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1、概率与数理统计你现在浏览的是第一页，共20页 (1)随随机机变变量量的的分分布布虽虽然然全全面面完完整整地地反反映映了了随随机机变变量量的的概概率率性性质质，但有时却不够集中突出地反映随机变量的某些特征。但有时却不够集中突出地反映随机变量的某些特征。需要引进一些数量来表示需要引进一些数量来表示平均值平均值和衡量和衡量偏离程度偏离程度。研究随机变量的数字特征的必要性研究随机变量的数字特征的必要性随机变量的数字特征随机变量的数字特征(2)在许多实际问题中，随机变量的在许多实际问题中，随机变量的分布并不容易求出。分布并不容易求出。(3)在在许许多多实实际际问问题题中中，完完全全、确确切切地地掌掌握握
2、随随机机变变量量的的分分布布并并不必要，而只需知道它的某些特征就够了。不必要，而只需知道它的某些特征就够了。例例：在在测测量量某某零零件件的的长长度度时时，由由于于种种种种偶偶然然因因素素的的影影响响，测测量量到到的的零零件件的的长长度度是是一一个个随随机机变变量量，一一般般我我们们关关心心的的是是测测量量的的平平均均长长度度以及测量结果的以及测量结果的精确程度精确程度测量的长度与平均值的测量的长度与平均值的偏离程度。偏离程度。表示表示平均值平均值和衡量和衡量偏离程度偏离程度的量虽然不能完整地描述随机变量，的量虽然不能完整地描述随机变量，但它能够描述随机变量的某些重要但它能够描述随机变量的某些
3、重要特征特征，我们把其称为，我们把其称为随机变量的随机变量的数字特征数字特征。你现在浏览的是第二页，共20页解：直接比较，难知两射手技解：直接比较，难知两射手技术的优劣。故只能也只需找出术的优劣。故只能也只需找出更能集中、突出地描述两射手更能集中、突出地描述两射手技术水平的技术水平的数字特征数字特征。让我们先来研究概率论中刻划让我们先来研究概率论中刻划平均值平均值的数字特征。的数字特征。例：甲乙两人各射击例：甲乙两人各射击1000次，其命中环数的次数为随机变量，记为次，其命中环数的次数为随机变量，记为X1,X2。射击情况如表射击情况如表1所示。试问甲乙二人谁的水平较高？所示。试问甲乙二人谁的水
4、平较高？表表1 1 X1 525 200 50 100 75 50 X2 400 200 245 155 0 0环数环数x i 10 9 8 7 6 5不难计算出两射手命中目标的不难计算出两射手命中目标的“平均环数平均环数”分别为分别为从平均环数看，甲比乙水平高一点。从平均环数看，甲比乙水平高一点。频频率率以频率为权数的加权平均值你现在浏览的是第三页，共20页不难看出，由于频率的随机性，如果让甲乙二人再各射击不难看出，由于频率的随机性，如果让甲乙二人再各射击1000次次 同样计算，结果一般不会相同。同样计算，结果一般不会相同。若令若令fi表示频率，则上述二式可表示为表示频率，则上述二式可表示为
5、由概率的统计定义知道，在大量试验下频率由概率的统计定义知道，在大量试验下频率fi概率概率pi稳定于稳定于从而从而稳定于稳定于表表2 2P(X1=x i)0.526 0.2 0.05 0.1 0.074 0.05环数环数x i 10 9 8 7 6 5P(X2=x i)0.398 0.2 0.245 0.157 0 0 若若甲、乙的命中环数甲、乙的命中环数X1,X2 的的分布列如表分布列如表2 所示，所示，概概率率以概率为权数的加权平均值则则你现在浏览的是第四页，共20页第一节第一节数学期望数学期望（均值）（均值）离散型随机变量的数学期望就是其取值的离散型随机变量的数学期望就是其取值的加权平均加
6、权平均值，值，权为概率权为概率。一一离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定义定义：设离散型随机变量：设离散型随机变量X的概率函数为的概率函数为P(X=x i)=pi i=1,2,若级数若级数绝对收敛绝对收敛，则称，则称为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望简称简称期望期望或或均值均值。记作。记作E X，即即E X=如果级数如果级数 不绝对收敛，则称随机变量不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在的数学期望不存在 对要求绝对收敛的说明：对要求绝对收敛的说明：离散型随机变量的取值是可离散型随机变量的取值是可依某种次序一一列举的，对同一个随机变量，它的取值的列举依某种次序一一列举的
7、，对同一个随机变量，它的取值的列举次序可以有所不同，当改变列举次序时它的数学期望是不应该次序可以有所不同，当改变列举次序时它的数学期望是不应该改变的，这就意味着级数改变的，这就意味着级数 的求和次序可以改变而其和要的求和次序可以改变而其和要保持不变，要达到这一点，必须有保持不变，要达到这一点，必须有 绝对收敛。绝对收敛。注意注意数学期望的直观含义：平均值数学期望的直观含义：平均值你现在浏览的是第五页，共20页例：例：一批产品中有一、二、三等、四等品、废品一批产品中有一、二、三等、四等品、废品5种种,相应的概率分相应的概率分别为别为0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其产值分别为若其产
8、值分别为6元、元、5.4元、元、5元、元、4元、元、0 元。产值元。产值X是一个随机变量，其分布如表是一个随机变量，其分布如表3求：求：产品的平均产值。产品的平均产值。例例：设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率函数为的概率函数为解：解：EX=6 0.7+5.4 0.1+5 0.1+4 0.06+0 0.04=5.48(元元)解：解：0.040.060.10.10.7P0455.46X表表3求：求：EX 你现在浏览的是第六页，共20页记为记为设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为 ，若积分若积分绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分为为X的的数学期望数学期望。例例：计算在
9、区间：计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量X的数学期望的数学期望解：解：依题意依题意二二 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望结论：结论：在区间在区间a,b上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量X的数学期望的数学期望是区间中点是区间中点你现在浏览的是第七页，共20页例：例：设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为 的指数的指数分布，求分布，求X 的数学期望的数学期望则则解：解：指数指数分布分布的密度函数为的密度函数为这表明这表明指数指数分布分布的数学期望为的数学期望为 。例：例：设设 X 的密度函数为的密度函数为 求求 X 的数学期望。的数
10、学期望。解：解：你现在浏览的是第八页，共20页设随机变量设随机变量 X 服从柯西服从柯西(Cauchy)分布，其分布，其密度函数为密度函数为例：例：你现在浏览的是第九页，共20页定理定理3.13.1：设设Y=g(X)，g(x)是连续函数，那么是连续函数，那么(2)若若X为连续型随机变量，其为连续型随机变量，其密度函数为密度函数为f(x)，(1)若若X为离散型随机变量，其概率函数为为离散型随机变量，其概率函数为求 E Y 时，可以不求Y=g(X)的分布，而直接利用X 的分布。三三 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望你现在浏览的是第十页，共20页 解：解：例：例：设随机变量设随机变量X的
11、分布列为的分布列为求：求：EX2，E(2X-1)。P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3例：例：求：求：EY 解：解：你现在浏览的是第十一页，共20页定理定理3.23.2若若(X,Y,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，Z=Z=g(X,Y,Y)(1)若若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布为为二维离散型随机变量，其联合分布为(2)若若(X,Y)为二维连续型随机变量，联合密度函数为为二维连续型随机变量，联合密度函数为f(x,y)且且你现在浏览的是第十二页，共20页解：解：设设(X,Y)的联合密度为的联合密度为例：例：求：求：EXY设设(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布
12、为例：例：求：求：E(X+Y)XY 1 2 1 2 3 0.1 0.30.150.2 00.25 解：解：(1+1)x0.1+(1+2)x0.2+(1+3)x0+(2+1)x0.3+(2+2)x0.15+(2+3)x0.25=3.55你现在浏览的是第十三页，共20页性质性质1：常量的期望就是这个常量本身常量的期望就是这个常量本身,即即E(c)=c.证：证：常量常量c 可看作仅取一个值可看作仅取一个值c 的随机变量，且取值的随机变量，且取值c的概率为的概率为1，即，即X的分布为的分布为P(X=c)=1，这种分布称为这种分布称为退化分布退化分布，其数学期望为，其数学期望为E(c)=c 1=c推论推
13、论：E(EX)=EX性质性质2：随机变量随机变量X与常量与常量c 之和的数学期望等于之和的数学期望等于X的期望与这个常量的期望与这个常量c 的和的和E(X+c)=EX+c证：证：设设X的分布为的分布为pk（离散型）；密度函数为（离散型）；密度函数为f(x)（连续型），则（连续型），则四四数学期望的性质数学期望的性质你现在浏览的是第十四页，共20页性质性质3：常量常量c与随机变量与随机变量X的乘积的期望等于的乘积的期望等于 c与与X的期望的乘积，的期望的乘积，E(cX)=cEX 证：证：设设X的分布为的分布为pk（离散型）；密度函数为（离散型）；密度函数为f(x)（连续型）则（连续型）则性质性质
14、4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数，即的同一线性函数，即E(kX+c)=k EX+c证：证：E(kX+c)=E(kX)+c=kEX+c你现在浏览的是第十五页，共20页性质性质5：两个随机变量之两个随机变量之和（差）的数学期望和（差）的数学期望等于这两个随机变量等于这两个随机变量数学期望数学期望的和（差）的和（差）E(X Y)=EX EY推论：推论：对任意常数对任意常数ci(i=1,2,n)、常数、常数b及及随机变量随机变量Xi(i=1,2,n)特别地，特别地，n 个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值个随
15、机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值等于等于这这n 个随机变量期望的算术平均数。个随机变量期望的算术平均数。你现在浏览的是第十六页，共20页性质性质6：两个两个相互独立相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积积,即即E(XY)=EXEY证：证：离散型：设离散型：设(X,Y)的联合分布为的联合分布为pij，边缘分布为，边缘分布为 pi(1)和和 pj(2)连续型：设连续型：设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为f(x,y)，边缘密度函数分，边缘密度函数分别为别为 fX(x)和和 fY(y)，则则你现在浏览的是第十七页，共20页解
16、：解：EX=9 0.3+10 0.5+11 0.2=9.9 EY 2=62 0.4+72 0.6=43.8例：例：两两相互独立相互独立的随机变量的随机变量X,Y 的分布如下面两表所示。的分布如下面两表所示。0.20.50.3P11109X0.60.4P76Y求：求：E(X+Y )、E(XY )和和EY2且且因因X与与Y 相互独立，所以相互独立，所以E(XY)=EXE E Y=9.9 6.6=65.34则则E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5 EY =6 0.4+7 0.6=6.6设设(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为例：例：求：求：E(X+Y)XY 1 2 1 2 3 0
17、.1 0.30.150.2 00.25 解：解：0.250.350.4P321Y 0.70.3P21XEX=1 0.3+2 0.7=1.7EY=1 0.4+2 0.35+3 0.25=1.85E(X+Y)=EX+EY=1.7+1.85=3.55你现在浏览的是第十八页，共20页五五条件数学期望条件数学期望定义定义：设离散型随机变量：设离散型随机变量X,Y的联合概率函数为的联合概率函数为P(X=x i,Y=yj)=pi j i,j=1,2,在在Y=yj条件下条件下X的条件概率函数为的条件概率函数为P(X=x i|Y=yj)i=1,2,若级数若级数绝对收敛绝对收敛，则称，则称为随机变量为随机变量X的的条件条件数学期望数学期望定义定义：设二维连续型随机变量：设二维连续型随机变量X,Y，在在Y=y条件下条件下X的条件密的条件密度函数为度函数为f(x|y)若若绝对收敛绝对收敛，则称，则称为随机变量为随机变量X的的条件条件数学期望数学期望你现在浏览的是第十九页，共20页 解：解：例：例：设设Y=1Y=1条件下随机变量条件下随机变量X条件条件分布列为分布列为求：求：E(X|Y=1)P(X|Y=1)1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3你现在浏览的是第二十页，共20页