概率与数理统计基础优秀PPT.ppt
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1、概率与数理统计基础你现在浏览的是第一页,共54页 概率论与数理统计是研究和概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的数学揭示随机现象统计规律性的数学分支。主要包括:随机事件和概分支。主要包括:随机事件和概率、随机变量的分布和数字特征、率、随机变量的分布和数字特征、中心极限定理和大数定理、抽样中心极限定理和大数定理、抽样分布、统计估计、假设检验、回分布、统计估计、假设检验、回归分析等。归分析等。你现在浏览的是第二页,共54页主要内容主要内容1.基本概念基本概念2.对总体的描述对总体的描述随机变量的数字特征随机变量的数字特征3.对样本的描述对样本的描述样本分布的数字特征样本分布的数字特征4.
2、随机变量的分布随机变量的分布5.通过样本,估计总体通过样本,估计总体估计量的特征估计量的特征6.通过样本,估计总体通过样本,估计总体估计方法估计方法7.通过样本,估计总体通过样本,估计总体假设检验假设检验你现在浏览的是第三页,共54页第一节第一节 基本概念基本概念总体和个体总体和个体样本和样本容量样本和样本容量随机变量随机变量统计量统计量你现在浏览的是第四页,共54页1.1总体、个体、样本和样本容量研究对象的全体称为总体或母体,研究对象的全体称为总体或母体,通常指研究对象的某项通常指研究对象的某项数量指标;数量指标;组成总体的每个基本单位称为个体。组成总体的每个基本单位称为个体。从总体从总体X
3、中抽出若干个个体称为中抽出若干个个体称为样本样本,一般记为,一般记为(X1,X2,Xn)。n称为称为样本容量样本容量。而对这。而对这n个个体的一个个体的一次具体的观察结果次具体的观察结果(x1,x2,xn)是完全确定的一是完全确定的一组数值,但它又随着每次抽样观察而改变。组数值,但它又随着每次抽样观察而改变。(x1,x2,xn)称为称为样本观察值样本观察值。注意:抽样是按注意:抽样是按随机原则随机原则选取的,即总体中每个选取的,即总体中每个 个体有同样的机会被选入样本。个体有同样的机会被选入样本。你现在浏览的是第五页,共54页 当人们在一定条件下对某一现象加以观察时,观察到的结当人们在一定条件
4、下对某一现象加以观察时,观察到的结果是多个可能结果中的某一个,且在每次观察前都无法预知果是多个可能结果中的某一个,且在每次观察前都无法预知观测结果到底是哪一个,即结果的出现呈现出偶然性,但是观测结果到底是哪一个,即结果的出现呈现出偶然性,但是所有可能出现的结果是知道的。所有可能出现的结果是知道的。随机现象具有偶然性一面,也有必然性一面。偶随机现象具有偶然性一面,也有必然性一面。偶然性一面然性一面表现在表现在“对随机现象做一次观测时,观测结果具有偶然性对随机现象做一次观测时,观测结果具有偶然性(不不可预知性可预知性)”;必然性一面表现在必然性一面表现在“对随机现象进行大量重复对随机现象进行大量重
5、复观测,观测结果有一定的规律性,亦即统计规律性观测,观测结果有一定的规律性,亦即统计规律性”。具有不确定性具有不确定性(或随机性、偶然性或随机性、偶然性)的现象称为随机现象。的现象称为随机现象。特点特点:随机现象随机现象定义:定义:你现在浏览的是第六页,共54页随机试验举例:随机试验举例:E E1 1:掷一颗骰子,观察所掷的点数是几;掷一颗骰子,观察所掷的点数是几;E E2 2:观察某城市某个月内交通事故发生的次数;观察某城市某个月内交通事故发生的次数;E E3 3:对某只灯泡做试验对某只灯泡做试验,观察其使用寿命;观察其使用寿命;E E4 4:对某只灯泡做试验对某只灯泡做试验,观察其使用寿命
6、是否小观察其使用寿命是否小 于于200200小时。小时。在实际问题中,随机试验的结果可以用数在实际问题中,随机试验的结果可以用数量来表示,由此就产生了随机变量的概念量来表示,由此就产生了随机变量的概念你现在浏览的是第七页,共54页 有些试验结果本身与数值有关(本身就是一有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数)个数).例如,掷一颗骰子面上出现的点数;例如,掷一颗骰子面上出现的点数;七月份济南的最高温度;七月份济南的最高温度;每天从济南下火车的人数;每天从济南下火车的人数;昆虫的产卵数;昆虫的产卵数;它随试验结果的不同而取不同的值,因而在试验之前只知道它可能它随试验结果的不同而取不同的值,因而
7、在试验之前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值。由于试验结果的出现取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值。由于试验结果的出现具有一定的概率,于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的具有一定的概率,于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率。值也有一定的概率。你现在浏览的是第八页,共54页1.2 随机变量根据概率不同而取不同数值的变量称为根据概率不同而取不同数值的变量称为随机随机变量变量。一个一个随机变量具有这样的特性:可以取许多随机变量具有这样的特性:可以取许多不同的数值,取每一个数值都有相应的概不同的数值,取每一个数值都有相应的概率率p,0 p1。你现在浏览的
8、是第九页,共54页总体、随机变量、样本间的联系样本就是一个随机变量,所谓样本就是一个随机变量,所谓“样本容量为样本容量为n的样本的样本”就是就是n个相互独立且与总体有相个相互独立且与总体有相同分布的随机变量同分布的随机变量X1,X2,Xn每一次具体抽样所得的数据,就是每一次具体抽样所得的数据,就是n元随机变量元随机变量的一个观察值,记为的一个观察值,记为X1,X2,Xn样本是总体的一部分。总体一般是未知的。样本是总体的一部分。总体一般是未知的。一般要通过样本才能部分地推知总体的情一般要通过样本才能部分地推知总体的情况。况。你现在浏览的是第十页,共54页1.3 统计量统计量由样本值去推断总体情况
9、,需要对样本值进行由样本值去推断总体情况,需要对样本值进行“加加工工”,这就要构造一些样本的函数,它把样本中所,这就要构造一些样本的函数,它把样本中所含的(某一方面)的信息集中起来。设含的(某一方面)的信息集中起来。设(x1,x2,xn)为一组为一组样本观察值,函数样本观察值,函数y=f(x1,x2,xn)若不含有未知参数,若不含有未知参数,这种这种不含任何未知参数的样本的函数称为不含任何未知参数的样本的函数称为统计量统计量。它是完全由样本决定的量。它是完全由样本决定的量。统计量既然是依赖于样本的,而后者又是随机变量,统计量既然是依赖于样本的,而后者又是随机变量,故统计量也是随机变量。故统计量
10、也是随机变量。几个常见统计量几个常见统计量样本均值:样本均值:样本方差:样本方差:你现在浏览的是第十一页,共54页第二节第二节 对总体的描述对总体的描述随机变量的数字特征随机变量的数字特征2.1 数学期望数学期望2.2 方差方差2.3协方差协方差你现在浏览的是第十二页,共54页2.1.1 数学期望:实际上就是一个加权数学期望:实际上就是一个加权平均值,描述随机变量的集中程度。平均值,描述随机变量的集中程度。数学期望描述随机变量(总体)的一般水平。数学期望描述随机变量(总体)的一般水平。定义定义1离散型随机变量数学期望的定义离散型随机变量数学期望的定义 假定有一个离散型随机变量假定有一个离散型随
11、机变量X有有n个不同的可能个不同的可能取值取值x1,x2,xn,而,而p1,p2,pn是是X取这取这些值相应的概率,则这个随机变量些值相应的概率,则这个随机变量X的数学期的数学期望定义如下:望定义如下:你现在浏览的是第十三页,共54页定义定义2连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义你现在浏览的是第十四页,共54页2.1.2数学期望的性质:数学期望的性质:(1)如果a、b为常数,则 E(aX+b)=aE(X)+b(2)如果X、Y为两个随机变量,则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)(3)如果g(x)和f(x)分别为X的两个函数,则 Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)(4
12、)如果X、Y是两个独立的随机变量,则 E(X.Y)=E(X).E(Y)你现在浏览的是第十五页,共54页2.2.1方差的定义方差的定义离均差的定义离均差的定义若随机变量若随机变量X的数学期望的数学期望E(X)存在,称存在,称X-E(X)为随机变量为随机变量X的离均差。的离均差。方差的定义方差的定义 离均差的平方的数学期望。离均差的平方的数学期望。设设X是随机变量,若是随机变量,若EX-EX2存存在,则称在,则称EX-EX2为随机变量为随机变量X的方差,记为的方差,记为D(X)或或Var(X),即,即 D(X)=EX-EX2 方差的算术平方根称为随机变量方差的算术平方根称为随机变量X的均方差或的均
13、方差或标准差。标准差。你现在浏览的是第十六页,共54页2.2.2方差的意义方差的意义离均差和方差都是用来描述随机变量离散程度离均差和方差都是用来描述随机变量离散程度的,即描述的,即描述x对于它的数学期望的偏离程度,对于它的数学期望的偏离程度,这种偏差越大,表明变量的取值越分散。这种偏差越大,表明变量的取值越分散。一般情况下,常用方差来描述离散程度。因为一般情况下,常用方差来描述离散程度。因为离均差的和为零,无法体现随机变量的总离散离均差的和为零,无法体现随机变量的总离散程度。事实上正偏差大或负偏差大,同样是离程度。事实上正偏差大或负偏差大,同样是离散程度大。方差中由于有了平方,从而消除了散程度
14、大。方差中由于有了平方,从而消除了正负号的影响,并易于加总,也易于强调大的正负号的影响,并易于加总,也易于强调大的偏离程度的突出作用。偏离程度的突出作用。你现在浏览的是第十七页,共54页2.2.3方差的性质:方差的性质:(1)Var(c)=0(2)Var(c+x)=Var(x)(3)Var(cx)=c2Var(x)(4)Var(x-y)=Var(x)+Var(y)-2cov(x,y)Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2cov(x,y)(5)Var(a+bx)=b2Var(x)(6)a,b为常数,x,y为两个相互独立的随机变量,则Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y
15、)(7)Var(x)=E(x2)-(E(x)2你现在浏览的是第十八页,共54页 2.3协方差协方差Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(积的期望减期望的积)(积的期望减期望的积)你现在浏览的是第十九页,共54页第三节第三节 对样本的描述对样本的描述样本分布的数字特征样本分布的数字特征样本均值样本均值 反映样本集中程度反映样本集中程度 样本方差样本方差样本标准差样本标准差描描述述样样本本离离散散程程度度你现在浏览的是第二十页,共54页第四节第四节 随机变量的分布随机变量的分布4.1 正态分布正态分布4.2 t分布分布4.3 卡方分布卡方分布4
16、.4 F分布分布你现在浏览的是第二十一页,共54页4.1 正态分布正态分布你现在浏览的是第二十二页,共54页正态分布图形正态分布图形你现在浏览的是第二十三页,共54页标准正态分布标准正态分布 根据以上定理,可以将任何一个正态分根据以上定理,可以将任何一个正态分布化为标准正态分布,即将其标准化。布化为标准正态分布,即将其标准化。你现在浏览的是第二十四页,共54页标准正态分布图形标准正态分布图形你现在浏览的是第二十五页,共54页标准正态分布的分位数标准正态分布的分位数(临界值临界值)在实际问题中,在实际问题中,常取常取0.1、0.05、0.01.z0.05=1.645 z0.01=2.326 z0
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