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1、第九章解三角形测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若abc=432,则2sinA-sinBsin2C=()A.37B.57C.97D.107解析由题意2sinA-sinBsin2C=2sinA-sinB2sinCcosC=2a-b2ccosC,因为abc=432,设a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可得cosC=(16+9-4)k2243k2=78,则2sinA-sinBsin2C=(8-3)k478k=107.故选D.答案D2.如
2、图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45和30,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于()A.100米B.503米C.50(3+1)米D.502米解析设AB=h,ABC中,ACB=45,BC=h,在ADB中,tanADB=hh+100=33,解得h=50(3+1)米.故选C.答案C3.若sinAa=cosBb=cosCc,则ABC是()A.等边三角形B.有一内角是30的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一内角是30的等腰三角形解析因为sinAa=cosBb,所以acosB=bsinA,所以由正弦定理得2RsinAcosB=2RsinBsinA,2RsinA0.所以c
3、osB=sinB,所以B=45.同理C=45,故A=90.答案C4.在直角梯形ABCD中,ABCD,ABC=90,AB=2BC=2CD,则cosDAC=()A.255B.55C.31010D.1010解析如下图所示,不妨设BC=CD=1,则AB=2,过点D作DEAB,垂足为点D.易知四边形BCDE是正方形,则BE=CD=1,所以AE=AB-BE=1.在RtADE中,AD=AE2+DE2=2,同理可得AC=AB2+BC2=5,在ACD中,由余弦定理得cosDAC=AC2+AD2-CD22ACAD=5+2-12252=31010.故选C.答案C5.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔
4、P的南偏西75距塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()海里/小时.A.26B.46C.86D.166解析由题意PM=64,MPN=120,在PMN中,由正弦定理得PMsinPNM=MNsinMPN,即64sin45=MNsin120,得MN=326,所以船的航行速度为MN14-10=86(海里/小时).故选C.答案C6.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsin 2A+2asin B=0,b=2c,则ca的值为()A.1B.33C.55D.77解析因为bsin2A+2asinB=0,所以由正弦定理可得sinBsin2A+2sinAsin
5、B=0,即2sinBsinAcosA+2sinAsinB=0.由于sinBsinA0,所以cosA=-22,因为0A,所以A=34,又b=2c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bcosA=2c2+c2+2c2=5c2,所以ca=55.故选C.答案C7.一游客在A处望见在正北方向有一塔B,在北偏西45方向的C处有一寺庙,此游客骑车向西行1 km后到达D处,这时塔和寺庙分别在北偏东30和北偏西15,则塔B与寺庙C的距离为()A.2 kmB.3 kmC.2 kmD.1 km解析如图,先求出AC,AB的长,然后在ABC中利用余弦定理可求解.在ABD中,AD=1,可得AB=3.在ACD中,AD=1,A
6、DC=105,DCA=30,所以由正弦定理得ACsinADC=ADsinDCA,所以AC=ADsinADCsinDCA=6+22.在ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcos45=8+434+3-26+22322=2,所以BC=2.故选C.答案C8.如图,某建筑物的高度BC=300 m,一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15,地面某处A的俯角为45,且BAC=60,则此无人机距离地面的高度PQ为()A.100 mB.200 mC.300 mD.100 m解析根据题意,可得RtABC中,BAC=60,BC=300,所以AC=BCsin60=30032=2003;在
7、ACQ中,AQC=45+15=60,QAC=180-45-60=75,所以QCA=180-AQC-QAC=45.由正弦定理,得AQsin45=ACsin60,解得AQ=20032232=2002,在RtAPQ中,PQ=AQsin45=200222=200m.故选B.答案B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.在ABC中,a,b分别是角A,B的对边,a=1,b=2,A=30,则角B为()A.45B.90C.135D.60或135解析由正弦定理,可得sinB=bsinAa=2sin30=
8、22,又由ab,且B(0,180),所以B=45或135.故选AC.答案AC10.在ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45,C=70B.b=45,c=48,B=60C.a=14,b=16,A=45D.a=7,b=5,A=80解析选项B满足csin60bc,选项C满足bsin45ab,所以B,C有两解;对于选项A,可求B=180-A-C=65,三角形有一解;对于选项D,由sinB=bsinAa,且b0,可得sinAsinBsinC=abc=456,故A正确;由c为最大边,可得cosC=a2+b2-c22ab=16t2+25t2-36t224t5t=180,即C为
9、锐角,故B错误;由cosA=b2+c2-a22bc=25t2+36t2-16t225t6t=34,cos2A=2cos2A-1=2916-1=18=cosC,由2A,C(0,),可得2A=C,故C正确;若c=6,可得2R=csinC=61-164=167,ABC外接圆半径为877,故D正确.故选ACD.答案ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在ABC中,A,B,C的对边的长分别为a,b,c,已知a=1,sin A=210,sin C=35,则c=.解析由正弦定理csinC=asinA,得c=asinCsinA=135210=35102=32.答案3214.在ABC中,角
10、A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值是.解析因为cosA=b2+c2-a22bc,所以bccosA=12(b2+c2-a2).同理,accosB=12(a2+c2-b2),abcosC=12(a2+b2-c2).所以bccosA+accosB+abcosC=12(a2+b2+c2)=612.答案61215.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成:a2-2abcos C+b2=c2,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数x,y,z,满足x2+xy+y2=9,y2+yz+z2=16,z2+zx+x2=25,则xy+yz+zx
11、=.解析设ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,在ABC内取点O,使得AOB=BOC=AOC=23,设OA=x,OB=y,OC=z,利用余弦定理得出ABC的三边长,由此计算出ABC的面积,再利用SABC=SAOB+SBOC+SAOC可得出xy+yz+zx的值.设ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,在ABC内取点O,使得AOB=BOC=AOC=23,设OA=x,OB=y,OC=z,由余弦定理得c2=x2-2xycosAOB+y2=x2+xy+y2=9,c=3.同理可得a=4,b=5,a2+c2=b2,则ABC=90,ABC的面积为SABC=12ac=6,另一方面SABC=SAOB+
12、SAOC+SBOC=12xysin23+12yzsin23+12zxsin23=34(xy+yz+zx)=6,解得xy+yz+zx=83.答案8316.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西75,与A相距32海里的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60方向,与B相距5海里的C处,此时乙船与灯塔A之间的距离为海里,两艘轮船之间的距离为海里.解析因为ABC为等边三角形,所以AC=5.DAC=180-75-60=45,在ADC中,根据余弦定理得CD2=AD2+AC2-2ADACcosDAC=18+25-2325(22)=13,解得
13、CD=13.答案513四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B+1=bsin A+2cos C.(1)求角C的大小;(2)若a=2,a2+b2=2c2,求ABC的面积.解(1)因为由正弦定理得asinA=bsinB,所以asinB=bsinA,2cosC=1,cosC=12.又0C,C=3.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-ab,4+b2=2(4+b2-2b),解得b=2.SABC=12absinC=1222sin3=3.18.(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为
14、a,b,c,已知sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C.(1)求角A的大小;(2)若cos B=13,a=3,求c的值.解(1)由正弦定理可得b2+c2=a2+bc,则cosA=b2+c2-a22bc=12,因为A(0,),所以A=3.(2)由(1)可知,sinA=32,因为cosB=13,B为三角形的内角,所以sinB=223,故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3213+12223=3+226,由正弦定理asinA=csinC,得c=asinCsinA=3323+226=1+263.19.(12分)要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距20
15、0 m的C,D两点,并测得ADC=105,BDC=15,BCD=120,ACD=30,求A,B两点之间的距离.解在ACD中,因为ACD=30,ADC=105,所以DAC=180-30-105=45.由正弦定理得CDsin45=ADsin30,且CD=200,所以AD=1002.同理,在BCD中,可得CBD=45,由正弦定理得BDsin120=CDsin45,所以BD=1006.在ABD中,BDA=105-15=90,由勾股定理得AB=AD2+BD2=2002,即A,B两点间的距离为2002.20.(12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4
16、asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+4的值.解(1)由正弦定理asinA=csinC,则3cb=4ac,所以b=43a.而b+c=2a,则c=23a.故由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)因为cosB=-14,所以sinB=154.所以sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=2cos2B-1=-78.所以sin2B+4=22(sin2B+cos2B)=22-158-78=-72+3016.21.(12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距4(3+3)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45,B点北
17、偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距163海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为24海里/小时.(1)求BD的长;(2)该救援船到达D点所需的时间.解(1)由题意可知:在ADB中,DAB=45,DBA=30,则ADB=105.由正弦定理ABsinADB=DBsinDAB,得4(3+3)sin105=DBsin45.由sin105=sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60=6+24,代入上式得DB=83.(2)在BCD中,BC=163,DB=83,CBD=60,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos60=(163)2+(
18、83)2-21638312=242,CD=24,t=sv=2424=1.即该救援船到达D点所需的时间为1小时.22.(12分)如图,在ABC中,C=4,角B的平分线BD交AC于点D,设CBD=,其中tan =12.(1)求sin A;(2)若CACB=28,求AB的长.解(1)由CBD=,且tan=12,0,2,sin=12cos,sin2+cos2=14cos2+cos2=54cos2=1,cos=25,sin=15.则sinABC=sin2=2sincos=21525=45,cosABC=2cos2-1=245-1=35,sinA=sin-4+2=sin4+2=22sin2+22cos2=2235+45=7210.(2)由正弦定理,得BCsinA=ACsinABC,即BC7210=AC45,所以BC=728AC.又CACB=22|CB|CA|=28,所以|CB|CA|=282,由上两式解得AC=42,又由ABsinC=ACsinABC,得AB22=AC45,解得AB=5.10