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1、3.2.23.2.2奇偶性奇偶性第三章第三章0 xy123-1-2-31234560 xy123-1-2-3123456思考思考1 1 观察下面两个函数图象，它们有什么共同特征？结论结论1 1：这两个函数的图象都关于y轴对称.y=x2y=|x|不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况：可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等思考：类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于 轴对称”这一特征吗？.-3-2-10123.9410149.-101210-1.例如，对于函数 ，有:实际上，都有 这时称函数 为偶函数.一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域
2、内任意一个的定义域内任意一个x,都有都有f(-x)=f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.偶函数偶函数偶函数的图象偶函数的图象关于关于y轴对称轴对称.偶函数的定义域偶函数的定义域关于关于原点原点对称对称.Oa-ab-b 思考思考:定义中定义中“任意一个任意一个x,都有都有f(-(-x)=)=f(x)成立成立”说明了什么？说明了什么？f(-(-x)与与f(x)都有意义都有意义，说明说明-x、x必须同时属于定义域必须同时属于定义域，思考思考3 3 观察下面两个函数图象，它们有什么共同特征？结论结论2 2：这两个函数的图象都关于原点对称.-30 xy123-1-2-1123-2
3、-30 xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x可以发现，当自变量取一对相反数时，相应函数值也是一对相反数 观察函数 和 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精准地描述这一特征吗？.-3-2-10123.-3-2-10123.1.可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.为了用符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，看相应函数值的情况。奇函数的定义：奇函数的定义：奇函数要满足奇函数要满足：、定义域关于原点对称、定义域关于原点对称奇函数图象特征：奇函数图象特征：奇函数的奇函数的图象关于图象关于原点原点对称对称，反之，一个函数的，反之，一个函数的图
4、象关于图象关于原点原点对称，那么它是奇函数对称，那么它是奇函数 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一任意一个个x，都有，都有 ，那么函数，那么函数f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数例例1：判断下列函数的奇偶性：解：（1）函数f(x)=x4的定义域是R.因为对于任意的xR，都有f(-x)=(x)4=x4=f(x),所以函数f(x)=x4是偶函数。（2）函数f(x)=x5的定义域是R.因为对于任意的xR，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x5是奇函数。例例1：判断下列函数的奇偶性：解：（3）函数 的定义域是 .因为对于任意的 ，都
5、有 ,所以函数 是奇函数。（4）函数 的定义域是 .因为对于任意的 ，都有 ,所以函数 是奇函数。根据定义判断函数的奇偶性的步骤：(3)、根据定义下结论判断函数的奇偶性的方法：判断函数的奇偶性的方法：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立；图象法、定义法图象法、定义法例2 利用函数的奇偶性求解析式 已知f(x)是奇函数，且x0时,f(x)=x2+x+1，求当x0时，f(x)的解析式.解：当x0,又 f(x)是奇函数 f(x)=-f(-x)=-(-x)2+(-x)+1=-x2+x-1即当x0时，f(x)=-x2+x-1变式1
6、求f(x)的解析式.变式2 若f(x)是偶函数，求当x0时，f(x)的解析式.课堂小结课堂小结偶函数奇函数定义图象定义域一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x,都都有有f(-x)=f(x),一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一个个x,都有都有f(-x)=-f(x),关于关于y轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称关于原点对称关于原点对称用定义法判断函数的奇偶性的步骤：用定义法判断函数的奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定确定f(-x)和和f(x)的关系；的关系；作出相应结论。作出相应结论。