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1、第第4章章 不定积分不定积分引引 言言由求运动速度、由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生曲线的切线和极值等问题产生了了导数和微分导数和微分,构成了微积分学的构成了微积分学的微分学部分微分学部分;时由已知速度求路程、时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及已知切线求曲线以及等问题等问题,产生了不定积分和定积分产生了不定积分和定积分,同同构成了微积分学的构成了微积分学的积分学部分积分学部分.的长度的长度、曲线围成的面积曲线围成的面积、曲面围成的体积曲面围成的体积求曲线求曲线前面已经介绍已知函数求导数的问题前面已经介绍已知函数求导数的问题,们们要考虑其反问题要考虑其反问题:已知导数求其函数已知导数
2、求其函数,数数或微分求原来函数的逆运算称为或微分求原来函数的逆运算称为不定积分不定积分.现在我现在我这种由导这种由导4.1 原函数与不定积分原函数的概念原函数的概念定义定义 设设 是定义在区间是定义在区间 上的函数上的函数,若存在函若存在函数数 对任何对任何 均有均有或或则称函数则称函数 为为 在区间在区间 上的一个上的一个原函数原函数.例如例如,因为因为故故 是是 的一个的一个原函数原函数;因为因为故故 是是 的一个原函数的一个原函数;因为因为故故 是是 的一个的一个原函数原函数;一个函数的原函数不是唯一的一个函数的原函数不是唯一的原函数的概念原函数的概念若若 为为 在区间在区间 上的原函数
3、上的原函数,也是也是 在区间在区间 上的原函数上的原函数.1.(C为任意常数为任意常数).函数函数 的的全体原函数全体原函数为为(为任意常数为任意常数).2.注注:函数求导得来的函数求导得来的.则其全体原函数为则其全体原函数为区间区间 上的连续函数一定有原函数上的连续函数一定有原函数.求函数求函数 的原函数的原函数,实质上就是问它是由什么实质上就是问它是由什么而一旦求得而一旦求得 的一个原函的一个原函数数(为任意常数为任意常数).不定积分的概念不定积分的概念定义定义若存在原函数若存在原函数,为为积分符号积分符号,由定义知由定义知,则则在某区间在某区间 上的函数上的函数称称 为可积函数为可积函数
4、,并将并将 的全体原函数记为的全体原函数记为则则称它是函数称它是函数 在区间在区间 内的内的不定积分不定积分,其中其中 称称称为称为被积函数被积函数,称为称为积分变量积分变量.若若 为为 的的原函数原函数,(称为称为积分常数积分常数)不定积分的概念不定积分的概念注注:由由定义知定义知,求函数求函数 的不定积分的不定积分,就是求就是求的全体原函数的全体原函数,就是求导就是求导(或求微积分或求微积分)运算的逆运算运算的逆运算.故求不定积分的运算实质上故求不定积分的运算实质上不定积分的几何意义不定积分的几何意义例例1 求下列不定积分求下列不定积分例例2 已知曲线已知曲线在任一点在任一点处的切线斜率处
5、的切线斜率为为且曲线通过点且曲线通过点求此曲线的方程求此曲线的方程.微分运算与积分运算的关系微分运算与积分运算的关系由不定积分的定义知由不定积分的定义知,即即所以所以原函数原函数,若若 为为 在区间在区间 上的上的或或则则 在区间在区间 内的不定积分为内的不定积分为易见易见 是是 的原函数的原函数,或或微分运算与积分运算的关系微分运算与积分运算的关系所以所以又由于又由于 是是 的原函数的原函数,或或从上可见从上可见微分运算与积分运算是互逆的微分运算与积分运算是互逆的.两个运算连在一起时两个运算连在一起时,一常数一常数.完全抵消完全抵消,抵消后差抵消后差基本积分表基本积分表(1)(3)(6)(2
6、)(5)(是常数是常数)(4)基本积分表基本积分表(7)(9)(10)(11)(8)不定积分的性质不定积分的性质利用微分运算法则和不定积分的定义利用微分运算法则和不定积分的定义,算性质算性质:性质性质1 两函数代数和的不定积分两函数代数和的不定积分,分分的代数和的代数和.即即证证证毕证毕.可得下列运可得下列运等于它们各自积等于它们各自积注注:此性质可推广到有限多个函数之和的情形此性质可推广到有限多个函数之和的情形.不定积分的性质不定积分的性质即即证证证毕证毕.性质性质2 求不定积分时求不定积分时,非零常数因子可提到非零常数因子可提到积分号外面积分号外面.直接积分法直接积分法从前面的例题知道从前
7、面的例题知道,不定积分是非常不方便的不定积分是非常不方便的.为解决不定积分的计算为解决不定积分的计算质和积分基本公式质和积分基本公式,直接求出不定积分的方法直接求出不定积分的方法,直接积分法直接积分法.利用不定积分的定义来计算利用不定积分的定义来计算问题问题,这里我们先介绍一种利用不定积分这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性的运算性即即直接积分法直接积分法不定积分性质不定积分性质积分基本公式积分基本公式注注:多个不定积分作代数和运算时多个不定积分作代数和运算时,只需统一记一只需统一记一个积分常数个积分常数例如例如,计算不定积分计算不定积分例例4 计算不定积分计算不定积分(1)若(2)若是是的原函数的原函数,例例5作业习题4:2.单号题练习求不定积分(1)(2)