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1、3.2.2 奇偶性第三章函数的概念与性质学习目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握偶函数的图象关于y轴对称、奇函数的图象关于原点对称的特性.3.掌握奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性、偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性的特性.重点：函数奇偶性的含义，判断函数的奇偶性.难点：函数奇偶性的应用.1.偶函数和奇函数 名师点拨名师点拨1.奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数;因为f(-x)与f(x)有意义,所以-x与x同时属于定义域,即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称.2.函数f(x)是偶函数对定义域内任意一个x,有f(-x)-f(x)=
2、0f(x)的图象关于y轴对称.3.函数f(x)是奇函数对定义域内任意一个x,有f(-x)+f(x)=0f(x)的图象关于原点对称.【做一做1-1】若函数y=f(x),x-1,a(a-1)是奇函数,则a等于()A.-1 B.0 C.1 D.无法确定 答案:C【做一做1-2】下列函数是偶函数的是()A.y=2x B.y=2x2+3解析:由偶函数的定义知,y=2x2+3是偶函数.答案:B2.奇偶性 归纳总结归纳总结基本函数的奇偶性如下:【做一做2-1】下列图象表示的函数中,具有奇偶性的是()解析:图象关于原点对称时,函数为奇函数;图象关于y轴对称时,函数为偶函数.从而判断选项B正确.答案:B【做一做
3、2-2】若函数f(x)=x2-2mx+4是偶函数,则实数m=.答案:0剖析剖析理解函数的奇偶性函数f(x)的奇偶性的定义是用f(-x)=f(x)来刻画函数f(x)的图象的特征(图象关于原点或y轴对称)的;函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的局部性质,而奇偶性是函数的整体性质.只有对函数f(x)的定义域内的每一个值x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),才能说f(x)为偶函数或奇函数;定义中要求“对于函数f(x)的定义域内任意一个自变量x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”成立,其前提为f(-x)
4、和f(x)都有意义,所以-x也属于f(x)的定义域,即自变量x的取值范围要关于原点对称,于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集,这是函数存在奇偶性的前提.例如将函数f(x)=x2+1,f(x)=x的定义域分别限定为(0,+)与(-3,3,则它们都为非奇非偶函数;函数奇偶性的定义中的等式f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)是其定义域上的恒等式,而不是对部分x成立.尽管当|x|1时,都有f(-x)=f(x),但当|x|1时,f(-x)f(x),所以它不是偶函数.常考题型一、判断函数的奇偶性1.已知函数解析式判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的四种常用方法1.定义法：利用定义判断函数
5、奇偶性的步骤注意：（1）若有些函数解析式较复杂，可在定义域的基础上化简，然后判断；（2）判断含参函数的奇偶性时，注意对参数进行分类讨论，2.图象法4.反例法:判断一个定义域关于原点对称的函数不具有奇偶性，只要举出反例使f（-x）f（x）即可.C2.判断下列函数的奇偶性:分析:先求出定义域,再判断f(-x)与f(x)的关系.解:(1)因为函数的定义域为x|x-1,不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)因为函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)因为函数的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是偶
6、函数.2.判断分段函数的奇偶性例2判断函数f（x）的奇偶性.分段函数奇偶性的判断方法1.定义法：用定义法来判断分段函数的奇偶性时，必须验证在每一段内都有f（-x）-f（x）（或f（x）成立，而不能只验证某一段；这里要特别注意x与-x的范围，然后代入相应的解析式中，f（x）与f（-x）对应不同的解析式，将它们的结果按奇偶性的定义进行比较.2.图象法：用图象法则可减少较复杂的运算，特别是对于选择题、填空题，使用图象法解答较方便.D3.判断抽象函数的奇偶性例3已知函数f（x）不恒为0，xR，若对于任意实数x1，x2，都有f（x1+x2）+f（x1-x2）2f（x1）f（x2）.求证：f（x）为偶函数
7、.【证明】令x10，x2x，则f（x）+f（-x）2f（0）f（x）.又令x1x，x20，则f（x）+f（x）2f（x）f（0）.由-，得f（-x）f（x），f（x）是偶函数.判断抽象函数的奇偶性的方法判断抽象函数f（x）的奇偶性时，因为f（x）无具体的解析式，所以首先要充分利用给定的条件，对变量进行赋值，使其变为含有f（x），f（-x）的式子，再利用奇、偶函数的定义加以判断.至于如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值-1，0或1来达到解题目的.ABCD二、奇偶函数的图象特征及应用例42020海南高一检测一个偶函数定义在区间-7，7上，它在0，7上的图象如图所示，下列说法正确的是（）A
8、.这个函数仅有一个单调增区间B.这个函数在其定义域内的最大值是7C.这个函数有两个单调减区间D.这个函数在其定义域内的最小值是-2【解析】根据题意得到这个函数的图象如图所示.由图象可知，这个函数有三个单调增区间，有三个单调减区间；这个函数在其定义域内的最大值是7，最小值不是-2.故选B.【答案】B奇偶函数的图象特征及应用1.偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.2.函数奇偶性体现到图象上是图象的对称性，因此当问题涉及奇函数或偶函数时，不妨利用图象的对称性解决，或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律等.3.解决奇、偶函数的图象问题，一般需借助奇、偶函数图象的对称性，由y轴一
9、侧的图象可画出另一侧的图象，有了图象，我们可直观地研究函数的性质.ABCD2.若函数yf（x）是奇函数，且函数F（x）af（x）+bx+2在（0，+）上有最大值8，则函数yF（x）在（-，0）上有（）A.最大值-8B.最小值-8C.最小值-6D.最小值-4AD（-2，-1）（0，1）（2，3）三、函数的奇偶性的应用1.利用函数的奇偶性求函数值例52020江西省高安中学高一检测已知函数f（x）ax5-bx3+cx-5，且f（-3）7，则f（3）的值为（）A.-17B.-7C.17D.7【解析】构造函数F（x）f（x）+5ax5-bx3+cx，易知F（-x）-F（x），所以F（x）为奇函数，故F（
10、3）+F（-3）0，即f（3）+5+f（-3）+50，而f（-3）7，所以f（3）-17.故选A.【答案】A利用函数的奇偶性求函数值的方法1.未知的值不在已知的范围内，可利用奇偶性将未知的值或区间转化为已知的值或区间；2.有些函数虽然是非奇非偶函数，但观察解析式可以发现其间存在奇偶性的解析式，所以可将非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数，从而间接地求值.D【答案】利用奇偶性求函数解析式的方法已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法的一般步骤如下：1.“求谁设谁”，即求函数在哪个区间内的解析式，x就设在哪个区间内；2.将所设区间的x转化到已知区间，代入已知区间的函
11、数解析式；3.利用f（x）的奇偶性写出-f（x）或f（x），从而解出f（x）.（）2.已知f(x)是R上的偶函数,当x(0,+)时,f(x)=x2+x-1,求当x(-,0)时,f(x)的解析式.解:设x0.f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1.函数f(x)是偶函数,f(-x)=f(x).当x(-,0)时,f(x)=x2-x-1.【答案】A利用函数的奇偶性求参数值的策略1.一般化策略：当函数f（x）的解析式中含有参数时，根据函数奇偶性的定义列出等式f（-x）-f（x）或f（-x）f（x），由等式求出参数的值.2.特殊化策略：由特殊值或由函数的性质直接分析求解参数的值.如本题中由选项
12、可知a2，故函数f（x）在x2处均有定义，故可根据f（-2）-f（2）求解.B四、函数的性质的综合应用1.奇偶性与对称性的综合【答案】B函数图象对称性的常用结论f（x）在定义域内满足条件f（x）图象的对称轴（中心）f（a+x）f（a-x）直线xaf（a+x）f（b-x）f（a+x）+f（a-x）0点（a，0）f（a+x）+f（b-x）0f（a+x）+f（a-x）2b点（a，b）f（x）+f（a-x）bf（a+x）+f（b-x）c奇偶函数的单调性及应用1.（1）奇函数在关于原点对称的两个区间a，b和-b，-a上的单调性相同.（2）偶函数在关于原点对称的两个区间a，b和-b，-a上的单调性相反.上
13、述结论可概括为“奇同偶异”.2奇偶性与单调性综合的两种题型:（1）比较大小问题；（2）抽象不等式问题.DC【答案】A利用奇偶函数的单调性解抽象不等式的一般步骤1.将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；2.利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式（组）的问题.【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如f（1）0，f（x-1）0，则f（x-1）f（c）（a0）型不等式的解法f（x）奇偶性f（x）单调性转化不等式奇函数在定义域上单调递增ax+bc在定义域上单调递减ax+b|c|在对称区
14、间上左增右减|ax+b|c|简言之一句话，将函数值不等式问题转化为自变量不等式问题.2.2020重庆一中高一检测已知定义域为R的函数f（x）在1，+）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）1，则不等式f（2x+1）1的解集为（）A.（-1，1）B.（-1，+）C.（-，1）D.（-，-1）（1，+）3.2019广西钦州高一期末已知偶函数yf（x）在区间（0，+）上单调递增，且图象经过点（-1，0）和（3，5），则当x-3，-1时，函数yf（x）的值域是（）A.0，5B.-1，5C.1，3D.3，5CAA3.已知奇偶性与单调性比较函数值的大小例10已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x
15、-4）-f（x），且在区间0，2上单调递增，则（）A.f（-1）f（3）f（4）B.f（4）f（3）f（-1）C.f（3）f（4）f（-1）D.f（-1）f（4）f（0），即f（1）0，所以f（-1）-f（1）0.综上可得，f（-1）f（4）f（3）.【答案】D利用奇偶函数的单调性比较大小的一般步骤1.先利用奇偶性和已知条件，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值.2.利用函数的单调性比较大小.【解析】由函数yf（x）的图象关于直线x2对称，得f（2-x）f（2+x），即f（-x）f（4+x）.又yf（x）为奇函数，所以f（x）-f（-x），所以-
16、f（x）f（4+x），所以f（x+8）-f（x+4）f（x），所以函数的周期为8.故f（2018）+f（2019）f（2）+f（3）f（2）+f（1）4037.【答案】C【拓展】函数f（x）f（x+T）（或f（x+a）f（x-b），其中a+bT），则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期.函数的周期性的常用结论若f（x）f（x+a），则周期T|a|；若f（x）-f（x+a），则周期T2|a|；若f（x+a）f（x+b），则周期T|a-b|；若f（x+a）为偶函数，则周期T2|a|.1小结二个二个知识点知识点：1.偶函数和奇函数；2.奇偶性.四四种种题型题型：1.判断函数的奇偶性；2.奇(偶)函数的图象问题；3.利用函数的奇偶性求参数；4.利用函数的奇偶性求函数的解析式.