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1、1一阶微分方程一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、本章要点一、本章要点1一阶微分方程一阶微分方程1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法xxfyygd)(d)(1类型类型)()(ygxfy 2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程类型类型)()(xQyxPy解法解法CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(3)齐次方程齐次方程此为变量可分离的微分方程此为变量可分离的微分方程类型类型xyyxfy),(解法解法 令令 ，则，则 原方程变为原方程变为xyu xuxuxy
2、dddduuxux)(dd4)伯努利方程伯努利方程为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程类型类型) 1 , 0()()(，yxQyxPy解法解法 令令 ，则原方程变为，则原方程变为1yz，)()1 ()()1 (ddxQzxPxz2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程方法方法 作作 次积分次积分n新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程1)类型类型)()(xfyn2)类型类型),(yxfy 方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为py ，),(pxfp 新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程3)类型类型 ),(yyfy 方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变
3、为py ，),(ddpyfypp3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程设二阶线性微分方程而称方程而称方程为方程为方程所对应的齐次线性方程有所对应的齐次线性方程有)()()(xfyxQyxPy 0)()( yxQyxPy1)若若 是方程是方程的线性无关解，则方程的线性无关解，则方程有通解有通解21, yy2211yCyCy的一个特解的一个特解*2211yyCyCy2)若若 是方程是方程的特解，则方程的特解，则方程有通解有通解*y3)若若 是方程是方程 的特解，的特解，)()()(xfyxQyxPyi *iy则则 为方程为方程*2*1yy )()()()(21xf
4、xfyxQyxPy 4二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程二阶常系齐次数线性微分方程设方程设方程相应的特征方程为相应的特征方程为0 qyypy02qprr则：则：若方程有两个不同的实根若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为21,rr；xrxrCCy21ee21若方程有两个相同的实根若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为21rr ；xrCxCy1e)(21若方程有一对共轭复根若方程有一对共轭复根 ，则方程的通，则方程的通i2, 1r)sincos(e21xCxCyx解为解为2)二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线
5、性微分方程设方程为设方程为则方程有特解则方程有特解，)(exPqyypymx ，)(e*xQxymkx其中其中 是一个与是一个与 同次的多项式，而同次的多项式，而)(xQm)(xPm，210k若若 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根设方程设方程则方程有特解则方程有特解，sin)(cos)(exxPxxPqyypymlx ，sin)(cos)(e21*xxRxxRxynnxk其中其中 是是 次的多项式，次的多项式， ，而，而)(),(21xRxRnnn,maxlmn 按按 是否为特征方程的根而分别取是否为特征方
6、程的根而分别取1或或0ki二、例二、例 题题 选选 讲讲解解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，因因得得例例1 求解方程求解方程 0d)4(d2yxxxy，24ddxxxyy，xxxxxxd411414d2两边积分，得两边积分，得即得原方程的通解即得原方程的通解，Cxxyln|)4|ln|(ln41|lnxCxy )4(4解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程例例2 求解方程求解方程 ， 0tanyxyxyx32xyxyxyytan作变换作变换 ，则有，则有xyu ，uuxuxutandd移项，得移项，得两边积分，得两边积分，得，x
7、xuuud1dsincos，Cxuln|ln|sin|ln将将 代入，有代入，有xyu ，xCxysin即满足初始条件的解为即满足初始条件的解为由初始条件由初始条件 ，得，得 ，即原方程的解为，即原方程的解为32xy1C，xxy1sinxxy1arcsin例例2 求解方程求解方程 ， 0tanyxyxyx32xy解解 原方程变形为原方程变形为即即例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解0dd)3(24xxyyxy，133ddxyxyyx，3222)(6d)d(yxyyx此是关于函数此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，的一阶线性非齐次线性微分方程，)(2yfx 由求解公式得由求解公式得
8、6436d12CyyCyyyCyyxyyyyde2ed63d62例例4 求解下列方程求解下列方程即即方程的解为方程的解为，1lnlnlnCxp1. ； 2. 0 yyxyyy 3解解 1. 此方程不含变量此方程不含变量 ，故令变换，故令变换 ，则方程为，则方程为yyp，0ppx，xxppd1d1即即所以，方程的通解为所以，方程的通解为，xCxy1dd21lnCxCy方程变形为方程变形为即有即有0) 1dd(2 pypp2. 此方程中不含变量此方程中不含变量 ，作变换，作变换 ，则，则xyp，yppxydddd22，ppypp3dd1. ； 2. 0 yyxyyy 3由由 ，得方程的解为，得方程
9、的解为 由由0pCy ，01dd2 pyp解得解得，1arctanCyp即即分离变量后，再两边积分得分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解从而得方程的通解xCCye)sin(21，)tan(1Cyy，21ln| )sin(|lnCxCy，1arctanCyp例例 )()(xfyxy 有特有特,1xy 解解而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解,2xy 及及求求)(, )(xfx 微分方程的通解微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy 代入代入将将xx1)( 得得代入代入再将再将xy1 )(1xfyxy 33)(xxf 得得故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为331xyxy )
10、,(xpy 令令方程化为方程化为331xpxp 5. 设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程331xpxp 故故py xxed1xCx121 再积分得通解再积分得通解2211CxCxy )(1211CC 1d13d3Cxexxx )()(xfyxpy Cxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习复习: 一阶线性微分方程通解公式一阶线性微分方程通解公式 例例6 6 设设, 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x 如何求如何求提示提示: : 对积分换元对积分换元 , ,uxt 令令则有则有 xxttex0d)()( )()(xexx 解初值问题解初值问题
11、: : xexx )()( ,0)0( 1)0( 答案答案: :xxexex 41)12(41)( 二阶线性二阶线性非齐次非齐次总习题解答提示总习题解答提示求以求以xxeCeCy221 为通解的微分方程为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为,2,121 rr故特征方程为故特征方程为,0)2)(1( rr0232 rr即即因此微分方程为因此微分方程为023 yyy求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令令, )(ypy 则方程变为则方程变为,01dd2 pyppyyypppd
12、1d2 即即P353 题题2P353 题题3特征根特征根:xyyy2sin52)7( ,212,1ir 齐次方程通解齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx 令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos* 代入方程可得代入方程可得174171, BA思思 考考若若 (7) 中非齐次项改为中非齐次项改为,sin2x提示提示:,sin22cos12xx xBxAy2sin2cos* 故故D 原方程通解为原方程通解为xx2sin2cos174171 )2sin2cos(21xCxCeyx 特解设法有何变化特解设法有何变化 ?求解求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令令),(xpy 则方程变为则方程变为2ddpaxp 积分得积分得,11Cxap 利用利用100 xxyp11 C得得再解再解,11ddxaxy 并利用并利用,00 xy定常数定常数.2C思考思考若问题改为求解若问题改为求解0321 yy,00 xy10 xy则求解过程中得则求解过程中得,112xp 问开方时问开方时正负号如何确定正负号如何确定?P354 题题4(2)