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1、第十章第十章 微分方程习题课（二）微分方程习题课（二）高阶微分方程高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 1高阶微分方程的定义高阶微分方程的定义2可降阶的高阶微分方程类型可降阶的高阶微分方程类型(1)(2)(3)3可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图 可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示出通解。解题方法流程图如下图所示。解题方法流程图解题方法流程图
2、逐次积分逐次积分解一阶微分方程解一阶微分方程解一阶微分方程解一阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程特点特点:不显含不显含转化为一阶方程转化为一阶方程特点特点:不显含不显含通解通解YesNo令令令令转化为一阶方程转化为一阶方程4.典型例题典型例题【例【例1】求方程】求方程 的通解。的通解。解：由于不显含解：由于不显含 ，令，令 ，则，则 代入原方程整理得代入原方程整理得即即 因此因此 再积分一次，即得原方程的通解为再积分一次，即得原方程的通解为：此解可以写成此解可以写成分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量所以可
3、引入变量 将二阶微分方程变成一阶微将二阶微分方程变成一阶微分微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。分微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。【例【例2】求方程】求方程 的通解。的通解。分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量所以可引入变量将二阶微分方程变成一阶将二阶微分方程变成一阶 一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含解：由于不显含，令，令，则，则 代入原方程整理得代入原方程整理得即即 为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程 利用公式得利用公式得即即 积分
4、得积分得 分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量所以可引入变量将二阶微分方程变成一阶将二阶微分方程变成一阶 微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含解：由于不显含,令令,则则 代入原方程整理得代入原方程整理得所以所以或或当当时，此方程为可分离变量的方程，时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得：分离变量得：【例【例3】求方程】求方程 满足初始条件满足初始条件的特解。的特解。积分得：积分得：所以所以即即将将代入得代入得，从而，从而分离变量得：分离变量得：将将代入得代入得所
5、求方程的特解为：所求方程的特解为：特解为特解为，含在，含在 内。内。当当 时，即时，即积分得积分得二、二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程1定义定义(1)二阶常系数线性齐次微分方程：二阶常系数线性齐次微分方程：(2)二阶常系数线性非齐次微分方二阶常系数线性非齐次微分方程程:2解的结构性质解的结构性质(1)若若 和和是齐次方程的解是齐次方程的解,则则是齐次方程的解。是齐次方程的解。(2)若若 和和 是齐次方程的线性无关解是齐次方程的线性无关解,则则 是齐次是齐次方程的通解。方程的通解。(3)若若 是齐次方程的通解，是齐次方程的通解，是非齐次方程的特解，是非齐次方程的特解，则则是非齐次
6、方程的通解。是非齐次方程的通解。都是微分方程的解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,常数常数所求通解为所求通解为解解4、典型例题、典型例题【例【例5】已知】已知 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解及方程的表达式。及方程的表达式。分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出 对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。解：因为解：因为 是对应齐次方程是对应齐次方程的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根，特征方程为，特征方程为对应齐次方程为：对应齐次方程为：对应齐次方程通解为：对应齐次方程通解为：又因为又因为是非齐次微分方程的特解，将其代入是非齐次微分方程的特解，将其代入有有所求的方程为：所求的方程为：通解为：通解为：解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例6 6解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例7 7解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例8 8练练 习习 题题练习题答案练习题答案