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1、定理定理1 1线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程二阶线性微分方程定理定理2 2线性无关解，线性无关解，齐次方程通解：齐次方程通解：非齐次方程通解：非齐次方程通解：定理定理4 4定理定理3 3定理定理5 51 例例1都是方程都是方程:求此方程的求此方程的通解通解.的解的解,二阶线性微分方程二阶线性微分方程齐次齐次方程的特解方程的特解.非齐次非齐次线性方程的两个特解之差线性方程的两个特解之差是对应是对应非齐次非齐次方程的通解：方程的通解：齐次齐次线性方程的通解：线性方程的通解：解解线性无关线性无关.2(3)根据特征根的不同情况，得到相应的通解。根据特征根的不同情况，得到相
2、应的通解。(1)相应的特征方程相应的特征方程,(2)求特征根，求特征根，二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式实根实根实根实根复根复根二阶线性微分方程二阶线性微分方程3解解 特征方程特征方程通解：通解：例例2 2特征根特征根二阶线性微分方程二阶线性微分方程4解解 特征方程特征方程通解：通解：例例3 3特征根特征根二阶线性微分方程二阶线性微分方程5例例4 4 解初值问题解初值问题解解 特征方程特征方程特征根特征根方程的通解：方程的通解：(二重根二重根)特解特解二阶线性微分方程二阶线性微分方程6例例5 5 求方程求方程解解的通解的通解.特征方程
3、特征方程所求通解所求通解:特征根特征根和和二阶线性微分方程二阶线性微分方程7特征根特征根所求通解所求通解:解解 特征方程特征方程例例6 6二阶线性微分方程二阶线性微分方程8解：解：特征根特征根求微分方程求微分方程 的通解的通解.特征方程特征方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程通解通解或或:设设例例7 7二阶线性微分方程二阶线性微分方程9不是根不是根是单根是单根是重根是重根二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程10解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程特征根特征根(1)求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的
4、通解(2)求求非齐次非齐次方程的解方程的解例例8 8二阶线性微分方程二阶线性微分方程11代入方程代入方程,原方程通解：原方程通解：对应对应齐次齐次方程通解方程通解二阶线性微分方程二阶线性微分方程例例8 812解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例9 9(1)求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(2)求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解二阶线性微分方程二阶线性微分方程13代入方程代入方程,得得原方程通解：原方程通解：对应对应齐次齐次方程通解方程通解二阶线性微分方程二阶线性微分方程例例9 914解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程特征根特征根(1)
5、求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解例例10二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程15(2)求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解(3)求求原方程原方程的特解的特解原方程通解：原方程通解：例例10二线性微分方程二线性微分方程16提示提示根椐线性微分方程的性质根椐线性微分方程的性质,两个特解的和就是原方程的特解两个特解的和就是原方程的特解.特解。特解。的一个的一个是微分方程是微分方程1)(+=-xeyy二阶线性微分方程二阶线性微分方程17微分方程微分方程 的特解的特解 解解特征方程特征方程特征根特征根对应的对应的齐次齐次微分方程微分方程xexyyy23
6、23-=+-xyyy323=+-xeyyy223-=+-023=+-yyy二阶线性微分方程二阶线性微分方程18是二阶常系数微分方程是二阶常系数微分方程满足初始条件满足初始条件的特解的特解,函数函数的极限的极限(A)不存在不存在.(B)等于等于1.(C)等于等于2.(D)等于等于3.解解)(xyy=设设xeqyypy3=+0)0()0(=yyxeqyypy3)0()0()0(=+二高阶线性微分方程二高阶线性微分方程19解解两端再对两端再对x求导求导,积分方程积分方程 微分方程微分方程积分方程积分方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程.二阶线性微分方程二阶线性微分方程20(1)验证函
7、验证函数数 满足微分方程满足微分方程(2)求幂级数求幂级数 解解(1);xeyyy=+二阶线性微分方程二阶线性微分方程21解解(2)相应的相应的齐次齐次微分方程微分方程特征方程特征方程特征根特征根xeyyy=+,0=+yyy非齐次非齐次方程的特解：方程的特解：代入方程代入方程 通解通解二阶线性微分方程二阶线性微分方程22解解特征方程特征方程特征根特征根(1)求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(二重二重)二阶线性微分方程二阶线性微分方程23(2)求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解原方程通解：原方程通解：特征根特征根不是特征根不是特征根.代入方程代入方程 二阶线性微分方程二阶线性微分方程24原方程通解：原方程通解：特征根特征根是是二重特征根二重特征根.代入方程代入方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程25