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1、第一章 推理与证明2021/8/9 星期一1内容结构内容结构 “推理与证明推理与证明”是数学的基本思维过程，是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理在本章中，推理一般包括合情推理和演绎推理在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、包括直接证明的方法（如分析
2、法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。养成言之有理、论证有据的习惯。2021/8/9 星期一2推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演演绎推理推理（必然性推理）（必然性推理）归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段三段论（一般到特殊）（一般到特殊）2021/8/9 星期一3证 明明直接直接证明明间接接证明明综合法合法分析法分析法反反证法法数学数学归纳法法（理科、（理科、2课时）2021
3、/8/9 星期一4归 纳 推 理2021/8/9 星期一5哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想世界近代三大数学难题之一世界近代三大数学难题之一1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）和它本身整除的数）之和。如之和。如633，1257等等。等等。猜想猜想(a)任何一个任何一个6之偶数，都可以表示成两个奇之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。质数之和。(b)任何一个任何一个9之奇数，都可以表示成三个奇之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。质数之和。有人对有人对33108以内且大过以内且大过6之偶数一一
4、进行验之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想算，哥德巴赫猜想(a)都成立。都成立。2021/8/9 星期一6目前最佳的结果是中国数学家陈景润于目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理年证明的，称为陈氏定理(ChensTheorem).“任任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个通常都简称这个结果为大偶数可表示为结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。的形式。1920年，挪威的布朗证明了年，挪威的布朗证明了“9+9”。1924年，德国的拉特马赫证明了年，德国的拉
5、特马赫证明了“7+7”。1932年，英国的埃斯特曼证明了年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠明珠”。到了到了20世纪世纪20年代，才有人开始向它靠近。年代，才有人开始向它靠近。2021/8/9 星期一71637年，法国数学家费马提出：年，法国数学家费马提出：“将一个立将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个方数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个四次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分四次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分为两
6、个同次的幂的和，这是不可能的为两个同次的幂的和，这是不可能的.”费马猜想费马猜想数论中最著名的世界难题之一数论中最著名的世界难题之一300多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家，多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家，法国科学院曾于法国科学院曾于1816年和年和1850年两次悬赏征解，德年两次悬赏征解，德国也于国也于1908年悬赏十万马克征解。年悬赏十万马克征解。经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大学怀尔斯终于学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题年正式彻底解决这一大难题.2021/8/9 星期一81852年，弗南西斯年，弗南西斯格思里搞地图着
7、色工作时，格思里搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。的颜色。”世界近代三大数学难题之一世界近代三大数学难题之一四色猜想四色猜想1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个个小时，作了小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证亿判断，终于完成了四色定理的证明。明。不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他不少数学
8、家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。2021/8/9 星期一9归纳推理的定义归纳推理的定义:根据一类事物中的部分事物具有的某种根据一类事物中的部分事物具有的某种属性属性,推断该类事物中的每一个事物都有这种推断该类事物中的每一个事物都有这种属性属性,我们将这种推理方式称为我们将这种推理方式称为归纳推理归纳推理(简称简称归纳归纳).).简言之简言之,归纳推理是由部分到整体、归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。由个别到一般的推理。2021/8/9 星期一10归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：检验猜想。检验猜想。提出
9、带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想；对有限的资料进行观察、分析、对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；归纳整理；2021/8/9 星期一11例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.分别把分别把n=1,2,3,4代入代入得得:归纳归纳:可用可用数学归纳法数学归纳法证明证明这个猜想是正确的这个猜想是正确的.2021/8/9 星期一12取倒数得：取倒数得：解法解法2、构造法、构造法2021/8/9 星期一13例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的
10、关系.2021/8/9 星期一14多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 82021/8/9 星期一15多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 8
11、12126 610102021/8/9 星期一16多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169 91010151510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想欧拉公式2021/8/9 星期一17例例3(2007上海上海)根据图中根据图中5个图形及相应点的个数的个图形及相应点的个数的变化规律变化规律,试
12、猜测第试猜测第n个图形中有个图形中有个点个点.(1)(2)(3)(4)(5)2021/8/9 星期一18n=1n=2n=3画一画、猜一猜 根据下列图案中圆圈的排列规则，猜想第5个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的；第n个图形中共有多少个圆圈？n=42021/8/9 星期一19n=5第n个图形中共有圆圈：n(n-1)+1个2021/8/9 星期一20例例3(2004春季上海春季上海)根据图中根据图中5个图形及相应点的个个图形及相应点的个数的变化规律数的变化规律,试猜测第试猜测第n个图形中有个图形中有个个点点.(1)(2)(3)(4)(5)2021/8/9 星期一212021/8/9 星期一22练
13、一练：1、数列 1，3，7，15，X，63，中X的值为（）（A）21 （B）27 （C）31 （D）57.2、猜想、猜想10条直线的交点最多有多少个？条直线的交点最多有多少个？3、数列an中，若a1=1/2，an=1/(1-an-1),(n2,nN)则a2008的值为()(A)-1 (B)1/2 (C)1 (D)22021/8/9 星期一23观察下图观察下图,可以发现可以发现1+3+(2n1)=n2（n1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，1+3+1999=？4.观察下图，你能提出一个猜想吗？观察下图，你能提出一个猜想吗？2021/
14、8/9 星期一24小结小结2.归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题的一般性命题(猜想猜想).1.什么是归纳推理什么是归纳推理（简称（简称归纳归纳）?部分整体部分整体个别个别一般一般2021/8/9 星期一25小结小结2.归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题的一般性命题(猜想猜想)
15、.1.什么是归纳推理什么是归纳推理（简称（简称归纳归纳）?部分整体部分整体个别个别一般一般2021/8/9 星期一26趣味题趣味题：有三根针和套在一根针上的若干金属片：有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根把金属片从一根针上全部移到另一根针上针上.1.每次只能移动一个金属片每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测:把把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针号针,最少需要最少需要移动多少次移动多少次?2021/8/9 星期一27n=1时时,2021/8/9 星期一28n=2时时,n=1时时,2021/8/9 星期一29n=3时时,n=2时时,n=1时时,2021/8/9 星期一30n=2时时,n=1时时,n=3时时,2021/8/9 星期一31n=4时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,2021/8/9 星期一32n=4时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,归纳归纳:2021/8/9 星期一33 数列 满足 ,猜想此数列的通项公式探索:2021/8/9 星期一34猜想:2021/8/9 星期一35