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1、,第四节 有理函数的不定积分,直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,本节内容:,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,(2) 用赋值法,故,-5,6,原式 =,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,因为分母的导数为2xp,例2. 求,解: 已知,例3. 求,解: 原式,例4. 求,解:,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被,积函
2、数的结构寻求简便的方法.,例5. 求,解: 原式,例6. 求,解: 原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t 的有理函数的积分,1. 三角函数有理式的积分,则,例7. 求,解: 令,则,例8. 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,解:,令,原式,例9. 求,2. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根,根式代换化为有理函数的积分.,例如:,令,例10. 求,解: 令,则,原式,例11. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数,则有,原式,令,2, 3 的最小公倍数 6,例12. 求,解: 令,则,原式,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定简便,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解: 1.,2. 原式,