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1、无穷级数的重排1第1页，本讲稿共27页 众所周知，条件收敛级数各项的先后众所周知，条件收敛级数各项的先后次序重新排列后，级数的和及收敛性都可次序重新排列后，级数的和及收敛性都可能改变。能改变。简单地说：简单地说：条件收敛级数不满足交条件收敛级数不满足交换律换律。本课件利用数学软件本课件利用数学软件Maple来求交错来求交错调和级数经过重排后的一些级数的和。调和级数经过重排后的一些级数的和。2第2页，本讲稿共27页先来看级数先来看级数绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛的区别的区别3第3页，本讲稿共27页绝对收敛与条件收敛有何区别？绝对收敛与条件收敛有何区别？定理定理 9绝对收敛级数可以任意重排
2、，其和不变。绝对收敛级数可以任意重排，其和不变。（绝对收敛级数的交换律）（绝对收敛级数的交换律）绝对收敛级数的收敛是绝对收敛级数的收敛是绝对的绝对的（Absolutely），），它的收敛性及其和都不会因为改变级数各项的位它的收敛性及其和都不会因为改变级数各项的位置而产生任何变化。置而产生任何变化。4第4页，本讲稿共27页 条件收敛级数不满足交换律条件收敛级数不满足交换律 条件收敛级数的收敛性及其和都与级数中各条件收敛级数的收敛性及其和都与级数中各项的位置有关。项的位置有关。因此因此条件收敛条件收敛级数的收敛性及其和是有级数的收敛性及其和是有条条件的件的（conditionally）：不能打乱原
3、级数的各项之间的先后次序，不能打乱原级数的各项之间的先后次序，否则可能会改变级数的和，甚至改变其收敛性。否则可能会改变级数的和，甚至改变其收敛性。当然，只改变有限项的位置，不会对级数当然，只改变有限项的位置，不会对级数造成任何变化。造成任何变化。5第5页，本讲稿共27页例如例如是条件收敛级数是条件收敛级数 在以上顺序下（在以上顺序下（一正一正一负一负），级数收敛，和），级数收敛，和为为 ln2。现在，我们按照现在，我们按照“一正一正二负二负”重新排列各重新排列各项的顺序，得一新的级数：项的顺序，得一新的级数：6第6页，本讲稿共27页收敛级数可以加括号收敛级数可以加括号还是那些数相加，但结果减少
4、一半！还是那些数相加，但结果减少一半！级数性质级数性质7第7页，本讲稿共27页 数学家数学家黎曼黎曼证明了一个更令人吃惊的结论：证明了一个更令人吃惊的结论：条件收敛级数的各项重排后，级数可以收条件收敛级数的各项重排后，级数可以收敛于任何一个实数，也可以使其发散！敛于任何一个实数，也可以使其发散！黎曼黎曼 Riemann德国数学家德国数学家 1826-18668第8页，本讲稿共27页交错调和级数交错调和级数的重排的重排级数的计算由数学软件级数的计算由数学软件Maple完成完成9第9页，本讲稿共27页实验表明：若将交错调和级数实验表明：若将交错调和级数负项（正项）提前，就可以使级数的和减负项（正项
5、）提前，就可以使级数的和减小（增大）。小（增大）。10第10页，本讲稿共27页先看一正先看一正m负的情形负的情形11第11页，本讲稿共27页一正一负一正一负：a:=n-1/(2*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);12第12页，本讲稿共27页一正二负一正二负：a:=n-1/(2*n-1)-1/(4*n-2)-1/(4*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);13第13页，本讲稿共27页一正三负一正三负：a:=n-1/(2
6、*n-1)-1/(6*n-4)-1/(6*n-2)-1/(6*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);14第14页，本讲稿共27页一正四负一正四负：a:=n-1/(2*n-1)-1/(8*n-6)-1/(8*n-4)-1/(8*n-2)-1/(8*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);15第15页，本讲稿共27页一正五负一正五负：a:=n-1/(2*n-1)-1/(10*n-8)-1/(10*n-6)-1/(10*n-4)-1/(10*n-2)-1/(10*n
7、);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);16第16页，本讲稿共27页一正一正m负负：m:=8:a:=n-1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0.m-1);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity):evalf(%);即即17第17页，本讲稿共27页一正八负一正八负：m=8m:=8:a:=n-1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0.m-1);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity
8、);evalf(%);18第18页，本讲稿共27页一正一正15负负：m=15m:=15:a:=n-1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0.m-1);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity):evalf(%);19第19页，本讲稿共27页再看再看m正一负的情形正一负的情形20第20页，本讲稿共27页二正一负二正一负：a:=n-1/(4*n-3)+1/(4*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);21第21页，本讲稿共27页三正一
9、负三正一负：a:=n-1/(6*n-5)+1/(6*n-3)+1/(6*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);22第22页，本讲稿共27页四正一负四正一负：a:=n-1/(8*n-7)+1/(8*n-5)+1/(8*n-3)+1/(8*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);23第23页，本讲稿共27页m正一负正一负：m:=8:a:=n-sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0.m-1)-1/(2
10、*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);24第24页，本讲稿共27页8正一负正一负：m:=8:a:=n-sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0.m-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);25第25页，本讲稿共27页15正一负正一负：m:=15:a:=n-sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0.m-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);26第26页，本讲稿共27页更多的学习资料见：更多的学习资料见：http:/ 27第27页，本讲稿共27页