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1、第4节有理函数的不定积分 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分两个多项式的商表示的函数称为两个多项式的商表示的函数称为有理函数有理函数.其中其中 m、n 都是非负整数都是非负整数;a0,a1,an 及及 b0,b1,bn 都是实数，并且都是实数，并且a0 0,b0 0.n m,R(x)称为称为真分式真分式；n m,R(x)称为称为假分式假分式.利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项假分式可以化成一
2、个多项式和一个真分式之和式和一个真分式之和.例如例如说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：出现三类情况：多项式；多项式；这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为说明说明 将有理函
3、数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令则则记记这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.例例1 1 求积分求积分 解解例例2 2 求积分求积分 解解例例3 3 求积分求积分 解解原式原式例例4 4 求积分求积分 解解原式原式例例5 5求积分求积分 解解原式原式注意注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行将有理函数分解为部分分式求积分虽可行,但不一定简便但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构因此要注意根据
4、被积函数的结构特点，灵活处理，寻求简便的方法求解特点，灵活处理，寻求简便的方法求解.例例6 6 求积分求积分 解解原式原式二、简单无理函数的不定积分二、简单无理函数的不定积分 被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式,可通可通过过根式代换根式代换化为有理函数的积分化为有理函数的积分.讨论类型讨论类型(主要三种主要三种)例例1 1 求积分求积分解解原式原式例例2 2 求积分求积分解解原式原式例例3 3 求积分求积分解解原式原式由三角函数和常数经过有限次四则运算构成由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为的函数称为三角函数有理式三角函数有理式.三、三角函数有理式的不定积分三、三
5、角函数有理式的不定积分一般记为一般记为 R(sin x,cos x).(万能代换公式万能代换公式)化为了化为了 u 的有理函数的积分的有理函数的积分.例例1 1 求积分求积分解解例例2 2 求积分求积分解解解法二解法二 令令解法三解法三比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳便知万能代换不一定是最佳方法方法,故故三角有理式的计算中先考虑其它手段三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换不得已才用万能代换.例例3 3 求积分求积分解解说明说明:通常求含通常求含的积分时的积分时,往往更方便往往更方便.的有理式的有理式用代换用代换例例4 4 求积分求积分解解1.有理函数分
6、解成部分分式之和的积分有理函数分解成部分分式之和的积分.(注意：必须化成真分式注意：必须化成真分式)四、小结四、小结2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分.(用用根式代换根式代换化为有理函数的积分化为有理函数的积分)3.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分.(万能代换公式万能代换公式)(注意：万能公式并不万能注意：万能公式并不万能)思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？解答解答分解后的部分分式必须是分解后的部分分式必须是最简最简分式分式.练习题练习题练习题答案练习题答案有理函数化为部分分式之和的一般方法有理函数化为部分分式之和的一般方法:例例 将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式:解解(1)拼凑法拼凑法(2)赋值法赋值法(3)待定系数法待定系数法整理得整理得四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为变分子为 再分项积分再分项积分.例例求积分求积分 解解原式原式