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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第一节第一节 随机变量随机变量第二节第二节 离散型随机的概率分布离散型随机的概率分布第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第四节第四节 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布第五节第五节 一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布习题习题第一节第一节随机变量随机变量在实际问题中，随机试验的结果可以用数量在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示来表示.在随机试验完成时在随机试验完成时,人们常常不是关心试验人们常常不是关心试验结果本身结果本身,而是对于试验结果联系着的某个而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣数感兴趣.将随机试验的
2、结果与实数对应起来将随机试验的结果与实数对应起来,即将随即将随机试验的结果数量化机试验的结果数量化,引入随机变量的概念引入随机变量的概念.定义定义 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为S=e.X=X(e)是定义在样本空间是定义在样本空间S上的实值单值函数上的实值单值函数.称称X=X(e)为为随机变量随机变量.Se1e2e3x如果随机试验的结果本身是一个数如果随机试验的结果本身是一个数,即样本即样本点点e本身是一个数本身是一个数.我们令我们令X=X(e)=e,则则X就是就是一个随机变量一个随机变量.例：用例：用Y记某车间一天的缺勤人数记某车间一天的缺勤人数,以以Z记某记某工厂一天的耗电量
3、工厂一天的耗电量.那么那么Y,Z 都是随机变量都是随机变量.后面，我们以大写字母如后面，我们以大写字母如X,Y,Z,W,.表示随机表示随机变量变量,而以小写字母而以小写字母x,y,z,w,.表示实数表示实数.随机变量的特点随机变量的特点随机变量是一个函数，自变量是？随机变量是一个函数，自变量是？随机变量取值的随机变量取值的随机性随机性：随机试验的结果，即，样本点随机试验的结果，即，样本点取值依随机试验的结果而定，在试验前只知道取值依随机试验的结果而定，在试验前只知道可能的取值范围，而不能预先确定。可能的取值范围，而不能预先确定。由于试验结果的出现具有一定的概率，于是由于试验结果的出现具有一定的
4、概率，于是随机变量随机变量取取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来以通过随机变量的关系式表达出来.引入随机变量的意义引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1X=0 如：如：Bk=n重重Bernoulli试验中事件试验中事件A发生发生k次次,k=0,1,n.随机
5、变量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律第二节第二节离散型随机变量的离散型随机变量的概率分布概率分布定义定义：随机变量随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限的所有可能取值是有限多个或可列无限多个多个,这种随机变量称为这种随机变量称为离散型随机变量离散型随机变量.例：例：抛三
6、次硬币得到正面的次数；抛三次硬币得到正面的次数；某城市的某城市的120急救电话台一昼夜收到的呼唤次数。急救电话台一昼夜收到的呼唤次数。反例：反例：某元件的寿命某元件的寿命T是是非离散型的随机变量非离散型的随机变量。设设X所有可能取的值为所有可能取的值为xk(k=1,2,.),称称PX=xk=pk,k=1,2,.(2.1)为为离散型随机变量离散型随机变量X的分布律的分布律。Xx1x2.xn.pkp1p2.pn.分布律也可用表格的形式来表示分布律也可用表格的形式来表示:由概率的定义由概率的定义,pk满足如下两个条件满足如下两个条件解解:依据分布律的性质依据分布律的性质 P(X=k)0,a0,从中解
7、得从中解得即即例例设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 k=0,1,2,试确定常数试确定常数a.例例 某口袋中有某口袋中有2个白球，个白球，3个红球，从中任取个红球，从中任取3个，个，用用X表示取到的白球个数，求表示取到的白球个数，求X的分布律。的分布律。解：解：X可能的取值为可能的取值为0,1,2，且，且X0 12P1/10 6/103/10则则X的分布律为：的分布律为：五个常见的离散型随机变量的分布五个常见的离散型随机变量的分布(一一)(0-1)分布分布 设随机变量设随机变量X只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它的分布律是它的分布律是P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1
8、(0p1),则称则称X服从以服从以p为参数的为参数的(0-1)分布或两点分布分布或两点分布.(0-1)分布的分布律也可写成分布的分布律也可写成X01pk1-pp对一个随机试验中的任何一个给定的事件对一个随机试验中的任何一个给定的事件A,0P(A)1,都可以根据事件都可以根据事件A定义一个服从定义一个服从0-1分分布的随机变量：布的随机变量：例：例：对新生婴儿的性别进行登记对新生婴儿的性别进行登记,男性记为男性记为“1”、女性记为女性记为“0”；检查产品的质量是否合格检查产品的质量是否合格,合格记为合格记为“1”、不、不合格记为合格记为“0”；某车间的电力消耗是否超过负荷，超过记为某车间的电力消
9、耗是否超过负荷，超过记为“1”、不超过记为、不超过记为“0”；称随机变量称随机变量X 服从服从参数为参数为n,N,M的超几何分布的超几何分布，记作，记作 XH(n,M,N)（二）超几何分布（二）超几何分布 在在N N 件产品中有件产品中有M M 件不合格品，从中任取件不合格品，从中任取n n 件检查，件检查，记，记X为取到的次品数，则为取到的次品数，则注：这种抽样等价于注：这种抽样等价于不放回抽样不放回抽样。用用X表示表示n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数发生的次数，则，则 易证易证 称随机变量称随机变量X 服从服从参数为参数为n和和p的二项分布的二项分布，记作，记作 XB(n
10、,p)注意：注意：当当n=1时，二项分布就是时，二项分布就是(0-1)分布。分布。（三）二项分布（三）二项分布 思考：若产品抽样中采取放回抽样，次品率为思考：若产品抽样中采取放回抽样，次品率为则次品数则次品数 XB(n,p).可以证明，当可以证明，当 为常数时，有为常数时，有即当即当N很大时，超几何分布近似于二项分布很大时，超几何分布近似于二项分布.例例 某类灯泡使用时数在某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏小时以后最多只有一个坏了的概率了的概率.解解:设设X为三个灯泡在使用为三个灯泡在使用1000小
11、时已小时已坏的灯泡数坏的灯泡数.X B(3,0.8)，PX 1=PX=0+PX=1=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104例例 某人进行射击某人进行射击,设每次射击命中率为设每次射击命中率为0.02,独独立射击立射击400次次,试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率.PX 2=1-PX=0-PX=1 =1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.解解:将一次射击看成是一次试验将一次射击看成是一次试验.设击中的次数设击中的次数为为X,则则XB(400,0.02).X的分布律为的分布律为例题说明：一个事件尽管在一次试验中发生的概例题说明：一个事件尽
12、管在一次试验中发生的概率很小，但只要独立进行很多次试验，这个事件率很小，但只要独立进行很多次试验，这个事件的发生几乎是肯定的。的发生几乎是肯定的。决不能轻视小概率事件！决不能轻视小概率事件！二项分布的性质二项分布的性质对固定的对固定的n和和p,当当k增大时，增大时，先增大，后减小先增大，后减小.如图，如图，B(20,0.3)Pn(k)性质：性质：设设XB(n,p)，则当，则当k=(n+1)p时，时，P(X=k)取得最大值取得最大值.证明：证明：故当故当kP(X=k-1),即即P(X=k)随随k增；增；当当k(n+1)p时，时，P(X=k)0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的
13、的 泊松分布泊松分布,记作记作X().性质：性质：设设X()，则当则当k=时，时，P(X=k)取得最大值取得最大值.例例 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？某种商品多少件？解解:设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为X,已知已知X服从参数服从参数=5的泊松分布的泊松分布.设商店在月底应进设商店在月底应进某种商
14、品某种商品m件件,求满足求满足P X m 0.95 的最小的的最小的m.进货数进货数销售数销售数查查 P.277 泊松分布表得泊松分布表得于是得于是得 m=9件。件。即即定理表明：定理表明：n比较大比较大,p很小时很小时,以以n,p为参数的为参数的二项分布的概率值可以由参数为二项分布的概率值可以由参数为l l=np的泊松分布的泊松分布的概率值近似。的概率值近似。泊泊松（松（Poisson）定理定理：设设l l 0是一常数是一常数,n是是任意正整数任意正整数,设设 ,则对于任一固定的非则对于任一固定的非负整数负整数k,有有（五）（五）几何分布几何分布设随机变量设随机变量X的所有可能取值为的所有可
15、能取值为，且，且其中其中0p1,则称则称X服从参数为服从参数为p的几何分布，的几何分布，记作记作XG(p).几何分布的分布律满足：几何分布的分布律满足：例例.某人向一目标进行射击，直到击中目标为止，某人向一目标进行射击，直到击中目标为止，已知每次击中的概率为已知每次击中的概率为0.3，试求射击次数不超过，试求射击次数不超过3的概率的概率.分析分析 设射击次数为设射击次数为X,则则XG(0.3).所求为所求为练习：练习：向某目标射击向某目标射击5发子弹，每次命中率均为发子弹，每次命中率均为p,且各次射击相互独立，以且各次射击相互独立，以 X 表示直至命中为止所需表示直至命中为止所需的射击次数，求
16、的射击次数，求 X 的分布律。的分布律。分析分析:X可能取值为可能取值为1,2,3,4,5.前四个取值与几何分布一致，当前四个取值与几何分布一致，当k=5时，可中，也可不中，故时，可中，也可不中，故从而，从而，X的分布律为的分布律为XP12345p(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4第三节第三节随机变量的分布函数随机变量的分布函数为什么要引入分布函数？为什么要引入分布函数？非离散型随机变量的可能取值不能一个一个地非离散型随机变量的可能取值不能一个一个地列举出来，无法使用分布律来描述列举出来，无法使用分布律来描述通常非离散型随机变量取任一指定的实数值的通常非离散型随机变量取任一指
17、定的实数值的概率都等于概率都等于0对非离散型随机变量，我们关心的是随机变量对非离散型随机变量，我们关心的是随机变量所取的值落在一个区间的概率：所取的值落在一个区间的概率：Px1X x2.分布函数的定义分布函数的定义 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 内的内的概率概率.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量，称称 为为 X 的的分布函数分布函数,记作记作 F(x).(1)在分布函数的定义中在分布函数的定义中,X是随机变量是随机变量,x是参变量是参变量.(2)F(x)是随机变量是随机变量X取
18、值不大于取值不大于 x 的概率的概率.(3)对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间随机点落在区间(x1,x2 内内的概率为：的概率为：P x1X x2 因此，分布函数完整地描述了随机变量的统计因此，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。规律性。=P X x2 -P X x1=F(x2)-F(x1)注意注意:(4)分布函数是一个普通的函数，方便研究分布函数是一个普通的函数，方便研究 分布函数的性质分布函数的性质(2)(4)F(x)右连续，即右连续，即(3)(1)当当 x0 时时，X x =，故故 F(x)=0例例设设 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为 当当 0 x 1 时时
19、，F(x)=PX x=P(X=0)=F(x)=P(X x)解解X求求 X 的分布函数的分布函数 F(x).当当 1 x 2 时时，F(x)=PX=0+PX=1=+=当当 x 2 时时，F(x)=PX=0+PX=1+PX=2=1故故图像表示图像表示 落差为概率落差为概率概率计算概率计算 教材教材P42一般地，设离散型随机变量一般地，设离散型随机变量 X 的分布律是的分布律是 P X=xk =pk ,k=1,2,N F(x)=P(X x)=则其分布函数为则其分布函数为 第四节第四节连续型随机变量连续型随机变量及其分布及其分布例例 设随机变量设随机变量X在区间在区间0,2上取值，当上取值，当 时，时
20、，成正比，求成正比，求X的分布函数的分布函数F(x).分析分析当当x2时，时，F(x)=1;当当 时，时，由由F(2)处的右连续性得处的右连续性得则称则称 X为为连续型随机变量连续型随机变量,称称 f(x)为为 X 的的概率密概率密度度函数函数，简称为，简称为概率密度概率密度.一、一、连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义 有有,使得对任意使得对任意实数实数 ,对于随机变量对于随机变量 X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f(x),连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续二、概率密度的性质二、概率密度的性质 1o2o对于任意实数对于
21、任意实数 x1,x2,(x1 0,试求：试求：（1）常数）常数A,B;（2）（3）X的概率密度的概率密度 f(x).1.均匀分布均匀分布 则称则称X在区间在区间(a,b)上服从上服从均匀分布，均匀分布，记作记作 X U(a,b)三、三种重要的连续型随机变量三、三种重要的连续型随机变量 若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为 例例2 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班分钟来一班车，即车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的
22、之间的均匀随机变量均匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解：解：依题意，依题意，X U(0,30)以以7:00为起点为起点0，以分为单位，以分为单位 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为所求概率为 即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.2.指数分布指数分布 若随机变量若随机变量X具有概率密度具有概率密度 为常数为常数,则称则称 X 服从服从参数为参数为 的指数分布的指数分布.其分
23、布函数为其分布函数为“寿命寿命”，“通话时间等通话时间等”f(x)的图形的图形Oxf(x)123123=3=1=1/2如如X 服从指数分布服从指数分布,则任给则任给s,t 0,有有 PXs+t|X s=PX t()事实上事实上性质性质()称为称为无记忆性无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.3.正态分布正态分布 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的的概率密度为概率密度为 记作记作其中其中 和和 (0)都是常数都是常数,则称则称X服从服从参数为参数为 和和 的正态分布的正态分布或或高斯分布高斯分布.称由称由f(x)确定的曲线为正态曲线
24、。确定的曲线为正态曲线。Omxf(x)曲线曲线 关于关于 对称；对称；函数函数 在在 上单调增加上单调增加,在在 上上单调减少单调减少,在在 取得最大值；取得最大值；x=为为 f(x)的两个拐点的横坐标；的两个拐点的横坐标；当当x 时，时，f(x)0.f(x)以以 x 轴为渐近线轴为渐近线Omm1xf(x)s=5s=5 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置0.2660.3990.798mxOf(x)s=1.5s=1s=0.5 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 决定了图形中峰的陡峭程度决定了图形中峰的陡峭程度.设设 X ,X 的分布函数是的分布函
25、数是 正态分布正态分布 的分布函数的分布函数 1F(x)0.5xOm的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：标准正态分布标准正态分布 标准正态分布表标准正态分布表定理定理证证Z Z 的分布函数为的分布函数为 则有则有 正态分布与标准正态分布的正态分布与标准正态分布的分布函数之间的关系分布函数之间的关系可以认为，可以认为，X 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在 区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”.时，时，3 3 准则准则m-3sm-2sm-sm+sm+2sm+3s68.26%9
26、5.44%99.74%3 3 准则图示准则图示例例 设随机变量设随机变量 试求试求解解 P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，我们需要求满足上式的最小的我们需要求满足上式的最小的h.例例3 3 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在头碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求 因为因为 XN(170,62),),故故 P(X0.99因而因而 =2.33,即即 h=170+13.98 184所以所以
27、 .第五节第五节一维随机变量一维随机变量函数的分布函数的分布在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣.我们所关心的随机变量往往不能由直接测量得到我们所关心的随机变量往往不能由直接测量得到,而而它却是某个能直接测量的随机变量的函数它却是某个能直接测量的随机变量的函数.例如：我们能测量圆轴的直径例如：我们能测量圆轴的直径d,而关心的却是截面积而关心的却是截面积A=p pd2/4.这里这里,随机变量随机变量A是随机变量是随机变量d的函数的函数.一、为什么要研究随机变量的函数的分布？一、为什么要研究随机变量的函数的分布？设随机变量设随机变量 X 的分布已知的分布
28、已知，Y=g(X)(设设g 是连续函是连续函数），我们数），我们利用利用 X 的分布来求的分布来求 Y 的的分布分布 二、离散型随机变量二、离散型随机变量函数的分布函数的分布 例例1 设随机变量设随机变量X具有以下的分布律具有以下的分布律,试求试求Y=(X-1)2的分布律的分布律.X-1012P0.20.30.10.4解解 Y 所有可能值为所有可能值为0,1,4,由由PY=0=P(X-1)2=0=PX=1=0.1,PY=1=PX=0+PX=2=0.7,PY=4=PX=-=-1=0.2,Y014P0.10.70.2注：注：不是一一对应，是找不是一一对应，是找等价事件等价事件。例例.设随机变量设随
29、机变量X的分布律为的分布律为试求试求分析分析Y的可能取值为的可能取值为1,0，-1，且，且故故Y10-1P三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 对对连续连续性随机变量性随机变量X，一般通过，一般通过密度函数密度函数fX(x)或或分布函数分布函数FX(x)来刻画其概率分布。来刻画其概率分布。如何求如何求Y=g(X)的概率密度的概率密度fY(y)呢？呢？一般步骤：一般步骤：（1）先利用）先利用X的分布求出的分布求出Y的分布函数的分布函数FY(y);（2）利用）利用Y的分布函数的分布函数FY(y)求其概率密度求其概率密度fY(y)，即，即例例 设随机变量设随机变量X具有概率密度具
30、有概率密度 求变量求变量Y=2X+8的概率密度的概率密度.解解 分别记分别记X,Y的分布函数为的分布函数为FX(x),FY(y).下面先下面先来求来求FY(y).将将FY(y)关于关于y求导数求导数,得得Y=2X+8的概率密度为的概率密度为 例例3 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 fX(x),-x0时时有有将将FY(y)关于关于y求导数求导数,即得即得Y的概率密度为的概率密度为例如例如:设设XN(0,1),其概率密度为其概率密度为 则则Y=X 2的概率密度为的概率密度为 此时称此时称Y服从服从自由度为自由度为1的的c c2分布分布.从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到
31、，在求P(Yy)的过程中，的过程中，关键的一步是设法从关键的一步是设法从 g(X)y 中解出中解出X,从而得到与从而得到与 g(X)y 等价的等价的X 的不等式的不等式.例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 用用 代替代替 X2 y 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出的分布，从而求出相应的概率相应的概率.这是求随机变量的函数的分布的一种常用方法这是求随机变量的函数的分布的一种常用方法.定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x),-x0(或恒有或恒有g(x)0.此时此时g(x)在在(-,)严格单调增加严格单调增加,它的反函数它的反函数
32、 h(y)存在存在,且在且在(a a,b b)严格单调增加严格单调增加,可可导导.分别记分别记 X,Y 的分布函数为的分布函数为FX(x),FY(y).因因Y 在在(a a,b b)取值取值,故故当当y a a 时时,FY(y)=PY y=0;当当y b b 时时,FY(y)=PY y=1.当当a ayb b 时时,FY(y)=P Y y=P g(X)y =P X h(y)=FX h(y).将将FY(y)关于关于y求导数求导数,即得即得Y 的概率密度的概率密度对于对于g(x)0(或恒有或恒有g(x)0),上述定理上述定理依然成立依然成立,但此时有但此时有 a a=min g(a),g(b),b
33、 b=max g(a),g(b).例例4 设随机变量设随机变量XN(m m,s s2).试证明试证明X 的线性函数的线性函数Y=aX+b(a 0)也服从正态分布也服从正态分布.现在现在y=g(x)=ax+b,由这一式子解得由这一式子解得 由定理得由定理得Y=aX+b的概率密度为的概率密度为 证证 X的概率密度为的概率密度为 即有即有 Y=a X+b N(a m m+b,(as s)2).例例5 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求 Y=sinX 的的概率密度概率密度.当当 y 0 时时,当当 y 1时时,当当时时故故解解注意到注意到,当当 0 y 1 时时,=P0=2,B=X1,求求