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1、弧弦圆心角第1页，本讲稿共44页NO把圆把圆O的半径的半径ON绕圆心绕圆心O旋转任意一个角度旋转任意一个角度，第2页，本讲稿共44页 圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角.一、概念一、概念过点过点O作弦作弦AB的垂线的垂线,垂足垂足为为D,则垂线段则垂线段OD的长度的长度,即圆心即圆心到弦的距离，叫到弦的距离，叫弦心距弦心距,图中，图中，OD为为AB弦的弦心距。弦的弦心距。第3页，本讲稿共44页1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。第4页，本讲稿共44页2、下列图中弦心距做对了的是（）第5页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下：在下
2、面我们一起来观察一下：在 O中有哪些圆心角？中有哪些圆心角？（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）如果：如果：AOB=COD第6页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=COD第7页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？什么关系？如果：如果：AOB=COD第8页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们
3、一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=COD第9页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？什么关系？如果：如果：AOB=COD第10页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=COD第11页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=CO
4、D第12页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？什么关系？如果：如果：AOB=COD第13页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=COD第14页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？什么关系？如果：如果：AOB=COD第15页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我
5、们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=COD第16页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？什么关系？如果：如果：AOB=COD第17页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=COD第18页，本讲稿共44页ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=
6、COD第19页，本讲稿共44页ABCDo 证明证明:OA=OC，OB=OD，AOB=COD,当点当点A与点与点C重合时，重合时，点点B与点与点D也重合。也重合。AB=CD，圆心角定理：在在同圆同圆或或等圆等圆中，中，相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧相等，所对的弦也相等。弧相等，所对的弦也相等。AB =CD。已知已知:如图如图AOB=COD,求证求证:AB=CD，AB =CD。第20页，本讲稿共44页思考思考定理定理“在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等等，所对的弦也相等”中，可否把条件中，可否把条件“在同在同圆圆或或等等圆圆中中”
7、去掉？去掉？为为什么？什么？温馨提温馨提示示：由弦相等推出弧相等时，由弦相等推出弧相等时，这里弧一般要求这里弧一般要求都是优弧或劣弧都是优弧或劣弧第21页，本讲稿共44页 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OE AB于于E，OF CD于于F，OE与与OF相等吗？为什相等吗？为什么？么？CABDEFOAB=CDAB=CD四、练习四、练习 答答：OEOF证明：证明：OE AB OF CD ABCD AECF OAOC RT AOE
8、RT COF OEOF在圆心角、弧、弦、弦心距在圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中，有一组量相等，这四组量中，有一组量相等，其余各组也相等其余各组也相等。第22页，本讲稿共44页OABA1 1B1(1)(1)圆心角相等圆心角相等(2)(2)弧相等弧相等(3)(3)弦相等弦相等知知一一得得二二弦心距、弦心距、知一推三知一推三第23页，本讲稿共44页证明：证明：AB=AC,ABC是等腰三角形是等腰三角形又又ACB=60，ABC是等边三角形是等边三角形,AB=BC=CA.AOBBOCAOC.ABCO例题例题例例1 如图，在如图，在 O中，中，,ACB=60,求证求证AOB=BOC=AOC第24页，本讲
9、稿共44页例例2 2、如图，等边三角形如图，等边三角形ABCABC内接于内接于O,O,连结连结OA,OB,OCOA,OB,OC AOBAOB、COBCOB、AOCAOC分别为多少度？分别为多少度？延长延长AOAO，分别交，分别交BCBC于点于点P P，BCBC于点于点D,D,连结连结BD,CD.BD,CD.判断三角形是判断三角形是哪一种特殊三角形？哪一种特殊三角形？判断四边形判断四边形BDCOBDCO是哪一种特殊四边形，是哪一种特殊四边形，并说明理由。并说明理由。若若O O的半径为的半径为r,r,求等边求等边三角形三角形ABCABC的边长？的边长？若等边三角形若等边三角形ABCABC的边长的边
10、长a,a,求求O O的半径为多少？的半径为多少？当当a =a =时求圆的半径时求圆的半径?第25页，本讲稿共44页1.如图，如图，AB是是 O 的直径，的直径，COD=35，求，求AOE 的度数的度数AOBCDE解：解：练习练习第26页，本讲稿共44页2.2.已知：如图，在已知：如图，在中，弦中，弦求证：求证：第27页，本讲稿共44页3 3、已知、已知:如图如图,A,B,C,D,A,B,C,D是是O O上的点，上的点，1=21=2。求证：。求证：AC=BDAC=BD第28页，本讲稿共44页3.如图，如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的半径，的半径，弦弦BE OA,求证：求证：AC=
11、AE 第29页，本讲稿共44页 4.已知：如图，已知：如图，AOB=90，D、C将将 AB三等分，三等分，弦弦AB与半径与半径OD、OC交于点交于点F、E求证：求证：AE=DC=BF 第30页，本讲稿共44页例例3如图，已知点如图，已知点O是是EPF 的平分线上一点，的平分线上一点，P点在圆外，点在圆外，以以O为圆心的圆与为圆心的圆与EPF 的两边分别相交于的两边分别相交于A、B和和C、D。求证：求证：AB=CD分析：分析：联想到联想到“角平分线的性质角平分线的性质”，作弦心距，作弦心距OM、ON，证明证明:作作 ,垂足分别为垂足分别为M、N。OM=ONAB=CD.PABECMNDF要证要证A
12、B=CD，只需证，只需证OM=ONO第31页，本讲稿共44页.PBEDFOAC.如图，如图，P点在圆上，点在圆上，PB=PD吗？吗？P点在圆内，点在圆内，AB=CD吗？吗？思考：思考：PBEMNDFOMN第32页，本讲稿共44页例例4 4：如图如图,AB,AB、CDCD是是O O的两条直径。的两条直径。(1)(1)顺次连结点顺次连结点A A、C C、B B、D D，所得的四边形是什么特，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？殊四边形？为什么？(2)(2)若直径为若直径为10cm10cm，AOD=120AOD=1200 0，求四边形，求四边形ACBDACBD的周长和面积。的周长和面积。第33页，
13、本讲稿共44页例例4 4：如图如图,AB,AB、CDCD是是O O的两条直径。的两条直径。(3)(3)四边形四边形ACBDACBD有可能为正方形吗？若有可能有可能为正方形吗？若有可能,当当ABAB、CDCD有何位置关系时，四边形有何位置关系时，四边形ACBDACBD为正方形？为为正方形？为什么？什么？第34页，本讲稿共44页（4）如果要把直径为）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？应怎样锯？最大横截面面积是多少？第35页，本讲稿共44页圆心角习题课圆心角
14、习题课第37页，本讲稿共44页垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD =BD.知二推三知二推三第38页，本讲稿共44页 在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果如果两个圆心角两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距中中,有一组有一组量相等量相等,那么它们所对应的其余各组量都那么它们所对应的其余各组量都分别相等分别相等.OABDABD圆心角圆心角,弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理知一推三知一推三第39页，本讲稿共44页 1.如图,在ABCABC中中,ACB
15、=90,ACB=900 0,B=25B=250 0,以以C C为圆心为圆心,CA,CA为半径为半径的圆交的圆交ABAB于于D,D,求弧求弧ADAD的度数的度数.BCADAD=50 做一做做一做第40页，本讲稿共44页 2.如图,在ABCABC中中,A=70,A=70,OO截截ABCABC的三条边所得的的三条边所得的弦长相等弦长相等,求求BOCBOC的度数的度数.NOABCEDF BOC=125想一想第41页，本讲稿共44页 3.如图如图,D、E分别是分别是AB、AC中点中点,DE交交AB于于M,交交AC于于N.求证求证:AM=ANABCDEOMNFG证明证明:连结连结ODOD、OE,OE,分别
16、交分别交ABAB、ACAC于于F F、G G DFM=900=EGNOD=OE D=E DMB=ENC ENC=ANM DMB=AMN AMN=ANM AM=AN D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点第42页，本讲稿共44页 4.已知圆内接已知圆内接ABC中，中，AB=AC，圆心，圆心O到到BC的距离为的距离为3cm,圆半径为圆半径为7cm,求腰长求腰长AB.ABCODAB=235BCOAAB=214D第43页，本讲稿共44页 5.如图如图,A是半圆上一个是半圆上一个 三等分点三等分点,B是是AN的中点的中点,P是直径是直径MN上一个动点上一个动点,O的半径的半径为为1,求求PA+PB的最小值的最小值.NOAMBBPPA+PB 2的最小值是的最小值是第44页，本讲稿共44页