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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案空间向量方法解立体几何【空间向量基本定理】例1.已知矩形 ABCD ,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA平面 ABCD ,M 、N 分别为 PC、PD 上的点,且 M 分 成定比 2, N 分 PD 成定比 1,求满意 的实数 x、y、z 的值；分析 ; 结合图形,从向量动身,利用向量运算法就不断进行分解,直到全部向量都用、表示出来,即可求出x、y、z 的值；如下列图,取PC 的中点 E,连接 NE,就点评：选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量 解决立体几何问题的一项基本功,要结合已知和所求
2、,观看图形, 联想相关的运算法就和公 式等, 就近表示所需向量；再对比目标,将不符合目标要求的向量当作新的所需向量,如此 连续下去, 直到全部向量都符合目标要求为止,这就是向量的分解；有分解才有组合,组合是分解的表现形式；空间向量基本定理恰好说明,用空间三个不共面的向量组 可以 表示出空间任意一个向量,而且 a,b,c 的系数是惟一的；【利用空间向量证明平行、垂直问题】例2.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD底面 ABCD ,PD=DC ,E 是 PC 的中点,作 EFPB 于点 F；（1）证明： PA/平面 EDB；（2）证明： PB平面 EFD；（3）求
3、二面角 CPBD 的大小；点评：（1）证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量（2）证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；利用共面对量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面对量（3）证明面面平行的方法：转化为线线平行、线面平行处理；证明这两个平面的法向量是共线向量（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量相互垂直（5）证明线面垂直的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - -
4、- - - 名师精编 精品教案证明直线与平面内的两个不共线的向量相互垂直（6）证明面面垂直的方法：转化为线线垂直、线面垂直处理；证明两个平面的法向量相互垂直【用空间向量求空间角】例3.正方形 ABCD 中, E、 F 分别是,的中点,求：（1）异面直线AE 与 CF 所成角的余弦值；（2）二面角 CAE F 的余弦值的大小；点评：（ 1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得,即；（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得,即或（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得,它等于两法向量的夹角或其补角；【用空间向量求距离】例4
5、.长方体 ABCD 中, AB=4 ,AD=6 , M 是 A 1C1的中点, P 在线段 BC 上,且 |CP|=2,Q 是 DD1的中点,求：（1）异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值；（2） M 到直线 PQ 的距离；（3） M 到平面 AB 1P 的距离；此题用纯几何方法求解有肯定难度,因此考虑建立空间直角坐标系,运用向量坐标法来解决；利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角,在新高考试题中已多次显现,但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离,线与面、 面与面之间所成的角和距离仍涉及不深, 随着新教材的推广使用,这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点；现列出几
6、类问题的解决方法；（1）平面的法向量的求法：设,利用 n 与平面内的两个向量a,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）线面角的求法：设名师精编精品教案的斜线 l 的一个方向n是平面的一个法向量,AB是平面向量,就直线与平面所成角为就sinABn的两个面内与棱l 垂直的异ABn（3）二面角的求法：AB ,CD 分别是二面角面直线,就二面角的大小为；的两个平面的法向量,就设分别是二面角就是二面角的平面角或其补角；（4）异面直线间距离的求法：是两条异面直线,
7、n 是的公垂线段AB 的方向向量,又 C、D 分别是上的任意两点,就；的一条斜线,就点B 到（5）点面距离的求法：设n 是平面的法向量, AB 是平面平面的距离为；5）中方法求解；（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案练习：1. 如 等 边 ABC 的 边 长 为 2 3 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM 1CB 2CA , 就6 3M A M B _2在空间直角坐标系中,已知点 A（1,0,2）, B1 ,-3 ,1 ,点 M在 y 轴上,且 M到
8、A与到 B 的距离相等,就 M的坐标是 _；3.（本小题满分 12 分）如图, 在五面体 ABCDEF 中,FA 平面 ABCD, AD/BC/FE,AB AD,M 为 EC 的中点,1AF=AB=BC=FE= AD2I 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；II 证明平面 AMD 平面 CDE ；（III ）求二面角 A-CD-E 的余弦值；4（此题满分 15 分）如图,平面 PAC 平面 ABC ,ABC是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E F O 分别为 PA ,PB , AC 的中点,AC 16,PA PC 10（I）设 G 是 OC 的中点,证明：FG / / 平面 BOE ；（II ）证明： 在 ABO 内存在一点 M ,使 FM 平面 BOE ,并求点 M 到 OA ,OB 的距离名师归纳总结 5.如图,四棱锥PABCD 的底面是正方形,PD底面ABCD,点 E 在棱 PB 上. 第 4 页,共 4 页（）求证：平面AEC平面PDB；AE 与（）当PD2AB 且 E 为 PB 的中点时,求平面 PDB 所成的角的大小. - - - - - - -