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1、概率与数理统计第讲你现在浏览的是第一页，共49页3.4 边缘分布边缘分布3.4.1 3.4.1 边缘分布函数边缘分布函数 二维随机向量二维随机向量(X,Y)作为一个整体作为一个整体,有分布有分布函数函数 F(x,y)，其分量，其分量 X与与Y 都是随机变量，有各都是随机变量，有各自的分布函数，分别记成自的分布函数，分别记成 FX(x)和和 FY(y)，分别称为分别称为X的边缘分布函数和的边缘分布函数和Y的边缘分布函数；的边缘分布函数；称称 F(x,y)为为(X,Y)的联合分布函数。的联合分布函数。你现在浏览的是第二页，共49页FX(x)=PXx=PXx,Y=F(x,)，FY(y)=PYy=PX
2、,Yy=F(,y).X与与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机的边缘分布函数实质上就是一维随机变量变量X或或Y的分布函数。称其为边缘分布函数的是的分布函数。称其为边缘分布函数的是相对于相对于(X,Y)的联合分布而言的。的联合分布而言的。同样地，同样地，(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数 F(x,y)是相是相对于对于(X,Y)的分量的分量X和和Y的分布而言的。的分布而言的。注意注意:求法求法你现在浏览的是第三页，共49页则则 X 的边缘概率分布为的边缘概率分布为Y 的边缘概率分布为的边缘概率分布为 设设(X,Y)是二维离散型随机向量，联合概是二维离散型随机向量，联合概率分布为率分布为3.4.2
3、 3.4.2 二维离散型随机向量的边缘分布二维离散型随机向量的边缘分布你现在浏览的是第四页，共49页解：解：例例1：求例求例3.2.1(P59)3.2.1(P59)中中(X,Y)的分量的分量X和和Y的边缘的边缘分布。分布。你现在浏览的是第五页，共49页把这些数据补充到前面表上把这些数据补充到前面表上,你现在浏览的是第六页，共49页解：解：例例2：(打开书打开书P59)求例求例3.2.2中中(X,Y)的分量的分量X和和Y的边缘分布。的边缘分布。PX=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1 =0.00013+0.19987 =0.20000,PX=1=PX=1,Y=0+PX=1,Y=1 =0.00
4、004+0.79996 =0.80000,PY=0=PX=0,Y=0+PX=1,Y=0 =0.00013+0.00004 =0.00017,PY=1 =PX=0,Y=1+PX=1,Y=1 =0.19987+0.79996 =0.99983.你现在浏览的是第七页，共49页把这些数据补充到例把这些数据补充到例3.2.23.2.2的表中，得的表中，得你现在浏览的是第八页，共49页3.4.2 连续型随机向量的边缘概率密度连续型随机向量的边缘概率密度 若若(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 f(x,y)，则，则X的边缘概率密度为的边缘概率密度为Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为你现在浏览的是第
5、九页，共49页例例3：若若(X,Y)服从矩形区域服从矩形区域 axb，cyd上均匀分布，则边缘概率密度分别为上均匀分布，则边缘概率密度分别为注：注：本例中本例中X与与Y都是服从均匀分布的随机变量。都是服从均匀分布的随机变量。但对其它非矩形区域上的均匀分布不一定有上述但对其它非矩形区域上的均匀分布不一定有上述结论。结论。你现在浏览的是第十页，共49页例例4：设设(X,Y)服从单位圆域服从单位圆域 x2 2+y2 211上的均上的均匀分布。求匀分布。求X和和Y的边缘概率密度。的边缘概率密度。解解:当当|x|1 1时时,你现在浏览的是第十一页，共49页当当-1-1x11时时,(注意积分限的确定方法注
6、意积分限的确定方法)熟练时，被积函数为零的部分可以不写。熟练时，被积函数为零的部分可以不写。你现在浏览的是第十二页，共49页 由由X 和和Y 在问题中地位的对称性在问题中地位的对称性,将上式中的将上式中的 x 改为改为 y，得到，得到 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度你现在浏览的是第十三页，共49页例例5：设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为求求(1).c的值的值;(2).边缘密度。边缘密度。=5c/24=1,c=24/5;解解:(1).你现在浏览的是第十四页，共49页解解:(2)注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围你现在浏览的是第十五页，共49页注意积分限注意积分限注意取值范围注意
7、取值范围你现在浏览的是第十六页，共49页即即你现在浏览的是第十七页，共49页例例6：设设(X,Y)求求X和和Y 的边缘概率密度。的边缘概率密度。解：解：由由你现在浏览的是第十八页，共49页J 说明说明 对于确定的对于确定的 1,2,1,2,当当 不同时不同时,对应对应不同的二维正态分布。但它们的边缘分布是相同的，不同的二维正态分布。但它们的边缘分布是相同的，所以在考虑多维随机向量时，不但要考虑它们的边所以在考虑多维随机向量时，不但要考虑它们的边缘分布，还要考虑随机向量各分量之间的关系。缘分布，还要考虑随机向量各分量之间的关系。你现在浏览的是第十九页，共49页 X与与Y之间的关系的信息是包含在之
8、间的关系的信息是包含在(X,Y)的联合概率密度函数之内的。的联合概率密度函数之内的。在下一章将指出：对于二维正态分布而言，在下一章将指出：对于二维正态分布而言，参数参数 正好刻画了正好刻画了X和和Y之间关系的密切程度。之间关系的密切程度。因此，仅由因此，仅由X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度(或边缘或边缘分布分布)一般不能确定一般不能确定(X,Y)的联合概率密度函数的联合概率密度函数(或概率分布或概率分布)。你现在浏览的是第二十页，共49页3.5 条件分布条件分布 第一章中，我们介绍了条件概率的概念第一章中，我们介绍了条件概率的概念,在事件在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的条件
9、概率发生的条件概率将其推广到随机变量：将其推广到随机变量：设有两个随机变量设有两个随机变量 X与与Y，在给定，在给定Y 取某个或某些值的条件下，求取某个或某些值的条件下，求X的的概率分布。概率分布。这个分布就是条件分布。这个分布就是条件分布。3.5.1 3.5.1 条件分布的概念条件分布的概念你现在浏览的是第二十一页，共49页 例如：考虑某大学的全体学生，从中随机抽取例如：考虑某大学的全体学生，从中随机抽取一个学生，分别以一个学生，分别以 X和和Y 表示其体重和身高。则表示其体重和身高。则 X和和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分都是随机变量，它们都有一定的概率分布。布。体重体重X身高身高Y
10、体重体重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布你现在浏览的是第二十二页，共49页 现在限制现在限制180Y 0，则称，则称为在为在Y=yj 条件下条件下,随机变量随机变量X的条件概率分布。的条件概率分布。P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,你现在浏览的是第二十四页，共49页 条件分布是一种概率分布，具有概率分布的条件分布是一种概率分布，具有概率分布的一切性质。例如：一切性质。例如：i=1,2,对固定的对固定的 i，若，若P(X=xi)0，则称，则称P(Y=Yj|X=xi)=，j=1,2,为在为在X=xi条件下条件下,随机变量随机变量Y 的条件概率分布。的条件概率分布。你现在浏览的是第二十五页
11、，共49页例例 1:求书中求书中p59,p59,例例3.2.13.2.1中中Y 的条件分布。的条件分布。解：解：在例在例3.4.1中已求出中已求出X 的边缘分布的边缘分布(见上表见上表)。在在X=0条件下，条件下，你现在浏览的是第二十六页，共49页在在 X=1=1 条件下，条件下，你现在浏览的是第二十七页，共49页解：解：例例 2：求例求例3.2.23.2.2中被调查者吸烟的条件下得肺中被调查者吸烟的条件下得肺癌的概率和不吸烟的条件下得肺癌的概率。癌的概率和不吸烟的条件下得肺癌的概率。你现在浏览的是第二十八页，共49页3.5.3 连续型随机变量的条件概率密度连续型随机变量的条件概率密度 设设(
12、X,Y)是是二二维维连连续续型型随随机机向向量量，由由于于对对任任意意 x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所所以以不不能能直直接接用用条条件件概概率率公公式式得得到到条条件件分分布布，这这时时要要使使用用极极限限的的方方法法得到条件概率密度。得到条件概率密度。给定给定y，对于任意固定的正数，对于任意固定的正数 ，若概率，若概率P(y-0，于是，对于任意，于是，对于任意 x，是在条件是在条件 y-Y y+之下，之下，X的条件分布的条件分布。你现在浏览的是第二十九页，共49页 定义定义2：设设X和和Y是随机变量，给定是随机变量，给定 y,若对任意若对任意固定正数固定正数，P(y-0，且对
13、任意实数且对任意实数 x，极限极限存在，则称此极限为在条件存在，则称此极限为在条件 Y=y下下X的条件分布的条件分布函数，记成函数，记成 FX|Y(x|y)。若存在若存在 fX|Y(x|y),使得使得则称则称 fX|Y(x|y)为在条件为在条件 Y=y 下下X的条件概率密度的条件概率密度函数，简称条件概率密度。函数，简称条件概率密度。你现在浏览的是第三十页，共49页同理，当同理，当 fX(x)0 时，时，定理定理1：设随机向量设随机向量(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度为为 f(x,y)，Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为fY(y)。若。若f(x,y)在点在点(x,y)处连续处连续,当当
14、fY(y)0 时，时，你现在浏览的是第三十一页，共49页证明：证明：你现在浏览的是第三十二页，共49页求求 P(X1|Y=y)。解：解：P(X1|Y=y)为此为此,需求出需求出 例例3：设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是你现在浏览的是第三十三页，共49页由于由于于是，对于是，对 y 0,你现在浏览的是第三十四页，共49页故对故对 y 0,P(X1|Y=y)例例4：设设(X,Y)服从单位圆上均匀分布，即其概服从单位圆上均匀分布，即其概率密度为率密度为求求你现在浏览的是第三十五页，共49页解：解：X的边缘密度为的边缘密度为当当|x|1时时,有有你现在浏览的是第三十六页，共49页即即：当：当|x
15、|0，你现在浏览的是第四十页，共49页你现在浏览的是第四十一页，共49页当当 x(-1,1)(-1,1)时，时，f fX X(x)0)0，你现在浏览的是第四十二页，共49页你现在浏览的是第四十三页，共49页例例 6：设店主在每日开门营业时，放在柜台上的设店主在每日开门营业时，放在柜台上的货物量为货物量为 Y,当日销售量为当日销售量为 X,假定一天中不再假定一天中不再往柜台上补充货物往柜台上补充货物,于是于是 XY。根据历史资料，。根据历史资料，(X,Y)的概率密度为的概率密度为求求 (1).(1).给定给定Y=Y=y条件下条件下,X,X的条件概率密度；的条件概率密度；(2).(2).给定给定Y
16、=10Y=10条件下条件下,X5,X5的概率；的概率；(3).(3).如果如果Y=20Y=20件呢件呢?你现在浏览的是第四十四页，共49页解解:(1).你现在浏览的是第四十五页，共49页y(0,20(0,20 时，时，fY Y(y)0，这个结果表明：当这个结果表明：当 y(0,20 时，时，X的条件分布的条件分布是是 0,y 上的均匀分布。上的均匀分布。你现在浏览的是第四十六页，共49页(2).(2).当当 Y=10=10 时，时，你现在浏览的是第四十七页，共49页(3),(3),当当Y Y=20=20 时时,这表明：这表明：货物销售量货物销售量X与放在柜台上的货物量与放在柜台上的货物量Y 的关系是很密切的。的关系是很密切的。你现在浏览的是第四十八页，共49页小结小结 本讲首先介绍二维随机向量的边缘分布的本讲首先介绍二维随机向量的边缘分布的概念，二维离散型随机向量边缘分布计算，二概念，二维离散型随机向量边缘分布计算，二维连续型随机向量边缘概率密度的计算；然后维连续型随机向量边缘概率密度的计算；然后介绍条件分布的概念，离散型随机向量的条件介绍条件分布的概念，离散型随机向量的条件分布的计算，连续型随机向量的条件概率密度分布的计算，连续型随机向量的条件概率密度的计算等。的计算等。你现在浏览的是第四十九页，共49页