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1、http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 1 众所周知，条件收敛级数各项的众所周知，条件收敛级数各项的先后次序重新排列后，级数的和及收先后次序重新排列后，级数的和及收敛性都可能改变。敛性都可能改变。 简单地说：简单地说：条件收敛级数不满足条件收敛级数不满足交换律交换律。 本课件利用数学软件本课件利用数学软件Maple来求来求交错调和级数经过重排后的一些级数交错调和级数经过重排后的一些级数的和。的和。http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 2先来看级数先来看级数绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛的区别的区别http:/ July
2、 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 3绝对收敛与条件收敛有何区别？绝对收敛与条件收敛有何区别？定理定理 9绝对收敛级数可以任意重排，其和不变。绝对收敛级数可以任意重排，其和不变。（绝对收敛级数的交换律）（绝对收敛级数的交换律）绝对收敛级数的收敛是绝对收敛级数的收敛是（），），它的收敛性及其和都不会因为改变级数各项它的收敛性及其和都不会因为改变级数各项的位置而产生任何变化。的位置而产生任何变化。http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 4 条件收敛级数不满足交换律条件收敛级数不满足交换律 条件收敛级数的收敛性及其和都与级数条件收敛级数的收敛性及其和
3、都与级数中各项的位置有关。中各项的位置有关。 因此因此条件收敛条件收敛级数的收敛性及其和是有级数的收敛性及其和是有条件的条件的（conditionally）： 不能打乱原级数的各项之间的先后次序，不能打乱原级数的各项之间的先后次序，否则可能会改变级数的和，甚至改变其收敛否则可能会改变级数的和，甚至改变其收敛性。性。 当然，只改变有限项的位置，不会对级当然，只改变有限项的位置，不会对级数造成任何变化。数造成任何变化。http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 5例如例如1111.1111246.3587是条件收敛级数是条件收敛级数 在以上顺序下（在以上顺序下（一正一
4、正一负一负），级数收敛，），级数收敛，和为和为 ln2。1111112468111.351012ln2 现在，我们按照现在，我们按照 “一正一正二负二负” 重新排列重新排列各项的顺序，得一新的级数：各项的顺序，得一新的级数：http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 61111112468111.351012111111(1)()112468().10152.311148111.26120111124111(1.)2356收敛级数可以加括号收敛级数可以加括号1ln22还是那些数相加，但结果减少一半！还是那些数相加，但结果减少一半！级数性质级数性质http:/ Ju
5、ly 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 7 数学家数学家黎曼黎曼证明了一个更令人吃惊的结证明了一个更令人吃惊的结论：论： 条件收敛级数的各项重排后，级数可以条件收敛级数的各项重排后，级数可以收敛于任何一个实数，也可以使其发散！收敛于任何一个实数，也可以使其发散！黎曼黎曼 Riemann德国数学家德国数学家 1826-1866http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 8的重排的重排级数的计算由数学软件级数的计算由数学软件Maple完成完成http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 91111.1111246.3587实
6、验表明：若将交错调和级数实验表明：若将交错调和级数负项（正项）提前，就可以使级数的和负项（正项）提前，就可以使级数的和减小（增大）。减小（增大）。http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 10先看一正先看一正m负的情形负的情形http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 1111111(1)()().23456111()ln20.6931212nnn一正一负一正一负：a:=n-1/(2*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);http:/
7、July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 1211111111(1)()().243685101211ln20.1113466()214142nnnn一正二负一正二负：a:=n-1/(2*n-1)-1/(4*n-2)-1/(4*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 131111111(1)().24638101211111()21646261ln2ln320.1438nnnnn一正三负一正三负：a:=n-1/(2*n-1)-1
8、/(6*n-4)-1/(6*n-2)-1/(6*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 14111111111(1)().2468310121416111111()2186842088nnnnnn一正四负一正四负：a:=n-1/(2*n-1)-1/(8*n-6)-1/(8*n-4)-1/(8*n-2)-1/(8*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);n112 n118 n618 n418
9、 n218 n0http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 1511111111111(1)().246810312141618201111111()2110810610410210.11160nnnnnnn一正五负一正五负：a:=n-1/(2*n-1)-1/(10*n-8)-1/(10*n-6)-1/(10*n-4)-1/(10*n-2)-1/(10*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 1611111(.)21
10、2(22)222nnmnmmnmn一正一正m负负：m:=8:a:=n-1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0.m-1);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity):evalf(%);11011()2122mnknnkm即即http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 17110811()21220.34668nknnk 一正八负一正八负： m=8m:=8:a:=n-1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0.m-1);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(
11、n),n=1.infinity);evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 18111050.661511()2122nknnk 一正一正15负负： m=15m:=15:a:=n-1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0.m-1);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity):evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 19再看再看m正一负的情形正一负的情形http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排
12、2011111111(1)()().32574911611113l()4341n222nnnn二正一负二正一负：a:=n-1/(4*n-3)+1/(4*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 211111111(1)().3527911411111()6563611ln2ln322nnnnn三正一负三正一负：a:=n-1/(6*n-5)+1/(6*n-3)+1/(6*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infi
13、nity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 22111111111(1)().357291113154111111()87858381.386312nnnnnn四正一负四正一负：a:=n-1/(8*n-7)+1/(8*n-5)+1/(8*n-3)+1/(8*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 2311011()2(21
14、)2nkmmnkn m正一负正一负：m:=8:a:=n-sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0.m-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 24110811(1.73298)2(21)2nknkn 8正一负正一负：m:=8:a:=n-sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0.m-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 255 110111()2(21)2.0472152nknkn 15正一负正一负：m:=15:a:=n-sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0.m-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);evalf(%);http:/ July 3, 2012四川大学数学学院 徐小湛级数的重排 26更多的学习资料见：更多的学习资料见： http:/