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1、高三一轮复习学案- 第七章：立体几何1 第七节立体几何中的向量方法(一) 证明空间中的位置关系1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量定义：向量a 所在直线与l_平行或重合，则a 叫做 l 的方向向量；确定：通常在直线l 上任取两点构成的向量. (2)平面的法向量定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量；确定：设n 是平面的法向量，在平面内找两个不共线向量a,b，由方程组来确定 . 2.空间位置关系的向量表示位 置 关 系向 量 表 示直线 l1,l2 的方向向量分别为n1,n2l1l2n1n2? n1=n2 l1l2n1n2? n1n2=0 直线 l 的方向向量为n，平面 的法向
2、量为mlnm? nm=0 lnm? nm=0 平面 ,的法向量分别为n,mnm? n=m nm? nm=0 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) 【解析】 (1)错误 .与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量. (2)错误 .由于法向量的方向不同，所以平面的单位法向量不唯一. (3)正确 .由平面平行的转化定理可知. (4)正确 .由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根据等价命题可知
3、. 答案： (1)(2)(3)(4)0,0n an b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页高三一轮复习学案- 第七章：立体几何2 1.若直线 l 的方向向量为a=(1,0,2)，平面 的法向量为u=(-2,0,-4), 则( ) (A)l(B)l(C)l? (D)l 与斜交【解析】选B.a=(1,0,2),u=(-2,0,-4), u=-2a,即 ua,l. 2.若直线 l 的方向向量为a，平面 的法向量为n，能使 l的是 ( ) (A)a (1,0,0)，n(2,0,0) (B)a(1,3,5)，n(1,0,1) (
4、C)a (0,2,1)，n(1,0， 1) (D)a(1， 1,3)，n(0,3,1) 【解析】选D.若 l，则 an=0.经验证知， D 满足条件 . 3.若直线 l1,l2 的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6), 则直线 l1,l2 的位置关系是 _【解析】由ab=2(-6)+49+(-4)6=0 得 ab，从而 l1l2答案： l1l2 4.若平面 ，的法向量分别为a=(-2,y,8),b=(-10,-1,-2), 且，则 y=_. 【解析】 ,a b=0, 即 20-y-16=0, y=4. 答案： 4 5.若 A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1,
5、 )是平面 内的三点，设平面的法向量n=(x,y,z)，则 xyz=_.【解析】由题知=(1，-3，- )，=(-2,-1,- ). 所以 xyz=( y)y(- y)=23(-4) 答案： 23(-4) 考向1 空间中的点共线、点共面问题【典例 1】已知 E,F,G,H 分别是空间四边形ABCD 边 AB,BC,CD,DA的中点 ,用向量法证明：(1)E，F，G,H 四点共面 . (2)BD 平面 EFGH. 【思路点拨】 (1)证明根据共面向量定理即可得到结论；或证明FGEH，即可得到FG,EH 确定一平面，故得四点共面(2)证明共线，然后根据线面平行的判定定理解题即可. 【规范解答】 (
6、1)方法一： E,F,G,H 分别是空间四边形ABCD 各边的中点，E,F,G,H 四点共面方法二： E,F,G ,H 分别是空间四边形ABCD 各边的中点，FGEH 且 FG=EH，四边形 EFGH 为平行四边形故 E,F,G,H 四点共面【拓展提升】1.证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A,B,C 三点共线，即证明共线，亦即证明2.证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A,B,C 四点共面，只要能证明或对空间任一点 O，有即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件【变式训练】 如图所示，已知ABCD 是平行四边
7、形，P点是平面ABCD 外一点，连接PA，PB，PC，PD.设点 E，F，G，H 分别为 PAB， PBC， PCD， PDA 的重心 . (1)试用向量法证明E，F，G，H 四点共面 . 7474ABAC27xy,ABx3yz0,3474AC2xyz0zy.43由得nnEGEFEH，BDEH与1FGEHBD.2EGEFFGEFEH,1FGEHBD.2AB,ACABAC0 PAxPByPCOAOPxPByPCOPxOAyOBzOC(xyz1)或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页高三一轮复习学案- 第七章：立体几何3
8、(2)试判断平面EFGH 与平面 ABCD 的位置关系，并用向量法证明你的判断. 【解析】 (1)分别连接 PE,PF,PG ,PH 并延长交对边于M,N,Q,R 点. 因为 E,F,G ,H 分别是所在三角形的重心, 所以 M,N,Q,R 分别为所在边的中点，连接MN,NQ,QR,RM得到的四边形为平行四边形，且有：连接 MQ，EG，因为四边形MNQR 是平行四边形，所以由共面向量定理知E,F,G,H 四点共面(2)平行 .理由如下：由(1)得又因为 EGABCD ，MQ? 平面 ABCD ，所以 EG平面 ABCD. 因为所以 MN EF. 又因为 EFABCD ，MN ? 平面 ABCD
9、 ，所以 EF平面 ABCD. 由于 EG 与 EF 交于 E 点，所以平面 EFGH平面 ABCD. 考向2 利用空间向量证明平行关系【典例 2】在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1 2AB2BC，E，F，E1 分别是棱 AA1 ，BB1，A1B1 的中点 . 求证： CE平面 C1E1F. 【思路点拨】要证明CE平面 C1E1F，可证明向量与平面 C1E1F 的法向量垂直 . 【规范解答】以D 为原点， DA，DC，DD1 所在的直线为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，设BC1，则 C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，F(1，1，1)，E1(1，2)
10、. 设平面 C1E1F 的一个法向量n=(x,y,z). 【互动探究】在本例条件下，判断平面C1E1F 与平面 CEF 是否垂直，并给出证明.22PEPM,PFPN,3322PGPQ,PHPR.33MQMNMR3EFEH .23MQPQPMEG233EGEFEH22又，所以，3MQEGMQ EG.2，所以333MNPNPMPFPEEF222，CE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页高三一轮复习学案- 第七章：立体几何4 【拓展提升】 利用向量处理平行问题的常用方法(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线
11、向量. (2)证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示. (3)证明面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量 )；转化为线面平行、线线平行问题. 考向3 利用空间向量证明垂直关系【典例 3】(2013长沙模拟 )如图，在三棱锥P-ABC 中， ABAC，D 为 BC 的中点， PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上.已知 BC8，PO4，AO3，OD2. (1)证明： APBC. (2)在线段 AP 上是否存在点M，使得平面 AMC 平
12、面 BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由 . 【思路点拨】 对(1)问线线垂直的证明易入手，利用两非零向量的数量积为0 即可进行证明 .对(2)问，平面 AMC 平面 BMC ，即平面AMC 的法向量与平面BMC 的法向量垂直，因此可建立适当的空间直角坐标系求解 .因为 M 在线段 AP 上，故可利用A，M，P三点共线设出M 点的坐标 . 拓展提升】向量方法证明空间垂直关系的基本途径(1)线线垂直：只要证明两直线的方向向量垂直. (2)线面垂直：用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交
13、直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行. (3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，还可证明两平面的法向量垂直. 【变式训练】 在四棱锥 P-ABCD 中， PD底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PDDC，E，F 分别是 AB，PB 的中点 . (1)求证： EFCD. (2)在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB，并证明你的结论 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页高三一轮复习学案- 第七章：立体几何5 1.(2013邵阳模拟 )已知 A
14、(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) 三点， n=(1,1,1)，则以 n 为方向向量的直线l 与平面 ABC 的关系是 ( ) (A) 垂直(B) 不垂直(C)平行(D)以上都有可能【解析】选A.由题意知，=(-1，1，0)，=(0，-1，1)，n=0,n=0, 以 n 为方向向量的直线l 与平面 ABC 垂直 . 2.(2013益阳模拟 )如图，正方形ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB ，AF1，M 在 EF 上且 AM 平面 BDE，则 M 点的坐标为 ( ) 3.(2013怀化模拟 )如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 a,M， N 分
15、别为 A1B 和 AC 上的点，A1M AN 则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 ( ) (A) 斜交(B) 平行(C)垂直(D)不能确定4.(2013青岛模拟 )如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，PA底面 ABCD ，E，F 分别为 AB ，PD 的中点， PAa，二面角 P-CD-B 为 45. 求证： (1)AF平面 PCE. (2)平面 PCE平面 PCD. 1.如图，在四棱锥P-ABCD 中， PA平面 ABCD ，E 为 AD 的中点，四边形 ABCE 为菱形， BAD 120,PA=AB,G,F 分别是线段CE，PB 上的动点，且满足(0,1).证明： FG平面 PDC. 2.如图，在多面体ABC-A1B1C1 中，四边形A1ABB1 是正方形， ABAC，BCAB ，B1C1 BC,二面角 A1-AB-C 是直二面角 . 求证： (1)A1B1 平面 AA1C. (2)AB1 平面 A1C1C. 22A1,1,1B (,1)332222C (,1)D (,1)2244PFCGPBCE2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页