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1、1.2 事件的概率事件的概率1.2.1 概率的初等描述概率的初等描述 概率的直观定义：在随机试验中，事件发生的可能概率的直观定义：在随机试验中，事件发生的可能性大小的数量指标。记为性大小的数量指标。记为 P（A）例：例：E-掷硬币，掷硬币，A=正面朝上正面朝上，B=反面朝上反面朝上 结论：结论：古典概型是一种计算概率的数学模型，它是古典概型是一种计算概率的数学模型，它是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象。在概率论的发展过程中最早出现的研究对象。*引例引例 例例1 一个袋子中装有一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，编号个大小、形状完全相同的球，编号 分别为分别为110，现从中任取一球
2、。，现从中任取一球。用用i i表示取到表示取到i i号球，号球，i=1,2,10i=1,2,10，则该实验的样本则该实验的样本空间空间 =1,2,101,2,10（有限多个样本点）（有限多个样本点）,且每个样本点出现且每个样本点出现的可能性相同（的可能性相同（1/101/10）。1.2.2 1.2.2 古古 典典 概概 型型另如：另如：1掷一枚均匀的硬币掷一枚均匀的硬币 （1）有）有2个可能的结果个可能的结果 （2）每个结果的出现都是等可能的）每个结果的出现都是等可能的2掷一枚均匀的骰子掷一枚均匀的骰子 （1）有）有6个可能的结果个可能的结果 （2）每个结果的出现都是等可能的）每个结果的出现都
3、是等可能的3在在5个白球个白球3个黑球任取个黑球任取2个个 （1）有）有 个可能的结果个可能的结果 （2）每个结果的出现都是等可能的）每个结果的出现都是等可能的古典概型中事件概率的计算古典概型中事件概率的计算例例2 2 一一个个袋袋子子中中装装有有10个个大大小小、形形状状完完全全相相同同的的球球，假假设设1010个个球中有球中有7 7个是白色的，个是白色的，3 3个是红色的，个是红色的，现从中任取一球。现从中任取一球。A=A=取得白球取得白球，B=B=取得红球取得红球 因此，很自然地定义因此，很自然地定义P(A)=7/10 P(B)=3/10P(A)=7/10 P(B)=3/10若一随机试验
4、满足下述两个条件：若一随机试验满足下述两个条件：1)1)样本空间只含有有限多个样本点（样本空间只含有有限多个样本点（有限性有限性）；）；2 2）每个样本点出现的可能性相等（）每个样本点出现的可能性相等（等可能性等可能性）。）。则称这种随机试验为则称这种随机试验为古典概型古典概型即：即：=1 1，2 2，n n 即：对每个即：对每个 i=1，2，n有：有：P(1)=P(2)=P(n)=1/n 这是一类最简单却是常见的随机试验这是一类最简单却是常见的随机试验。古典概型定义古典概型定义 举例举例 1摸球问题摸球问题 （组合问题）（组合问题）例例1 一袋中有大小、形状完全相同的一袋中有大小、形状完全相
5、同的5个白球个白球4个黑球，从个黑球，从中任取中任取3个球个球求：求：（1）恰有）恰有2个白球个白球1个黑球的概率个黑球的概率 （2）没有黑球的概率）没有黑球的概率 （3）颜色相同的概率颜色相同的概率解解 设设A=任取任取3个球，恰有个球，恰有2个白球个白球1个黑球个黑球 B=任取任取3个球，没有黑球个球，没有黑球 C=任取任取3个球，颜色相同个球，颜色相同P（A）=P（B）=P（C）=另如：另如：1o 52 张牌中任取张牌中任取4张张,求求 （1）2张红桃，张红桃，1张方块，张方块，1张黑桃的概率张黑桃的概率 （2）没有）没有A的概率的概率 （3）4张大小相同的概率张大小相同的概率2o 一批
6、产品一批产品100个，一、二、三、次品各为个，一、二、三、次品各为20、30、40、10个，求个，求 （1）任取）任取5个均为一等品的概率个均为一等品的概率 （2）任取任取3个其中个其中2个一等品，个一等品，1个三等品的概率个三等品的概率3o P32 习题第习题第6、7、8、9、15、16题题概率的古典定义概率的古典定义 在古典概型中，如果样本空间在古典概型中，如果样本空间 含含n个样本点个样本点（基本事件）基本事件）事件事件A的有利样本点为的有利样本点为 m个个，则定义事件的概率，则定义事件的概率 P(A)为：为：称此概率为称此概率为古典概率古典概率。求概率问题求概率问题记数问题记数问题2
7、排队问题排队问题 （不可重复的排列问题）（不可重复的排列问题）例例1 一套五卷的选集，随机的放到书架上，求各册自一套五卷的选集，随机的放到书架上，求各册自左向右或自右向左卷号恰为左向右或自右向左卷号恰为1、2、3、4、5顺序的概率。顺序的概率。解解 设设A“各册自左向右或自右向左卷号恰为各册自左向右或自右向左卷号恰为1、2、3、4、5顺序顺序”样本空间包含的基本事件总数样本空间包含的基本事件总数 n=5！=120 事件事件A中包含的基本事件个数中包含的基本事件个数m=2 所以所以 例例2 （P33第第12题）把题）把10本书任意地放在书架本书任意地放在书架上，求其中指定的上，求其中指定的3本书
8、放在一起的概率本书放在一起的概率 设设A其中指定的三本书放在一起其中指定的三本书放在一起则则 P（A）=P37 习题第习题第13、14题题3分房问题分房问题 (生日问题生日问题)（可重复的排列问题）（可重复的排列问题）例例1 （P13例例4）两封信随机地向标号为）两封信随机地向标号为、的的4 4个邮筒投寄。求：个邮筒投寄。求：（1 1）前两个邮筒各投入前两个邮筒各投入1 1封信封信的概率（的概率（2 2）第）第个邮筒恰好投入个邮筒恰好投入1 1封信的概率封信的概率（3 3）两）两封信封信投入不同邮筒的概率投入不同邮筒的概率解解 设设A前两个邮筒各投入前两个邮筒各投入1 1封信封信 BB第第个邮
9、筒恰好投入个邮筒恰好投入1 1封信封信 CC两两封信封信投入不同邮筒投入不同邮筒而而 样本空间包含的样本空间包含的基本事件总数基本事件总数n=42=16 事件事件A中中包含的包含的基本事件个数基本事件个数mA=2!=2 事件事件B中中包含的包含的基本事件个数基本事件个数mB=C21C31=6 事件事件C中中包含的包含的基本事件个数基本事件个数mC=P42=12则则 P（A）=2/16 P（B）=6/16 P（C）=12/16例例2 掷三枚骰子，求向上的点数全不相同的概率掷三枚骰子，求向上的点数全不相同的概率解解 设设A向上的点数全不相同向上的点数全不相同 样本空间包含的样本空间包含的基本事件总
10、数基本事件总数n=63 事件事件A中中包含的包含的基本事件个数基本事件个数mA=P63 则则 P（A）=P63/63练习：练习：P3310（1）=（2）（3）P33 习题第习题第11题题 4抓阄问题抓阄问题 (抽签问题抽签问题)例例1 10人抓阄决定谁得到人抓阄决定谁得到4张电影票，张电影票，(10张阉张阉)求求 （1）第一人抓到电影票的概率）第一人抓到电影票的概率 （2）第三人抓到电影票的概率）第三人抓到电影票的概率解解 设设A第一人抓到电影票第一人抓到电影票 B第三人抓到电影票第三人抓到电影票 1.不放回地抓不放回地抓（1）P（A）=4/10（2）法）法1 考虑考虑10人抽取的结果为一个基
11、本事件，则人抽取的结果为一个基本事件，则 P（B）=法法2 考虑前考虑前3人抽取的结果为一个基本事件，则人抽取的结果为一个基本事件，则 P（B）=2.有放回地抓有放回地抓 考虑考虑10人抽取的结果为一个基本事件，则人抽取的结果为一个基本事件，则 P(B)=考虑前考虑前3人抽取的结果为一个基本事件，则人抽取的结果为一个基本事件，则 P(B)=解：解：由于球除颜色外无其它区别，故每一个球被取到的可由于球除颜色外无其它区别，故每一个球被取到的可 能性相同。总共可能的取法是：能性相同。总共可能的取法是：例例2 袋袋中中有有a个个白白球球，个个黑黑球球，从从中中任任取取一一个个，求求（1）取出的球是白球
12、的概率。）取出的球是白球的概率。a+b a+b 种种设设表示表示“取到的是白球取到的是白球”注注 本本例例中中的的“球球”可可用用其其它它东东西西代代替替，“颜颜色色”也也可可以以用用其其它它性性质质代代替替。比比如如“球球”被被“产产品品”代代替替，“颜颜色色”被被“合合格格”或或“不合格不合格”代替等。代替等。故：故：的样本点数的样本点数 a a P(P()=样本点总数样本点总数 a+ba+b解：设解：设“第第m m次取到白球次取到白球”（2 2）袋中有袋中有a a个白球，个白球，个黑球，从中接连任意取出个黑球，从中接连任意取出(1(1 mama+b b)个球，取出的球不放回，求第个球，取
13、出的球不放回，求第m m次取出的球是次取出的球是白球的概率。白球的概率。方法方法1 1：把把a+ba+b个球全部取出看作一个样本点个球全部取出看作一个样本点，共有（，共有（a+ba+b）！）！种取法。发生共有种取法。发生共有 a a1 1（a+b-1a+b-1）！）！种取法，种取法，1 1a a（a+b-1a+b-1）！）！a a P(P()=)=（a+ba+b）！）！a+b a+b 方法方法2 2：只考虑前只考虑前m m次取球的情况次取球的情况.共有共有 m m P Pa+ba+b种取法。发生共有种取法。发生共有 C Ca a1 1 P Pa am-1m-1+b-1 +b-1 种取法，故种取
14、法，故 1 1m-1m-1 C Ca a P Pa+b-1a+b-1 a a P(P()=)=m m P Pa+ba+b a+b a+b注意：注意：该结果与该结果与m m无关无关 考虑有放回地摸取，结果如何？考虑有放回地摸取，结果如何？注注：本本例例实实质质上上也也是是抽抽签签问问题题，结结论论说说明明按按上上述述规规则则抽抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。解：设解：设“他抽到会答考签他抽到会答考签”例例3 3 抽签口试，共有抽签口试，共有a+b a+b 个考签，每个考生抽一张，抽过个考签，每个考生抽一张，抽过的不在放回。考生王某会答其中
15、的不在放回。考生王某会答其中a a个签上的问题，他是第个签上的问题，他是第k k个抽签应考的人（个抽签应考的人（k ka a+b b)，求他抽到会答考签的概率。，求他抽到会答考签的概率。1 1a a（a+b-1a+b-1）！）！a a P(P()=)=（a+ba+b）！）！a+b a+b注意：注意：该结果与该结果与 k k 无关无关古典概古典概型型的优、缺点的优、缺点 优点：古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重优点：古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重 复试验。复试验。缺点：有局限性：只能用于全部结果为有限个，且等可缺点：有局限性：只能用于全部结果为有限个，且等可 能性成立的情
16、形。能性成立的情形。一、定义一、定义 （P14）1、度量（测度）：对某区域度量（测度）：对某区域 D（线段、平面线段、平面图形、立体）的大小的一种数量描述图形、立体）的大小的一种数量描述 （长度、面积、体积），用（长度、面积、体积），用 (D)表示表示 2、几何概型、几何概型 设设区域区域G 区域区域，向，向区域区域 内内随机地（等随机地（等可能地）投点，点落入可能地）投点，点落入G的概率与的概率与区域区域G的的测度成正比，而与该区域在测度成正比，而与该区域在 中的位置、形中的位置、形状无关，则称此概率模型为状无关，则称此概率模型为几何概型几何概型1.2.3 1.2.3 几何概型几何概型3、几
17、何概率的求法、几何概率的求法（P14）随机试验的样本空间的测度为随机试验的样本空间的测度为()，区域区域G（）的测度为的测度为(G)，用用A表示表示“在在区域区域 内任取一点，而该点落入内任取一点，而该点落入区域区域G中中”这一事件，则事件这一事件，则事件A的概率定义为的概率定义为 P（A）=例例1 49路公共汽车每隔路公共汽车每隔6分钟来一辆，现有某人在分钟来一辆，现有某人在等车，问他等车不超过等车，问他等车不超过4分钟的概率。分钟的概率。样本空间样本空间 =0，6 若设若设A等车不超过等车不超过4分钟分钟 A=0，4 P（A）=例例2 （会面问题（会面问题）甲乙两人约定在甲乙两人约定在6时
18、到时到7时之间在某处时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离见面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去。假定每人在指定的去。假定每人在指定的1小时内任一时刻到达是等可能的，小时内任一时刻到达是等可能的，求两人能会面的概率。求两人能会面的概率。解解 设设A两人能会面两人能会面 x甲到达约会地点的时刻甲到达约会地点的时刻 y乙到达约会地点的时刻乙到达约会地点的时刻则样本空间则样本空间=（x，y）|0 x 60，0 y 60A为区域为区域 G=（x，y）|0|x-y|15且且G 于是于是 P（A）=06060 xyG另解另解 设设A两人能会面两人能会面 x甲到达约会地点的
19、时刻甲到达约会地点的时刻 y乙到达约会地点的时刻乙到达约会地点的时刻则样本空间则样本空间=（x，y）|6 x 7，6 y 7A为区域为区域 G=（x，y）|0|x-y|1/4，且且G 于是于是 P（A）=0 xyG例例3（P37 第第17题）甲乙两艘轮船向一个不能同时停泊题）甲乙两艘轮船向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲乙两船的停泊时间都是一小时，求等可能的。如果甲乙两船的停泊时间都是一小时，求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率。它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率。解解 设设A它们中任何一艘
20、都不需等候码头空出它们中任何一艘都不需等候码头空出 x甲船到达码头的时刻甲船到达码头的时刻 y乙船到达码头的时刻乙船到达码头的时刻则样本空间则样本空间=（x，y）|0 x 24，0 y 24A为区域为区域 G=（x，y）|x-y|1，且且G 于是于是 P（A）=1.2.4 频率与概率频率与概率 1、频率的定义及性质、频率的定义及性质 1频率（定义频率（定义1.1)：在：在n次重复试验中，若事件次重复试验中，若事件A发生了发生了m次，则称次，则称m为事件为事件A发生的频数，发生的频数，m/n为为事件事件A发生的频率，记为发生的频率，记为 n(A)2 性质：性质：（1）非负性）非负性 对任意事件对
21、任意事件A，0 n(A)1 （2）规范性规范性 对于必然事件对于必然事件，有有n()=1 （3）可加性）可加性 若事件若事件A与与B互不相容，则互不相容，则 n(A+B)=n(A)+n(B)2、概率的统计定义、概率的统计定义 定义定义1.1 在相同的条件下，重复进行在相同的条件下，重复进行n次次试验，事件试验，事件A发生的频率稳定地在发生的频率稳定地在0到到1之间的之间的某一常数某一常数p附近摆动，且一般说来，附近摆动，且一般说来，n越大，摆越大，摆动幅度越小，则称常数动幅度越小，则称常数P为事件为事件A的的概率概率，记作，记作 P(A)注意注意 （1）频率的稳定值为概率，所以，一）频率的稳定
22、值为概率，所以，一般般n充分大时，常用频率作为概率的近似值充分大时，常用频率作为概率的近似值 （2）概率是先于试验而存在的）概率是先于试验而存在的 设试验的样本空间为设试验的样本空间为，设对每个事件设对每个事件A,都有一个实数都有一个实数P(A)与之对应，满足下列三条公理：与之对应，满足下列三条公理：(2)规范性规范性:P()=1 (3)完完全全可可加加性性（可可列列可可加加性性）:若若Ak(k=1，2，)两两互不相容，则两两互不相容，则 (Ai)=(Ai)i=1 i=1 定义定义1.2(概率的公理化定义概率的公理化定义)(1)非负性非负性:对于任一事件对于任一事件A，都有都有 0P(A)1则
23、称函数则称函数P(A)为事件为事件A的概率。的概率。1.2.5 概率的公理化定义概率的主要性质概率的主要性质性质性质1 不可能事件的概率为零，即不可能事件的概率为零，即P()=0证明证明 因因=+，由公理得由公理得P()=P()+P()+，故故 p()=0证明证明 因：因：性质性质2 (有限可加性有限可加性)若若A1，A2，An 两两互不相容两两互不相容，则则 而：而：故：故：由公理由公理3得得推论：推论：若若A1，A2，An 构成完备事件组，则构成完备事件组，则 性质性质4 任给任给 A，B两事件两事件，则：则：P(AB)P(A)P(AB)若若 则：则：P(AB)P(A)P(B)P(A)P(
24、B)性质性质3 设设 是事件是事件AF的对立事件，则有：的对立事件，则有：证明证明 因因 由性质由性质2有有即即：故故：证明证明：因：因且且(A-B)A-B)与与ABAB互不相容，由互不相容，由性质性质2 2(有限可加性有限可加性)，得，得P(A)P(A)P(A-B)P(A-B)P(AB)P(AB)P(AP(AB)B)P(A)P(A)P(AB)P(AB)当当 时，有：时，有：AB=BAB=B，故有：故有：P(AB)P(A)P(B)当当 时，有时，有P(AB)P(A)P(B)0,0,则则 P(A)P(B)证明证明 因：因：A A+B=AB=A+(B-AB)+(B-AB)且且 A(B-AB)=A(
25、B-AB)=（即：即：A A与与B-ABB-AB互不相容），由互不相容），由性质性质2 2(有限可加性有限可加性)得：得：性质性质 加法公式加法公式 P(AP(A+B)B)P(A)P(A)P(B)P(B)P(AB)P(AB)一般的加法公式一般的加法公式:代入上式得：代入上式得：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(B-AB)=P(B)-P(AB)P(B-AB)=P(B)-P(AB)又因又因ABAB包含于包含于B B，由由性质性质4 4得：得：P(AP(A+B)=P(AB)=P(A+(B-AB)=P(A)+P(B-AB)+(B-AB)=P(A)+P(B-AB)推论：推论：当当A A与与
26、B B互不相容时互不相容时 P(AP(A+B)B)P(A)P(A)P(B)P(B)解：解：设设 A A表示表示“3 3个球中至少有个球中至少有2 2个白球个白球”例例1 1：（课本：（课本P20P20例例1)1)一袋内装有大小相同的一袋内装有大小相同的7 7个球，其中个球，其中4 4个白球，个白球，3 3个黑球。从中任取个黑球。从中任取3 3个，求至少有个，求至少有2 2个白球的概个白球的概率？率？A A1 1表示表示“3 3个球中正好有个球中正好有2 2个白球个白球”A A2 2表示表示“3 3个球中正好有个球中正好有3 3个白球个白球”解：解：设设 A A表示表示“至少有两件产品等级相同至
27、少有两件产品等级相同”例例2 2：（课本：（课本P21P21例例3)3)一批产品共一批产品共2020件，其中一等品件，其中一等品6 6件，件，二等品二等品1010件，三等品件，三等品4 4件。从中任取件。从中任取3 3件，求至少有两件产件，求至少有两件产品等级相同的概率？品等级相同的概率？表示表示“3 3件产品等级全不相同件产品等级全不相同”解：解：设设 A A表示第一部电话不占线，表示第一部电话不占线，B B表示第二部电话不表示第二部电话不占线。在一小时内至少有一部电话不占线表示为占线。在一小时内至少有一部电话不占线表示为例例3 3：（课本：（课本P38P38第第2222题题)有两部电话，在一小时内第一部有两部电话，在一小时内第一部电话占线的概率为电话占线的概率为0.60.6，第二部电话占线的概率为，第二部电话占线的概率为0.70.7，两，两部电话都不占线的概率为部电话都不占线的概率为0.20.2，求在一小时内至少有一部，求在一小时内至少有一部电话不占线的概率。电话不占线的概率。由性质由性质5得：得：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.2=0.5则则 P(AP(A）=0.4 P=0.4 P(B)=0.3 P(AB)=0.2(B)=0.3 P(AB)=0.2 A AB B