《2022年立体几何中的向量方法教案 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年立体几何中的向量方法教案 .docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载立体几何中的向量方法【教学目标】1在学习了方向向量的基础上懂得平面的法向量的概念,为进一步运用打好基础；2学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判定或证明直线、平面的位置关 系；3学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的 问题（主要是关于角的问题）；4能初步利用向量学问解决相关的实际问题及综合问题；【教学重点】 向量运算在立体几何证明与运算中的应用【教学难点】在运用向量学问解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式【教学过程】一、双基回眸 前面我们已经学习了空间
2、向量的基本学问,并利用空间向量初步解决了一些立体几何 问题,已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用,并从中体会到了向量运 算的强大作用；这一节,我们将全面地探究向量在立体几何中的运用,较系统地总结出立 体几何的向量方法；为此,第一简洁回忆一下相关的基本学问和方法：. 1直线 l 的方向向量的含义：2向量的特别关系及夹角（最终的填空是用坐标表示）（ 1）a/b= ；（ 2）ab（ 3）aa= （ 4）cosa,b二、创设情形 前面,我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题,如：两直线垂 直问题；两直线的夹角问题；特别线段的长的问题等等 如再加入平面,会显现更多的的问题,
3、如：线面、面面的位置关系问题；线面的夹角 问题；二面角的问题等等 而且都是立体几何中的重要问题,这些问题用向量的学问怎 样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题,平面又由怎样的向量来 确定呢？这些问题就是我们将要探究或解决的主要问题 三、合作探究同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面；由此我们应当会想象出怎样的向量可确定平面的方向了 下面请同学们合作探究一下这方面的学问和方法：（一）平面的法向量：；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（二）直线、平面的几种重要的位置关系的充要条件：请
4、同学们依据直线的方向向量和平面的法向量的几何意义直观地得出直线、平面的几种特别的位置关系的充要条件（用直线的方向向量或平面的法向量来表达）设直线 l , m 的方向向量分别为a, b,平面,的法向量分别为u, v,就：；l m l ； l m； l ；【小试牛刀 】1设直线 l , m 的方向向量分别为a, b,依据以下条件判定直线 l, m 的位置关系：（1） a= （2 ,-1 ,-2 ）, b= （6 ,-3 ,-6 ）；,的位置关系：（2） a= （1 , 2 ,-2 ）, b= （-2 , 3, 2）；（3） a= （0 , 0,1）, b= （0 , 0,-3 ）；2平面,的法向量
5、分别为u, v,依据以下条件判定 平面CD（1） u= （-2 ,2 , 5）, v= （6 ,-4 , 4）；（2） u= （ 1 ,2 ,-2 ）, v= （-2 ,-4 , 4）；（3） u= （ 2 ,-3 ,5）, v=（-3 ,1,-4 ）；3如图,在正方体ABCDA B C D 中, E、F 分别是BB 、1的中点,求证：D F 平面 ADE（你能用几种方法呢？）（三）利用向量方法证明平面与平面平行的判定定理【 定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行名师归纳总结 已知： 直线 l, m 和平面,其中 l , m, l与 m 相交,第 2 页,共 8 页l
6、 , m ,求证：【分析 】依据uv,所以只要证明 uv即可,那需要证明 u , v都是平面的法向量【证明】设直线 l , m 的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为u,v- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（ 2）进行向量运算（ 3）翻【点评】 向量法解题“ 三步曲” ： （1）化为向量问题译向量运算结果,回到图形问题. 四、互动达标关于两特别点间距离的问题此类问题前面已经接触过,下面再来总结及拓展一下：问题 .1如图 , 一个结晶体的外形为平行六面体, 其中顶点 A为端点的三条棱长都相等, 且它们彼此的夹角都是 60 , 那么以
7、这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系；【分析】 依据前面所学的方法,可将AC 用与棱相关的向量表示出来,通过运算求解 D1BB1C1【解析】A1 D C A【点评】 遇到空间两点间的距离问题,往往把两点间的距离表示为以这两点为起点和终点的 向 量 的 模 ； 然 后 把 向 量 进 行 恰 当 的 分 解 , 运 用 向 量u的 模 满 足 的 关 系 式 ：u2uu|u2 |来进行针对性地运算和求解 【探究】1.此题中平行六面体的另一条对角线的长与棱长有什么关系 . 2.假如一个平行六面体的各棱长都相等 ,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都是等于 ,那么由这个平行六面体的对角线
8、长可以确定棱长吗 . 3.此题的晶体中相对的两个面之间的距离是多少 . 【分析】 明显,第 1 个问题与 问题 .1 类似；第个问题是 问题 .1 的逆向问题 ,所列的式子应当是一样的,只不过未知数的位置不同 ；第个问题略有挑战性,可把两个面之间的距离转化为两点的距离或点到面的距离对于这个问题,同学们可在课后先探究一下,以后在进行总结 下面我们再来看一个问题 .1 的逆向问题 ：问题 .如图,甲站在水库底面上的点 A处,乙站在水坝斜面上的点 B 处；从 A,B到直线 l （库底与水坝的交线）的距离 AC和 BD分别为 a 和 b ,CD 的长为 c, AB 的长为 d ；求库底与水坝所成二面角
9、的余弦值；【分析】 正如上面的分析,此题是 问题 .1 的逆向问题,解决方法与 问题 .1 一样 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解析】B C D A 【点评】 由此可体会解决一类数学问题的方法,从而以静制动,表达数学学问、方法应用的本质；【探究】1此题中假如AC和 BD夹角可以测出,而AB 未知,其他条件不变,可以运算出AB 的长吗？ （通过课本第页的第题体会一下即可）2假如已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？3
10、假如已知一个四棱柱的各棱长都等于a ,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？【分析】 明显,第 1 个问题又回到了 问题 .1 的形式；第、个问题是 问题 .1 的逆向问题 ,但第个问题又是略有挑战性,需要通过做帮助线构出问题 .的图形模式 对于这个问题,同样是同学们先课后探究一下,以后在进行总结 关于直线、平面的位置关系的论证及夹角问题问题 .3 如图,在四棱锥PABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD底面 ABCD ,PD=DC ,E 是PC 的中点,作EF PB 交 PB 于点 F；（1）求证： PA 平面 EDB；（2）求证： P
11、B 平面 EFD；（3）求二面角CPBD 的大小；【分析】 此题包括：判定直线与平面平行和垂直及运算 二面角的大小均可用向量方法来解决；题目中的垂直条件特别适合建立空间直角坐标系来表示向量；【解析】名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【点评】 1此题涉及到的问题都是立体几何中的重点问题；通过解决过程来看,如条件适 合建立空间坐标系, 建系表示向量来解决问题仍是较简洁的转化为目标明确的坐标运算 2 同学们可用传统法（不用向量）解决一下,比较各自的特点,便于解决问题时能 恰当挑选方法可大体上分为三种方法：
12、传统法；向量法；坐标向量法；当然也可把这 三种方法结合起来使用 直线与平面所成的角怎样用向量来解决呢？同学们可借助此题的背景来求直线关于点到平面的距离问题PA 与平面 PBC 所成角：利用 问题.3 的条件 （PD=DC 改为 PD=DC= a ）求出点 A 到平面 PBC 的距离 总结出点到平 面的距离的求法：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载关于实际问题问题 4.一块匀称的正三角形面的钢板的质量为 500kg ,在它的顶点处分别受力 F ,F ,F ,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是
13、60 ,且 F 1 F 2 F 3 200kg,这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这三个力是多少时,才能提起这块钢板？【分析】 钢板所受重力为 500kg ,垂直向下作用在三角形的中心O.如能将各顶点处所受的力F ,F ,F 用向量形式表示,求出合力,就能判定钢板的运动状态；【解析】【点评】 此题是力的合成问题,用向量将其表示,转化为数学问题,求出和向量即可,物理中的力、速度等量均可用向量来表示 五、思悟小结 学问线：思想方法线：题目线：六、巩固提高1（1）设平面的法向量为 1,2,-2,平面的法向量为 -2,-4,k,如,就 k= ；如,就 k= ；,就 m= ；如l（2）如 l 的方向向
14、量为 2,1,m,平面的法向量为 1, 1 ,2, 如 l 2,就 m = . 2如图,已知线段AB 在平面 内,线段 AC,线段 BDAB,线段DD,DBD30,假如ABa,ACBDb,求C、D间的距离或：一个矩形 ABCD ,AB=3,CD=4, 以 BD 为棱折成直二面角,求 A、C 之间的距离名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3（1）如图,空间四边形学习必备欢迎下载a,点 M , N 分别是 AB, CD 的中点,ABCD 的每条边和AC,BD 的长都等于求证： MN AB , MN CD . AMBDNC（
15、 2）如图,已知正方体ABCD A B C D , B C 和 C B 相交于点O,连结 DO ,求证： DO B C ADBCODC的中点求异面直线AB4. 如图, M、N 分别是棱长为1 的正方体ABCDA B C D 的棱BB 、B CMN 与CD 所成的角5如图,正方体ABCD A B C D 中, 点 E , F 分别是 B B , CD 的中点；求证：面 AED 面 A F DDCABD E F CA B6如图,正方体 ABCD A B C D 中, 点 E , F , G , H , K , L 分别是 AB ,B B ,B C , C D ,D D,DA 各棱的中点；名师归纳总
16、结 （1）求证： A C平面 E F G H K L ；第 7 页,共 8 页（2）求 DB 与平面 E F G H K L所成角的余弦值；（3）如 AB=1 ,求点 B 到平面 E F G H K L 的距离；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载DHC7已知ABC 和DBC 所在的平面相互垂直,且ABCLKCBABFG120CDAEB,求 （1）ABDBCBD,直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小；AB C （2）直线 AD 与直线 BC 所成角的大小；（3）二面角 A-BD-C 的余弦值；D名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页