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1、首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页第十二章第十二章 微分方程微分方程习习 题题 课课1.基本概念基本概念2.2.用积分法解微分方程用积分法解微分方程3.3.用代数法解微分方程用代数法解微分方程4.4.建立微分方程的方法建立微分方程的方法5.5.例题例题首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页一、基本概念一、基本概念微分方程；微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解微分方程的解 特解特解 、初始条件；初始条件；初值问题。初值问题。通解通解；二、用积分法解微分方程二、用积分法解微分方程1 1、可分离变量可分离变量的微分方程的微分方程2 2、齐次齐次微分方程微分方程3 3、一阶、一阶
2、齐次线性齐次线性微分方程微分方程4 4、一阶、一阶非齐次线性非齐次线性微分方程微分方程5 5、BernoulliBernoulli微分方程微分方程6 6、全微分微分方程、全微分微分方程一阶微分方程一阶微分方程（分离变量法）（分离变量法）（因变量代换因变量代换化为可分离变量）化为可分离变量）（公式解）（公式解）（公式解）（公式解）（因变量代换因变量代换化为线性）化为线性）（线积分法，凑分法，线积分法，凑分法，*偏积分法偏积分法）首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页7 7、高阶高阶微分方程微分方程（降阶法降阶法）y(n)=f(x)型型y=f(x,y)型型y=f(y,y)型型或或 F(x,y,y
3、)=0型型或或 F(y,y,y)=0型型注：注：求解微分方程的步骤：求解微分方程的步骤：1、判断类型；、判断类型；2、根据类型选择相应解法。、根据类型选择相应解法。（当微分方程不属于会解类型时，设法用当微分方程不属于会解类型时，设法用变形变形及及换元法换元法转化类型）转化类型）首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页三、用代数法解微分方程三、用代数法解微分方程1 1、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构线性微分方程解的叠加原理线性微分方程解的叠加原理非齐次线性微分方程通解的结构非齐次线性微分方程通解的结构齐次线性微分方程解的叠加原理齐次线性微分方程解的叠加原理齐次线性微分方程通解的结构齐
4、次线性微分方程通解的结构2、常系数常系数齐次线性齐次线性微分方程的微分方程的代数代数解法解法3、常系数常系数非齐次线性非齐次线性微分方程的微分方程的代数代数解法解法（对（对 f(x)=e xPl(x)cos x+Pm(x)sin x 型）型）首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页四、建立微分方程的方法四、建立微分方程的方法1 1、直接法直接法：直接由几何条件或物理定律列出（因变直接由几何条件或物理定律列出（因变量与自变量）的微分方程。量与自变量）的微分方程。2 2、间接法间接法：借助中间变量间接地建立因变量与自变借助中间变量间接地建立因变量与自变量的联系，列出微分方程。量的联系，列出微分方程
5、。首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页五、例题五、例题例例1 1 求通解求通解解解（齐次方程）（齐次方程）代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解所求通解首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页例例2 2 求通解求通解解解原式可化为原式可化为原式变为原式变为通解为通解为（一阶线性非齐次）（一阶线性非齐次）（伯努利方程）（伯努利方程）原方程通解原方程通解首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页例例3 3 求通解求通解解解为为全微分方程全微分方程.(1)用偏积分法求原函数用偏积分法求原函数:通解通解首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页(2)用凑分法求解用凑分法求解:
6、故通解故通解首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页(3)利用曲线积分求解利用曲线积分求解:故方程的通解为故方程的通解为首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页*例例4 4 求通解求通解解解 非全微分方程非全微分方程.（利用积分因子法）（利用积分因子法）改写为改写为故通解为故通解为首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页例例5 5 求通解求通解解解代入方程，得代入方程，得故通解为故通解为首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页例例6 6 求特解求特解解解 特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解对应的齐次方程的通解设原方程的特解设原方程的特解故原方程的通解故原方程的通解所求特解所求特解首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页例例 求通解求通解解解 特征方程特征方程特征根特征根所求通解所求通解首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页例例解解()由题设可得：由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得()此方程为此方程为得所求通解为得所求通解为首首 页页上上 页页下下 页页尾尾 页页解解例例9 9由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得解得解得代入上式代入上式,得得