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1、主讲人：南方科技大学附属主讲人：南方科技大学附属中学中学 何宣霖何宣霖3.2.2 3.2.2 函数的奇偶性函数的奇偶性 如果一个图形沿某条直线对折，对折的两如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形这条直线叫做这个图形的对称轴对称图形这条直线叫做这个图形的对称轴轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形在同一平面内，一个图形绕某一个点旋转在同一平面内，一个图形绕某一个点旋转180180，如果旋转前、后的图形相互重合，那，如果旋转前、后的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它么这个图形叫做中心对称图
2、形，这个点叫做它的对称中心的对称中心.中心对称图形中心对称图形中心对称图形中心对称图形平面直角坐标系中任一点平面直角坐标系中任一点A(a,b)A(a,b)关于关于x x轴，轴，y y轴，坐标原点的轴，坐标原点的对称点的坐标分别为对称点的坐标分别为B(a,-b)B(a,-b)，C(-a,b)C(-a,b)，D(-a,-b).D(-a,-b).坐标点的对称性坐标点的对称性坐标点的对称性坐标点的对称性函数图象的对称性函数图象的对称性函数图象的对称性函数图象的对称性函数图象的对称性函数图象的对称性函数图象的对称性函数图象的对称性偶函数偶函数偶函数偶函数y轴偶函数偶函数偶函数偶函数实际上，若画出此函数图
3、象实际上，若画出此函数图象(如下图如下图)，则图象不关于，则图象不关于y y轴对称，所以不是偶函数轴对称，所以不是偶函数.奇奇奇奇函数函数函数函数奇奇奇奇函数函数函数函数奇奇奇奇函数函数函数函数原点奇奇奇奇函数函数函数函数实际上，若画出此函数图象实际上，若画出此函数图象(如下图如下图)，则图象不关于原点对称，所以不是奇函数，则图象不关于原点对称，所以不是奇函数.函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断解:(3)函数f(x)=x+1的定义域为实数集R,关于原点对称.因为f(-x)=-x+1=-(x-1),-f(x)=-(x+1),所以f(-x)-f(x),f(-x)f(x
4、),所以函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数.(4)因为函数的定义域不关于原点对称,即存在-4-4,4),而4-4,4),所以函数f(x)=x3+3x,x-4,4)既不是奇函数也不是偶函数.(5)函数的定义域关于原点对称.因为f(-x)=f(x)=-f(x)=0,所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断BABCD解析选项A中的图像不关于原点或y轴对称,故排除;选项C,D中的图像对应的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图像关于y轴对称,其对应的函数是偶函数.故选B.例4下列图像表示的函数中具有奇偶性的
5、是()函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断偶函数偶函数奇函数奇函数定义定义一般地一般地,设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果如果x xI,I,都有都有-x-xI,I,且且,那那么函数么函数f(x)f(x)就叫作偶函数就叫作偶函数.一般地一般地,设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果如果x xI,I,都有都有-x-xI,I,且且,那那么函数么函数f(x)f(x)就叫作奇函数就叫作奇函数.定义域定义域 关于关于对称对称 f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)原点小结小结小结小结图像特征图像特征 关于关于对称对称 关于关于
6、对称对称 y轴原点小结小结小结小结小结小结小结小结思考：思考：给出一个函数的解析式给出一个函数的解析式,如何判断函数的奇偶性如何判断函数的奇偶性?【作业1】判断下列函数的奇偶性:课后作业课后作业课后作业课后作业【作业2】判断下列函数的奇偶性:课后作业课后作业课后作业课后作业【作业3】用函数奇偶性的定义证明奇函数和偶函数的如下运算性质：设f(x),g(x)的定义域分别是I1,I2,在它们的公共定义域上,一般具有下列结论:f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)fg(x)偶函数 偶函数 偶函数偶函数 偶函数 偶函数偶函数 奇函数不能确定不能确定奇函数 偶函数奇函数 偶函数不能确定不能确定奇函数 偶函数奇函数 奇函数 奇函数奇函数 偶函数 奇函数注意:fg(x)中,g(x)的值域是f(x)的定义域的子集.课后作业课后作业课后作业课后作业【作业4】阅读人教版2019A版必修一课本第85页，思考如下问题：课后作业课后作业课后作业课后作业