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1、数学的味道无穷第1页，本讲稿共41页1.数数2.点数与长度3.完美与缺陷4.分数维5.Peano曲线6.科克曲线第2页，本讲稿共41页1 数数数列就是“数数”。首先来看两个数列:1，2，3，n,2，4，6，2n，正偶数与自然数的个数一样多！怪第3页，本讲稿共41页第4页，本讲稿共41页 因为第一个数列的项有重复，所以第一个数列（因为第一个数列的项有重复，所以第一个数列（正有理数正有理数）的）的“个数个数”不会比不会比自然数自然数的的“个数个数”多。另一方面，多。另一方面，自然数自然数显然显然是是正有理数正有理数的一部分，所以的一部分，所以自然数自然数的的“个数个数”也不会比也不会比正有理正有理
2、数数的的“个数个数”多，因此，我们得到一个结论：多，因此，我们得到一个结论：正有理数与自然数的“个数”一样多！怪第5页，本讲稿共41页2 点数与长度例1 线段的点一样多第6页，本讲稿共41页演示表明:两条线段长度不等,但是点数相等.怪第7页，本讲稿共41页例2 封闭曲线的点一样多演示表明:两个圆(甚至是封闭曲线)长度不等,但是点数相等.怪第8页，本讲稿共41页例3 圆周比直线多一点演示表明:圆周恰好比直线”多”一个点.而圆周是有限有限长,直线是无限无限长!怪第9页，本讲稿共41页我们可以得到体会：点数与长度没有必然的关系第10页，本讲稿共41页问题:为什么事实与感觉不一样?这种事实说明过去的知
3、识是否有什么缺陷,才使得我们产生错觉?为什么无穷多会出现如此令人惊讶的现象?有理数能够”数”,那么无理数能否”数”?实数能否”数”呢?第11页，本讲稿共41页我们来看看历史的发展过程.伽里略(1564-1642)曾用意大利文写了两部著作:关于托密勒和哥白尼两大世界体系的对话(1632)（天文学），关于两种新科学的对话(1638)（物理学）两部著作都采用了文艺复兴时期的绅士对话的形式。萨尔维阿蒂见识多广的科学家辛普利邱正统的亚里士多德学派人物第12页，本讲稿共41页辛普利邱：“现在有一个我解决不了的难题。很清楚，由于我们可以有一条比另一条线段更长的线段，其中每一条都包含着无穷数目的点，所以我们就
4、不得不承认，对一条线段和线段内的所有点来说，我们有比无限多还要大的东西，因为长线段上的无限的点比短线段上的无限的点要多。这种赋予一个无限的数量以大于无限的值的做法使我无法理解。”萨尔维阿蒂：“这是当我们企图以有限的智力讨论无限，并赋予它我们给有限的东西同样的性质时所出现的困难。但是我认为这样做是错误的，因为我们对一个无限的量不能说它大于、小于或等于另一个无限的量。要证明这一点，我进行了第13页，本讲稿共41页推理，为了清楚起见，我将以向提出这种困难的辛普利邱提问的形式叙述这个问题。我认为你当然知道哪些数是平方数，而哪些数不是。”辛普利邱：“我当然知道一个平方数是由某一个数自乘后得到的：4，9是
5、平方数，它们分别由2，3自乘得到。”萨尔维阿蒂：“很好，而你也知道乘积叫做平方数，而因子叫做根；另一方面，由两个不同的因子组成的数学不是平方数。因此，我说包括平方数和非平方数在内的所有数比单独的平方数多，对不对？”辛普利邱：“当然是这样。”第14页，本讲稿共41页萨尔维阿蒂证明了自然数和它的平方数一样多，但是他又说有一个问题解决不了：找不出0，1区间的点与全体自然数的一一对应。从以上谈话可以看出：在康托尔（Cantor,1845-1918）的集合论之前创立之前,伽里略已经对无限有了很好的理解。辛普利邱不能理解出现了比无穷大还大的量的现象。例如：区间0，2包含了0，1，0，2中应该比0，1的点多
6、。由此可见，在16世纪，人们就已经注意到了无限与有限的区别。上述问题由康托尔建立的集合论加以解决。第15页，本讲稿共41页问题:为什么事实与感觉不一样?这种事实说明过去的知识是否有什么缺陷,才使得我们产生错觉?为什么无穷多会出现如此令人惊讶的现象?有理数能够”数”,那么无理数能否”数”?实数能否”数”呢?第16页，本讲稿共41页上述问题由康托尔建立的集合论加以解决，大家在“实变函数”中可以学习这些内容。第17页，本讲稿共41页这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上无论
7、x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！3 完美与缺陷第18页，本讲稿共41页第19页，本讲稿共41页第20页，本讲稿共41页 既然圆周比直线“多”一点顶点，顶点对应于直线的两端（），因此在直线上来看待这个问题，我们希望有一个解决的办法。实际上，如果在直线上设立一个“原点”，那么其左右两端也是对称的。因此我们把直线于原点处折叠过来，就可以建立正负数之间的一个一一对应，解决了这个问题。请看演示第21页，本讲稿共41页x因此，我们得到无穷远处函数极限的关系如右：第22页，本讲稿共41页演示表明:圆周恰好比直线”多”一个点.那么将它们旋转，
8、可以得到球面与平面的类似关系第23页，本讲稿共41页第24页，本讲稿共41页因此，球面比平面“多”一点。球面：封闭、有限面积、多个；无边界平面：开放、无限面积、一个；无边界球面包含了平面试问：1、直线在球面上是什么样？2、三角形在球面上是什么样？3、如果人生活在平面而不是球面上，会怎样呢？第25页，本讲稿共41页1、直线在球面上是过顶点的圆.结论结论:从球面上看从球面上看,平面上所有直线都平面上所有直线都相交相交.第26页，本讲稿共41页2、平面三角形是曲边三角形，内角和大于180o.第27页，本讲稿共41页结论结论:从球面上看从球面上看,平面上所有直线都平面上所有直线都相交相交,三角形内角和
9、可能三角形内角和可能大于大于或或小于小于180180o o .从而产生了非欧几里德几何从而产生了非欧几里德几何.即即非欧几何非欧几何.非欧几何的代表非欧几何的代表:罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何 黎曼非欧几何黎曼非欧几何(双曲几何双曲几何,即即三角形内角和三角形内角和180180o o).).还有椭圆几何、抛物几何还有椭圆几何、抛物几何、混合型几何和有限几何（只含有限多个点、混合型几何和有限几何（只含有限多个点、线、面）。线、面）。几何划时代的总结是几何划时代的总结是18721872年由克莱因和挪威年由克莱因和挪威数学家李以群论的交换群来刻画，并把拓扑学数学家李以群论的交换群来刻画，并把拓扑
10、学作为一门重要的集合学科。作为一门重要的集合学科。第28页，本讲稿共41页几何与物理空间几何与物理空间人们注意并开始接受非欧几何是在人们注意并开始接受非欧几何是在GaussGauss生前生前完成（完成（18541854），死后发表的论文（），死后发表的论文（18551855）之后。）之后。许多数学家相信非欧几何也可以是物理空间中许多数学家相信非欧几何也可以是物理空间中的几何。事实上，单是有别的几何存在就已经的几何。事实上，单是有别的几何存在就已经令人吃惊，但令人震惊的是你不在知道哪个是令人吃惊，但令人震惊的是你不在知道哪个是正确的，或者究竟有没有正确的。正确的，或者究竟有没有正确的。所有这些奇
11、怪的几何都可和欧氏几何媲美所有这些奇怪的几何都可和欧氏几何媲美甚至可以取而代之！甚至可以取而代之！第29页，本讲稿共41页没有非欧几何就没有相对论！没有非欧几何就没有相对论！爱恩斯坦的广义相对论必须用一种黎曼的爱恩斯坦的广义相对论必须用一种黎曼的非欧几何来描述这样的物理空间。非欧几何来描述这样的物理空间。19471947年由对视空间（从正常的有双目视觉年由对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上观察的空间）所做的研究表明的人心理上观察的空间）所做的研究表明这样的空间最好用这样的空间最好用罗巴切夫斯基几何来描述罗巴切夫斯基几何来描述 实际上，欧氏几何和非欧几何在“细小范围”内误差很小，在“浩大范围
12、”（天文学）内差别就明显了。第30页，本讲稿共41页3、如果人生活在平面而不是球面上，会怎样呢？见着了,哈他俩可完了,这辈子可再也见不着了!第31页，本讲稿共41页因此,有些事情就会失效了:条条大路通罗马殊途同归走错了方向就可能回不来了有情人不一定成眷属.因为可能见不着,可能约会实现不了,可能走错了路,可能走错了方向,可能第32页，本讲稿共41页所以,(平面)就差这么”一点”,你就可能犯不可挽救的错误.(球面)就有这么”一点”,就显得如此完美!人类应该庆幸自己生活在”地球”上!生活在一个完美的”二维空间中”.爱恩斯坦相信空间是完美,因此空间是一个”球”!站在平面看球,一切都是”弯曲”的,那么站
13、在球上看平面,一切也是”弯曲”的.第33页，本讲稿共41页所以,(平面)就差这么”一点”,你就可能犯不可挽救的错误.(球面)就有这么”一点”,就显得如此完美!人类应该庆幸自己生活在”地球”上!生活在一个完美的”二维空间中”.爱恩斯坦相信空间是完美,因此空间是一个”球”!站在平面看球,一切都是”弯曲”的,那么站在球上看平面,一切也是”弯曲”的.第34页，本讲稿共41页无穷集合论数学基础数学分析线性代数解析几何概率统计连续量离散量空间结构空间不变量随机量泛函分析拓扑学无穷维空间的结构与形式空间形式现代数学研究的基础现代数学分支第35页，本讲稿共41页科学的发现和发展在于：善于学习，善于积累，善于观察，善于提问，善于追求，善于坚持。第36页，本讲稿共41页第37页，本讲稿共41页第38页，本讲稿共41页三、GPS定位第39页，本讲稿共41页数学给人类创造了思想的完美思想的完美物质的完美物质的完美精神的完美精神的完美现实的完美现实的完美未来的完美未来的完美学习数学,你将完美并能创造完美!第40页，本讲稿共41页第41页，本讲稿共41页