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1、第四节 有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分三三、简单无理函数的不定积分、简单无理函数的不定积分二二、三角函数有理式的不定积分、三角函数有理式的不定积分有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化
2、为部分分式之和.（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：出现三类情况：多项式；多项式；这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待
3、定系数法待定系数法例例1 1代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2例例3 3整理得整理得例例4 4 求积分求积分 解解例例5 5 求积分求积分 解解例例6 6 求积分求积分解解令令三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分令令（万能置换公式）（万能置换公式）例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式例例8 8 求积分求积分解解解法二解法二 令令解法三解法三比较以上三种解法比较以上三种
4、解法,便知万能代换不一定是最佳便知万能代换不一定是最佳方法方法,故故三角有理式的计算中先考虑其它手段三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换不得已才用万能代换.例例9 9 求积分求积分解解说明说明:通常求含通常求含的积分时的积分时,往往更方便往往更方便.的有理式的有理式用代换用代换例例10 10 求积分求积分解解讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1111 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分例例1212 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.例例1313 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.练习题练习题练习题答案练习题答案