.3.3 分块矩阵的初
3、等变换,19,定义 下面三种针对分块矩阵M 的变形, 统称为分块矩阵的初等变换: 初等行变换 初等列变换(1)换法:(2)倍法: (3)消法:,这里要假定运算满足可行性原则. 为什么要求P 可逆?,20,分块初等阵,2.3.3 分块初等阵,换法:,倍法:,消法:,21,对分块矩阵进行一次初等行(列)变换, 相当于给它左(右)乘以一个相应的分 块初等矩阵：,换法:,22,消法:,倍法:,23,24,例1,求 ,其中A，B 可逆.,解,25,总结：常用的分块矩阵求逆公式,设 A, B 都是可逆方阵, 则有下列公式.,26,证,例2,用分块方法证明,其中A、B为n阶方阵.,或,27,例3,证,28,例4,证明|Em -AB| = |En -BA| ,其中 A 为mn阶矩阵, B为nm阶阵.,证,29,利用上式可得,时可见书上的说明.,30,注 本例的结果可以把m阶的行列式转化 为n阶的行列式计算, 此时可称为 (降阶公式). 尤其是当n =1时,即A为1列B为1行时, 等式的右端即为1个数.,31,例5,计算,解,32,